книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством
..pdfПеременную щ можно рассматривать как долю i-ro компонента в товарном продукте.
Множество допустимых рецептов Uc определяется ра-
П
венством 2 ui~ 1 и ограничениями на качественные по-
{=1 казатели готового продукта.
Модель смесительной операции для КТ и ДТ отли чается от других моделей смешения, в частности рас смотренных в предыдущем разделе, ограничениями на качественные показатели, определяющими конкретное множество Uс.
Введем следующие обозначения:
щ —значение /-го основного параметра смеси, / = 1, ..., т, т —число основных параметров; р* — плот ность смеси при температуре t, °С, т/м3; v* — кинемати ческая вязкость при t, °С, сСт; /в —температура вспыш ки смеси; U—температура застывания, °С; 110 —тем
пература отгона 10% смеси, °С; ^50%— температура от
гона 50% смеси, °С; tK.K—температура конца кипения смеси (96 и 98%), °С; М — содержание механических примесей в смеси, %; 5 —содержание серы в смеси, %; dij —значение /-го основного параметра для t-ro исход ного компонента (для обозначения конкретного основ ного параметра к условному обозначению соответству
ющего параметра смеси добавляется индекс i, например, Mi, t3i и т. д.); bjMaKC, bjum —предельное максимальное (минимальное) значение /-го основного параметра смеси по ГОСТ; q>j— функциональная зависимость, связыва ющая значение /-го основного параметра смеси со зна чениями /-го параметра для каждого компонента и ко личествами исходных компонентов в смеси.
Таким образом, область допустимых рецептов опре деляется системой
9 / ( ^ 1 » •••> U'tv djxy • ••> djji) ^/макс*
П |
(4-54) |
2 щ— 1 , |
ut> 0 , i= 1 , .... п, / = 1 , ..., т. |
i=i |
|
Рассмотрим |
конкретный вид функции cpj, /= 1 .......т. |
Для расчета вязкости смеси предварительно необ ходимо перевести условную вязкость в кинематическую
по формулам или таблицам [84] и пересчитать к одной температуре по формуле Вальтера [85]
lg lg(v*+0,8)=i4 + B lg7\ |
(4-55) |
где А, В —константы, задаваемые для каждого данного компонента; Т— абсолютная температура.
В качестве базовой формулы для определения вяз кости смеси была выбрана формула Виноградова [85]. Для п компонентов эта формула имеет вид:
ig ig ^ '+ ’^ |
— S |
teteV i+ o » 8)- |
(4’56) |
|
Обозначая |
lg(vf+0,8)= ai; |
|
|
|
lg |
|
|
||
lg lg(Vi+0,8)=czH, i= 1, |
n, |
|
||
формулу (4-56) можно записать: |
|
|
||
|
<4 = 2 |
Uiaii’ |
|
(4-57) |
|
i=i |
|
|
|
Для определения температуры вспышки за основу принята формула Тиле и Кадмера для двухкомпонент ной смеси [85], распространенная на многокомпонент ный случай
п |
_f |
.Л./100 |
(4-58) |
/в = - 1001g J |
«г 10 |
« l/ , |
i=I
где hi —поправочный экспериментальный коэффициент для каждого i-го компонента.
