книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством
..pdfЗадачу (4-29) можно формально отмести к классу обобщенных задач линейного программирования.
Решением задачи будут значения переменных и[к),у(кК
На основе этих значений по формуле (4-20) находятся величины входных потоков. Данную формулировку за дачи можно назвать формулировкой в относительных единицах, так как основную часть решения составляют
значения переменных и(к), Î=1, . . п, задающих опти
мальное соотношение входных потоков.
Используя стандартную процедуру перехода от за дачи обобщенного линейного программирования к экви валентной (см. [20]), можно вместо (4-29) получить но вую формулировку задачи. Воспользовавшись заменой
переменных из (4-20) |
и(к)— х(к)jyk, получим: |
|
пк |
(k). |
|
S |
< ' = r |
|
i=l
yKk)u№ ^ х
y ^ ^ y } k\ |
JC(.A)> 0 ; |
(4-30) |
|||
y {k )v №) ^ |
Ч |
v (k) yik) ^ |
v W y (k ). |
|
|
V I |
|
||||
— S |
/=1 |
S i |
L |
S |
|
|
|
Uk |
|
— m ax. |
|
F ^ c ^ y ^ — |
^ |
|
|
||
Задача (4-30) является задачей линейного программи
рования, эквивалентной задаче (4-29). В задаче (4-30)
П
можно на основе равенства ^ |
х(к)— у(к) исключить |
из |
î*=s1 |
за |
|
рассмотрения переменную |
Формулировку этой |
|
дачи можно назвать формулировкой в абсолютных еди ницах, так как в результате решения находятся абсо
лютные значения входных потоков х {к\ i= 1, ..., л*.
Таким образом, в случае линейного выпуклого много гранного множества U/t [см. ограничения (4-21), (4-22),
(4-25)] и линейного функционала типа (4-28) имеются две эквивалентные формулировки задачи оптимального оперативного управления смешением: первая, в относи тельных единицах, представляет собой задачу обобщен ного линейного программирования, вторая, в абсолют ных единицах, является задачей линейного программи рования.
б) Оптимизация показателя качества
Предположим, что в исходной задаче вместо функ ционала (4-28) отыскивается экстремальное значение линейного функционала вида
Ч
F = 2 d f'u f, |
(4-31) |
i=I
где d[k) —заданные вещественные числа.
I
По физическому смыслу таким функционалом могут быть, например, затраты на управление или показатель качества процесса. Исходная задача в формулировке (4-29) с функционалом (4-31) будет относиться к классу задач математического программирования с переменны ми коэффициентами. При переходе к формулировке за дачи в абсолютных единицах получается задача дробно линейного программирования с функционалом
Ч
2 dW*\k)
/=1
Методы решения подобных задач достаточно хорошо разработаны [159, 160].
в) Задача с переменными качественными показате лями входных потоков
Выше [см. формулу (4-23)] предполагалось, что качест венные показатели входных потоков являются постоян
ными. В общем случае эти величины тоже могут быть
102
переменными! |
т. е. в (4-23) и (4-25) |
—переменные, оп |
||
ределяемые на некотором множестве Ак. Тогда |
в (4-30) |
|||
переменными |
являются |
не только |
х(к), у^к\ |
но и о(А), |
5 ■ 1} • • ♦ j j |
Ь- 1 у • • » ) |
|
I |
SI |
• |
|
|
||
Рассмотрим случай, когда для каждого i-го столбца коэффициентов п(А) в (4-30) задано многогранное ограниценное выпуклое множество Л(Л) допустимых значений
этих коэффициентов. Физически это означает, что суще ствует возможность выбора входных компонентов с нуж ными качественными свойствами.
Каждое из этих множеств может быть задано как координатами своих вершин, так и системой ограниче ний, наложенных на значения коэффициентов.
Рассмотрим другой случай. В качестве системы огра ничений, определяющих каждое множество А{к), рассмот рим следующую систему:
п(Л)< |
v{k) •< vlk), |
(4-32) |
|
—. St |
s i ^ s i |
x |
' |
где v{k), v{k) —заданные числа.
—S i |
S i |
Исходная задача оперативного управления смешением в формулировке (4-30) с переменными показателями каче
ства |
и ограничениями (4-32) будет задачей обобщен- |
ного линейного программирования, которая стандарт ным образом сводится к задаче линейного программи рования.
г) Модель смесительной операции с фиксированными режимами
Выше рассматривалась модель смесительной опера ции (4-20) в случае, когда множество допустимых ре цептов смешения U/t задано аналитически системой ра венств и неравенств [см. (4-21), (4-22)]. В частности, рассматривались два случая: одни с постоянными, вто рой с переменными показателями качества входных по токов.
Рассмотрим теперь другой вид задания множест ва Ufc. Будем предполагать, что смесительная операция описывается системой уравнений (4-20) и входит как
часть в общий комплекс других операций, связанных материальными потоками х {2\ t = l , . . п.
На рис. 4-5 смесительная операция показана как операция 1, а все остальные объединены в операцию 2.
