книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством

где коэффициенты at определяются как

Вэтом случае для ограничения по октановому числу

сиспользованием зависимости (4-72) можно записать:

Таким образом, задача с нелинейными ограничения­ ми сводится к задаче линейного программирования.

Приведенные выше зависимости для основных пара­ метров бензинов позволяют построить модели смешения для конкретных марок. Обычно учитываются зависимо­ сти для октанового числа по моторному и исследова­ тельскому методу, содержания серы, упругости паров, фракционного состава, плотности, содержания тетра­ этилсвинца и содержания ароматики.

Кроме этого, в ряде случаев вводятся дополнитель­ ные ограничения, прямо не предусмотренные ГОСТ, но вводимые на основе многолетнего опыта технологов, такие, например, как предельное содержание опреде­ ленных компонентов.

На производстве опытные технологи при расчете ре­ цептов смешения в каждом отдельном случае могут учитывать лишь часть ограничений, зная на опыте, что при этом оставшиеся качественные показатели смеси будут находиться в заданных пределах.

В качестве критерия оптимальности работы произ­ водства, как уже указывалось в случае КТ и ДТ, могут быть приняты максимизация прибыли, минимизация суммарных издержек при ограничениях по плану вы­ пуска, максимизация выпуска отдельных готовых про­ дуктов и т. д. Переменные щ, z входят в любой из пере­ численных критериев линейно. Например, если принять в качестве критерия F минимум себестоимости смеси, получим:

П

F= 2 Ci^l

1=1

где Ci— цена (или себестоимость) компонента; с0— цена этиловой жидкости в пересчете на ТЭС.

Выше задача смешения бензина была сформулиро­ вана для относительных количеств щ компонентов. При линейных ограничениях не представляет затруднений переход к задаче для абсолютных значений расходов компонентов х^=щу, где у — количество смеси.

При нелинейных зависимостях вида (4-72), переходя к переменным Х{, получим следующее ограничение:

отличающееся от (4-72) наличием произведения Вэi (z)у. Ограничения, аналогичные (4-73), получаются для моторного октанового числа и сортности. Линейные ограничения по упругости паров и другим показателям

не изменяются.

Принимая в качестве критерия F себестоимость сме­ си, получаем:

П

F (х, у, z) = 2 °ixi + С*2У'

i=i

Задачу с критерием F(x, у, z), нелинейными ограни­ чениями вида (4-73) и линейными ограничениями отно­ сительно Xi можно рассматривать как задачу с пере­ менными коэффициентами (см. § 2-3).

4-7. Разделительная операция

Разделительная операция характеризуется одним входным и несколькими выходными потоками (см. рис. 2-6). Эта операция является достаточно общей мо­ делью различных процессов разделения смесей: ректи­

в ряде работ [46, 47]. Обычно на одной стадии процесса смесь разделяется на два продукта. Разделение много­ компонентной смеси осуществляется последовательно с получением на каждой стадии двух продуктов. Воз­ можны более сложные последовательно-параллельные схемы и схемы с рециклами.

Таким образом, разделительная операция с т вы­ ходными потоками обычно соответствует последователь­ ному или более сложному соединению процессов раз­ деления.

В дальнейшем будем рассматривать следующую мо: дель разделительной операции:

но рассмотрим случай, когда множество 1Д задано ана­ литически с помощью системы равенств и неравенств вида

где и(!1)— заданные числа.

Для процесса разделения существенны зависимости между показателями качества входного и выходных по­ токов или между концентрациями отдельных компонен­ тов во входном и выходных потоках.

а) Общая постановка задачи

Для каждого 5-го компонента должно выполняться усло­ вие материального баланса по содержанию этого ком­ понента в смеси

в смеси.

Ёудек предполагать, что Концентрации от­ дельных компонентов в выходных потоках ограничены требованиями по чистоте продуктов или другими пока­ зателями качества

J—1

ипо производительности процесса

(4-79)

где у{к), х {к)—заданные числа.

Допустимые режимы разделения определяются огра­ ничениями (4-75)—(4-79).

Равенство в (4-75) следует из (4-76) и соотношений для концентраций:

Можно видеть некоторую аналогию между задачей (4-80), (4-81) и задачей (4-29) для смесительной опера­ ции. Формулировку (4-80), (4-81) молено, как и в слу­ чае' смесительной операции, назвать формулировкой в относительных единицах.