Преобразуя (4-58)
1 |
0-V 100= 2 |
■ю |
|
|
i=l |
|
|
и вводя обозначения |
|
|
|
Ю -У »= |
а2, 10 - W |
100= а21*, i = l |
п, |
формулу (4-58) можно записать в виде
« , = £ «fl*. |
(4-59) |
Л=1 |
|
Зависимость по температуре застывания смеси рас считывается с использованием экспериментальных нор мированных смесительных характеристик по следующей итерационной формуле:
|
|
|
|
2 |
“< |
i = i . |
, n t s = l ......л — 1, k = |
1, |
|
(4-60) |
|
п — 1; |
|||||
|
^31 ^ ^32 ^ ••• ^ |
^ |
^ |
^3и* |
|
где ik 1 и |
1— эквивалентные температуры застывания |
||||
компонентов 5 и / (1—п—&+1) |
перед ife-й |
итерацией; |
|||
q)sz —нормированные смесительные |
зависимости компо |
||||
нентов s и I (s=7^=/). |
|
|
|
|
|
Кроме формулы (4-60) для определения температуры застывания в некоторой области изменения рецептов
может применяться формула |
|
|
||
п |
п |
п |
^ki ( ^ 3 k ^ 3 /) |
|
2 |
2 |
/ “f~ 2 |
(4-61) |
|
( = 1 |
i— 1 |
£ = 1 |
|
|
|
|
t= 2 |
|
|
где |
ûffti— коэффициенты, |
определяемые |
экспери |
|
ментально или на основе формулы (4-60). |
|
|||
Зависимость по плотности имеет вид: |
|
|||
|
Р*=1 |
2 M i/Л) |
|
|
|
|
1=1 |
|
|
Эту формулу можно преобразовать |
|
|||
|
!/р' = |
2 «,(l/p'i)- |
(4-62) |
|
|
|
1= 1 |
|
|
Для определения содержания серы и механических примесей в смеси, температуры отгона 10 и 50%-ной смеси и температуры конца кипения используется ли нейная зависимость вида
<*,=2 <*„«/• |
(4-63) |
(=1 |
|
При формальной подстановке в (4-54) найденных выражений для функции q)j из (4-56), (4-58), (4-62) по лучается система нелинейных ограничений с очень слож ными и громоздкими выражениями. Особенно сложными получаются зависимости по температуре вспышки и вяз кости смеси. Однако, вводя нелинейное преобразование параметров исходных компонентов и смеси, можно перейти от нелинейных ограничений к эквивалентным линейным [см. формулы (4-57) и (4-59)].
Теперь рассмотрим обобщенную задачу оперативного управления для моделей смешения КТ и ДП при огра ничениях на запасы сырья Х\—ломаке /= 1 , ..., п и при критерии максимизации прибыли [см. (4-28)]. Здесь Ягмакс — максимальный запас /-го компонента.
Рассмотрим достаточно распространенный на прак тике случай, когда по условиям отгрузки готовой про дукции у=уил. (г/пл —плановое задание). Вводя обо значения
можно обобщенную задачу сформулировать только от носительно переменных щ, /= 1, ..., п.
При этом критерий (4-28) заменится критерием себе стоимости, который минимизируется
П |
(4-64) |
Fi=2i'Ciui' |
где а —себестоимость /-го компонента.
Ограничения на запасы отдельных компонентов мож но учесть с помощью неравенств вида щ—Ыгмакс^О.
Дополнительно рассмотрим задачу с другим крите
рием — расходом базовых компонентов |
|
dkUk' |
(4-65) |
|
Систему ограничений для обычного котельного fôrtлива можно записать в виде
П
2 и^ п — а1шкс<°; <=|
п
“2 riiaii + aiMmi<0; î~l
П
2а2МИ»^
=1
п |
(4-66) |
2 |
^макс |
1=1 |
|
2 щМг — Ммакс< 0 ;
г=1
п |
|
2 И,— |
1 = 0 , И;— и,макс < 0 , |
t*=I |
1=1, .... п. |
> 0, |
Принимая во внимание линейность критерия опти мальности [!см. формулы (4-64) и (4-65)] и линейность ограничений (4-66), можно отнести сформулированную задачу к классу задач линейного программирования.
Для экспортных КТ кроме ограничений (4-66) необ ходимо учитывать ограничения по плотности
J=I
и по температуре застывания
ts{Uit ^зг) ^з.макс^О,
где ta определяется из формул (4-60) и (4-61).
Так как зависимость по температуре застывания для КТ обычно является выпуклой функцией в области наи более употребляемых рецептов., то задача оптимального смешения экспортных КТ относится к классу задач вы пуклого программирования. Если функция t3{Uh tai) не выпуклая, то задача является задачей невыпуклого про граммирования.
В [89, 91] рассматриваются некоторые методы реше ния подобных выпуклых н невыпуклых задач с учетом конкретных особенностей технологии компаундирования.