Уравнение связей, ограничения на запасы исходных компонентов (потоков) и другие ограничения записы ваются в виде
u[l)yW
(4-33)
Требуется при выполнении заданных ограничений (4-33)
определить величины у ^ > 0 , |
/ = 1, |
т, xj1* > |
0 , i = |
||||
= 1, |
л, максимизирующие валовой |
выпуск: |
|
||||
|
|
F = u J V > + 2 |
c/ÿf - m a x . |
|
(4-34) |
||
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
В формулах (4-33) и (4-34) |
\ с,—цены; dijy |
bt—по |
|||||
стоянные |
коэффициенты. |
|
|
|
|
|
|
Z»; о-г- |
|
п> |
(О |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4-5. Пример комплекса, |
|||||
biOf |
|
|
|
||||
Ьп°- |
|
1п<г) |
(г) |
включающего |
смесительную |
||
|
|
операцию с |
фиксированны |
||||
|
|
А'(г) |
|||||
|
|
ми режимами. |
|
||||
|
|
А |
’(г) |
|
|||
|
|
'т |
|
|
|
|
|
Предполагается, что |
технологические |
коэффициенты |
|||||
wj1), i = 1, |
.... п и цена |
являются управляемыми перемен |
|||||
ными, которые определены на множестве Ui значений этих коэффициентов. Множество Ui представляет собой выпуклый, ограниченный многогранник, заданный коор динатами своих вершин
Uj. |
{НоГ’ ^1/•> |
^вг}| f |
•••> Т*, |
где Т — число вершин многогранника.
104
Полученную задачу можно записать следующим об разом:
х |
* = |
1.........я; |
|
|
/=1diiyf)=zbi; |
||
|
Л/, У) > |
0; |
(4-35) |
и=!{м‘,), |
м[Г), |
|
и е и ,; |
|
Ш |
|
|
^ = « J V ,)+ 2 |
^ / 2) ->тах* |
||
|
/=i |
|
|
Задача (4-35) формально не является задачей ли нейного программирования, но может быть сведена к ней.
Представим каждую управляющую переменную и[1\
заданную на выпуклом многогранном множестве, ь сле дующем виде:
ul} ]= y t |
«(1)Я(,), /= 0 , |
1, |
п; |
|
I |
\Г Г |
|
|
|
Г=1 |
|
|
(4-36) |
|
Т |
|
|
||
1, яг>о, г— |
1,.... т. |
|||
2 я(1) = |
||||
г |
|
|
|
|
Г = 1
Подставляя (4-36) в (4-35) и вводя новые переменные г/1г = я|/)#|1), получаем следующую задачу линейного про
граммирования:
л:!1*= 2 |
“i'Vir*» l*= |
0» 1. •••> я; |
Г=1 |
|
|
|
m |
|
< |
4 - 3 |
(4-37) |
|
/=1 |
|
|
Ухг>0; |
|
Т |
п |
|
f=3 |
“ T f t r + S |
а д / — m a x - |
r= l |
1=1 |
|
Решение исходной задачи находится по формуле
iy(1,= S L . Г=1
где #1Г—решение задачи (4-37).
При переходе от уравнения (4-20) к уравнениям
•*‘" = 2 |
«У = 2 |
|
Г= I |
Г=1 |
|
исходная операция смешения |
фактически |
заменяется |
параллельным соединением |
Т операции |
смешения |
(рис. 4-6), каждая |
из которых характеризуется опреде |
|
ленным фиксированным рецептом смешения |
(гра |
|
ничным режимом). |
|
|
б) Параллельное соединение смесительных операций
Будем предполагать, как и ранее, что k-я смеситель ная операция определяется системой уравнений (4-20). Рассмотрим параллельное соединение N таких смеси тельных операций (рис. 4-7) при условии развязан-ных выходных потоков и объединенных источников входных потоков.
В задаче управления полученным комплексом опе раций требуется при ограничении исходных сырьевых потоков
2 |
/ = 1, .... л», |
(4-38) |
k—l
где Xi — заданные вещественные числа, и при необходи мости выполнения плановых заданий уМ по всем выход
ным потокам
г/(Ь)>у№), k = l, ... ,N |
(4-39) |
максимизировать общую прибыль
F = 2 «о4 !/'4’ —2 'Z cf y muT- |
(4-40) |
|
А=1 |
*=1/=1 |
|
Сформулированная задача представляет собой ли нейную задачу с переменными коэффициентами, кото-
рая в силу того, что в ограничениях задачи переменные коэффициенты связаны по столбцам (связь осуществ ляется через множества U/J, допускает применение стандартных процедур решения. В частности, когда множества U/t описываются системами ограничений ви да (4-21), (4-22), задача (4-38)—(4-40) сводится к сле дующей эквивалентной задаче линейного программиро вания:
|
|
Л/ |
|
|
|
|
|
|
|
/S0 = 1 |
ХТ < х ‘> |
|
|||
u\k) 2 |
|
|
|
2 |
х\к)'> |
||
|
|
1=1 |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
"к |
x f > |
|
|
||
|
|
2 |
|
(4-41) |
|||
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
„(й| |
у |
хт |
si |
Лк) ^ —(A)у |
X Ш. |
||
_ s |
£А |
i |
i |
|
s |
i 1 |
|
|
/=1 |
|
|
|
i=I |
|
|
|
N |
nk |
|
|
N |
nk |
max. |
* = 2 |
2 W |
|
- S |
|
2 |
||
|
ft=l i=l |
|
|
/0=1 1=1 |
|
||
Если каждое множество |
|
представляет собой огра |
|||||
ниченный многогранник, заданный координатами своих вершин
(к) '__ |
(*) |
ш |
} г = 1, |
Tk> |
|
и |
= |
{2iг |
Uпг |
||
то задачу (4-38) — (4-40) с учетом (4-35) — (4-37) можно свести к следующей эквивалентной задаче линейного программирования:
N Т к |
-(*><» |
Xi* |
|
|
2 2 |
|
|||
ir |
|
|
||
k=l r=I |
|
|
|
|
2 |
(/0) |
(к). |
|
■(4-42) |
«г |
У |
|
||
Л' |
N |
к ‘к |
|
|
*=2 2 cW ’- 2 2 2eî*’W |
шах. |
|||
*= 1 г = 1 |
к=1 |
1=1Г=| |
) |
|
При |
этом |
схема |
рис. 4-7 преобразуется в схему |
рис. 4-8, |
где |
каждая |
из Тк, /г = 1, ..., N параллельных |
операций смешения работает по фиксированному рецепту
tr
Рис. 4-6. Замещение смеситель ной операции на риг. 4-5 па раллельным соединением Т опе раций смешения.