Выпишем задачу оптимального компаундирования ДТ. Система ограничений для этого случая имеет вид:
П |
|
|
|
П |
|
|
2 |
uiau~~ а 1 м а к с ^ |
— S |
Ui ( 1 / P f i ) + ( V Р *м а к с) < 0 |
|||
£ = 1 |
п |
|
|
/ = 1 |
п |
|
|
а 1МШ ^ |
0 ; |
- |
|
||
— |
2 “ <а 1/ |
2 “,t10%/ “ Ь ^10% мин ^ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
п |
/ = 1 |
|
|
п |
i=l |
|
|
|
|
|
^50%макс ^ |
||
2i = i |
u{a2i - |
^2\П!Н ^ |
|
2 W‘ ' 5Û%I |
||
|
|
|
i=l |
|
(4-67) |
|
11 |
|
|
п |
|
||
|
|
|
|
|||
2 UtS i - " |
*^макс ^ ® |
’ |
/ = | ^/^кли |
- /1 к .к .ш к с ^^ (V |
||
1= |
i |
|
|
|
|
|
|
|
^3 ( ц i |
> ^311 |
^ .4 |
ЛЮКС |
|
п
2 и , - 1 = 0 ;
щ — и , w r -С0* Î = 1......//;
»=i
ut > 0, t = 1. |
п. |
Функция температуры застывания /3(м,-, t3i) в данном случае является вогнутой, поэтому задача расчета ре цепта ДТ является задачей невыпуклого программи рования с линейным критерием.
Реализация методов решения сформулированных за дач может осуществляться как на цифровых, так и на аналоговых вычислительных машинах.
4-6. Задача оперативного управления приготовлением бензинов
Задача приготовления бензинов ставится аналогично задаче приготовления котельных и дизельных топлив. Отличия связаны с качественными показателями, опре деляющими множество допустимых рецептов. В качестве основных параметров для бензинов выбирается ряд параметров, которые определяются теми же аналитиче скими зависимостями, что и для дизельных топлив. Это
р* —плотность смеси при температуре t, °С, т/м3; s — со держание серы в смеси, %; фракционный состав, опре деляемый либо температурами начала t„,к и конца кипе ния iH.K, °С, вместе с температурами отгона 10, 50 и 90%-ной смеси (i10о/о>*5о°/0’ ^о°/0)> °С; либо отгоном (вы-
кипаемостыо) при соответствующих температурах, по лученных с учетом поправки на так называемые «истин ные» температуры кипения [С0 (tïlK), С„ (/10%), Cso(/50%),
^ со (^90% )’ (^к.к)Ь °/о .
Кроме того, для бензинов необходимо учитывать де тонационную стойкость смеси, определяемую различны ми методами: / — исследовательское октановое число, М — моторное октановое число и Q—сортность. В число основных показателей также включаются: Р — упругость паров, мм рт. ст.; А — содержание ароматических ве ществ, %; z —содержание тетраэтилсвинца (ТЭС), г/кг или мл/кг.
В последующих формулах будут также использовать ся следующие параметры: О— содержание олефинов (непредельных углеводородов), %; / — йодные числа; Дг=/*—Mi — чувствительность i-ro компонента по окта новому числу; р — молекулярная масса; Vi — объемная доля i-ro компонента, связанная с «; с помощью фор мулы
Упругость паров рассчитывается по формуле
aj — коэффициент, определяемый экспериментально. Ограничение по упругости паров имеет вид:
Дмакс
где Рмакс Ртт определяются стандартом.
Линейные относительно объемного количества V; со отношения для расчета фракционного состава смеси приведены в [88, 90].
Для расчета октановых чисел можно применять фор мулы [90, 92]:
по исследовательскому методу
J |
4* |
4" Л12ггЬ Л 1зг8) |
2 ^ |
S |
î«i |
|
(=1 |
12 |
ft=i |
+ (а21“1“а2гг“Ь ягзгг) |^2 0*iVi |
j + |
|||
+ |
(а.| + |
»«г + |
—(S'Л*0*) j |
|
или в сокращенной записи
I= 7+ B1(z)B(z, A) +B2(z)B(0) +
|
|
|
+B3(z)B(A); |
|
(4-68) |
||
по моторному методу |
|
|
|
|
|||
М = |
J |
Л4^.+ (&и + |
b]2z+ b uzs)2 |
ДЛ ( М ,- g |
+ |
||
|
<=1 |
|
i=i |
' |
*=1 |
/ |
|
|
4“(^21 4~^22г “h^2322) |
Г2 |
—fs |
1 |
4” |
||
|
|
|
|
L=1 |
|
Okvk 1 |
|
|
|
|
|
\A=1 |
|
||
|
|
+ (^31 + ^32г + |
^33г2)1 ^ 2 |
--- ( S |
j |
|
|
или в сокращенной записи |
|
|
|
||||
|
|
M = M + 5 4 (Z ) B ( A , M ) + B 5 ( Z ) B ( 0 ) + |
|
||||
|
|
|
+ 5 6(2)В(Л); |
|
(4-69) |
||
для расчета сортности |
|
|
|
|
|||
Q= |
2 |
t o 4- (<*»» 4* ^ + |
dl3zs) 2 t o f |
Qi — 2 t |
o * ) + |
||
|
t=l |
|
|
|
|
|
|
|
4 “ (^2».4* di2z 4 “ d23z2) |
|
|
|
4" |
||
|
|
+ (d31+ d32z |
d33z2) j2A2ivi — (2 ^fivkj |
|
|||
или в сокращенной записи |
|
|
|
||||
|
|
Q =4}+B7(Z )B (A, Q)+B6(Z)B (0)-h |
|
||||
|
|
|
+ B 9(Z )B(A). |
|
(4-70) |
||
Во всех приведенных формулах коэффициенты ап, ct\2 ) • • ч азз» ^1ь b12, • • bw, du, d\2, ..., dzz определяются экспериментальным путем.
Формулы (4-68) — (4-70) позволяют учитывать изме^ нения октановых чисел в зависимости от октановых чи сел компонентов, соотношений между компонентами в смеси и содержание олефинов и ароматики. С по мощью этих формул можно определить октановые числа смеси при переменном уровне этилирования (z).
Непосредственное использование приведенных зави симостей по октановым числам приводит к нелинейной невыпуклой задаче, что существенно затрудняет реше ние. Однако, учитывая достаточную «гладкость» этих зависимостей и тот факт, что изменение соотношений компонентов относительно некоторых средних рецептур обычно невелико, можно в ряде случаев для заданной области изменения переменных заменить зависимости (4-68) — (4-70) более простыми эквивалентными, напри мер линейными [89, 90] :
— 2 **/<“/■• ‘ = 1>• •■»т • i=l
Эквивалентное значение /-го параметра i-го компонен та аэ]Чможно рассчитывать по формуле
aaJt==dftaJt, |
/ = 1 , |
. . . . т, |
t = |
1 , . . . » |
« |
, |
где dji —измеряемый |
/-й |
параметр |
i-го |
компонента; |
||
ац —коэффициент влияния |
i-ro |
компонента |
по /-му |
|||
параметру. |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты a.ji обычно определяются эксперимен тально, путем приготовления пробных смесей.
С учетом линеаризации зависимостей для октановых
чисел вместо формул |
(4-68) — (4-70) при фиксированном |
|
содержании ТЭС можно записать |
|
|
|
П |
|
I = = 2 |
^ Alllll’ |
|
1=1 |
|
|
Мв= 2 |
amMtut > М*т' |
(4-71) |
1=1 |
|
|
Q9-- 2 |
^ QMHH' |
где / мин, Мша, Qmm— минимальные значения |
соответ |
|
ствующих параметров. |
изменяться, |
вместо |
Если содержание ТЭС может |
||
(4-71) может быть использована |
следующая |
зависи |
мость для исследовательского октанового числа: |
||
Р '= З а , 7 Л -+В»,(г) |
(4-72) |
|
i=»i |
|
|
и аналогочные зависимости для моторного октанового числа и сортности, где функ ции В {г) характеризуют приемистость смеси к ТЭС.
Обычно эти функции для заданной области могут быть аппроксимированы полино мами второго порядка
|
|
|
|
|
В (г) = a aiZ-\-a?2z2, |
|
|
|
|
|
где au а2—эксперименталь |
||
Рис. |
4-10. |
Кусочно-линейная |
ные коэффициенты. |
|||
|
Используются |
также не |
||||
аппроксимация нелинейной |
ха |
линейные модели, в которых |
||||
рактеристики |
приемистости |
к |
||||
ТЭС |
смеси. |
|
|
приемистость к ТЭС задает |
||
|
|
|
|
ся |
не для марки |
в целом, |
Если B(z) задана |
|
а по компонентам. |
графика, |
|||
в виде |
полинома или |
|||||
удобно применить ô-метод кусочно-линейной аппрокси мации, позволяющий свести задачу к линейной.
Рассмотрим пример кусочно-линейной аппроксима ции зависимости В (г) (рис. 4-10). Исходя из максималь но допустимой погрешности, разбиваем исходный интер
вал изменения z на г (г=3) |
участков и вводим г доба |
вочных переменных |
|
Г |
|
г = 2 |
г , ; |
/=1 |
|
гДг,; |
f= = l...... г; |
Г |
|
0 = 2 a‘z‘' (=1