Рис. |
4-7. Параллельное соеди |
Рис. 4-8. Замещение операций |
|
нение |
смесительных операций. |
на рис. 4-7 |
схемами с фикси |
|
|
рованными |
режимами. |
В последующих трех параграфах рассмотрим при меры систем оперативного управления операциями сме шения в различных отраслях промышленности.
4-4. Подсистема оперативного управления смешением в сырьевом отделении цементного завода
Основной задачей сырьевого дтделения цементного производства является приготовление из исходных сырьевых компонентов путем измельчения их и смеше ния в нужных пропорциях промежуточного продукта (шлама для «мокрого» способа или сырьевой муки для «сухого» способа производства). Затем полученный про межуточный продукт обжигается во вращающихся пе чах, в результате чего получается основной полупро дукт цементного производства —клинкер.
В дальнейшем будем рассматривать задачу опера тивного управления сырьевым отделением на примере «мокрого» способа производства.
Задача оперативного управления процессом приго товления сырьевой смеси состоит в расчете и реализа ции из поступающих компонентов с изменяющимся со ставом такой смеси, которая удовлетворяет заданным ограничениям на качественные показатели (химический или минералогический состав) и оптимальна е точки зрения определенного критерия.
Эту задачу можно рассматривать как пример одной из типовых задач распределения материальных пото ков —задачи смешения. Воспользуемся моделью сме сительной операции (4-20)
Xi= щу, /= 1 ,..., щ ие=ис,
где Xi — количественное содержание i-го сырьевого ком понента в шламе; п — число компонентов; у — общее количество сухого вещества в шламе; щ определяет относительное содержание i-го компонента в смеси (шламе).
Множество Uc определяется равенством
2 щ= 1, ц. > 0, i = 1........ |
п |
(4-43) |
i=i |
|
|
иограничениями на качественные показатели смеси. Рассмотрим эти ограничения. Введем следующие
условные обозначения:
С, S, А, F—процентное содержание в шламе основ ных контролируемых окислов, соответственно CaO, SiC>2,
№
А120 з, Fe20 3; Со, |
S0, Л0, |
F0 —заданный (требуемый) |
химический состав |
шлама; |
Си Su Ли Fi— химический |
состав i-го сырьевого компонента; М, N, P, Q— процент ное содержание в клинкере основных контролируемых
минералов, соответственно C 3 S , |
C2S, С3А, C 4 A F ; М0, NQ, |
Р0, Qo— заданный (требуемый) |
минералогический со |
став клинкера; qj —потери при прокаливании /-го сырь евого компонента; КН — коэффициент насыщения шла ма; р — глиноземный модуль шлама; t — кремноземный модуль шлама; КНо, to, рь—заданные значения соот ветствующих характеристик шлама.
Предполагается, что значения С, S, A, F наряду с Си Su Ли Fi и С0, So, А0, F0 определены для единичного ко личества сухого вещества шлама.
При условии (4-43) справедливы следующие выра жения:
п |
1 |
С = 2 |
|
£=1 |
|
5 = 2 |
$iuA |
i=\ |
(4-44) |
п |
Atut\ |
А = 2 |
|
i= 1 |
|
F = 2 |
^ . |
1 |
|
Расчетный минералогический состав клинкера свя зан с его химическим составом следующими соотно шениями [81]:
М = 4,07 [С— 1,875 — 1,65 (Л—0,64F) — 1,4F]; N==2,875 —3,07 *0,245М;
Р = 2,65;(А —0,64F);
Q=3,04F.
Будем предполагать, что в результате замеров из вестен химический состав всех компонентов: Си Su Ли Fи i= 1, . •., п. При этом условии в случае требования точного выдерживания химического состава шлама (Со,
J1D