Переходя к абсолютным значениям потоков гу^к\ вме­ сто (4-80), (4-81) получим:

y 'f > у(к);

tnk

S3v<sful]k) ~ vsk)x<k)’ 5==^- •••• h'*

2 = •*<*><.*<*>; s=l

mk

F = Èi cf y f —4 ^ (/i)—niax. /=i

Задача (4-82) с переменными коэффициентами v{® яв­

ляется задачей обобщенного линейного программирова­ ния. Задачу (4-82) по аналогии со смесительной опера­ цией будем, называть формулировкой в абсолютных единицах.

коэффициентами имеет смысл только при lk< tnk. Если число компонентов смеси больше числа потоков (lk’>mk),

то задача при постоянных коэффициентах теряет смысл, так как система уравнений (4-76) при произвольно

тами и**}, когда количество компонентов смеси lk больше числа выходных потоков (/*'> тк) и по всем компонентам

должны учитываться условия баланса (4-76).

В этом случае решение (4-82) удобно получить, введя

Тогда вместо (4-82) получим:

mи

M'

Вформуле (4-83) переменные выходные потоки можно

lk

исключить, воспользовавшись равенством у[к)= ^ У{к)-

s = I

Задача (4-83) является задачей линейного програм­ мирования, эквивалентной (4-82).

б) Параллельное соединение разделительных операций

Рассмотрим параллельное соединение N раздели­ тельных операций (4-82) при развязанных выходных потоках и общем входном потоке (рис. 4-11).

Ограничения (4-82) сохраняются для каждой опера­ ции. В ограничениях задачи (4-82), (4-88) переменные коэффициенты связаны по столбцам, поэтому эта задача с функционалом (4-86) допускает применение стандарт­ ных процедур решения.

в) Последовательное соединение разделительных опе­ раций

В химической технологии многие операции разделе­ ния выполняются последовательными аппаратами.

Рассмотрим последовательное соединение N раздели­ тельных операций (рис. 4-12), каждая из которых опре­ деляется системой уравнений [|см. (4-74) ].

Рис. 4-12. Последовательное соединение раздели­ тельных операций.

Условия последовательного соединения операций за­ пишутся как

Предположим, что кроме ограничений вида (4-75) множество 1КА) определяется ограничениями, наложен­ ными на качественные показатели продуктов. Обозначим

6-й операции, например концентрацию 5-го продукта;

через и(к) 5-й качественный показатель /-го выходного

SJ

потока 6-й операции; все эти величины являются пере­ менными. Введем ограничения на качество промежуточ­ ных продуктов

качество исходного продукта х {1) будем считать заданным

<4'92)

Как и ранее, предположим линейную зависимость между качественными показателями входных и выход­ ных потоков каждой операции

mk

vT = 'Z ^ i aT - s = 1...... <4-93> /='

Рассмотрим задачу максимизации прибыли. Тре­ буется при наличии плановых ограничений на выходные продукты

и запасы исходного продукта

(4-95)

где у\к), y\N\ л(,) — заданные числа, найди такие значе­

ния х{к) и у(к), которые максимизируют прибыль

Можно показать, что сформулированная задача опе­ ративного управления путем соответствующей замены переменных может быть сведена к эквивалентной задаче линейного программирования.

г) Оптимальное разделение нефти1

При первичной переработке нефти происходит разделение сме­ си с непрерывным фракционным составом (нефти) на ряд целевых

В пределах заданных ограничений распределение фракций между целевыми продуктами неоднозначно и среди возможных распреде­ лений можно выбрать такое, которое максимизирует (или мннп-

1 В постановке задачи участвовали А. П. Кравченко, Б. И. Кусовский, В. О. Чинакал и Б. Н. Вижгородскин.

Рис. 4-13. Кривые истинных температур кипения (ИТК) нефти и нефтепродук­ тов.

мизирует) некоторый экономический кри­ терий, например выпуск продуктов в стоимостном выражении.

Состав смеси с непрерывными фрак­ циями предполагается известным в виде суммарной характеристики, так называе­ мой кривой истинных температур кипе­ ния (ИТК) нефти [85]. Характеристика ИТК определяется на основе методики [87]. Эксперименты показывают, что методика [87] дает достаточно хорошие результаты для расчета ИТК нефтепро­

дуктов [.93]. Характеристики ИТК нефти получаются путем сумми­ рования характеристик отдельных продуктов (рис. 4-13). При раз­ делении смеси с непрерывным фракционным составом необходимо учитывать следующие ограничения: по условиям материального ба­ ланса по фракциям, по четкости разделения и показателям качест­ ва продуктов.

При разделении смеси уравнения материального баланса ана­ логичны (4-76) и должны выполняться по каждой узкой фракции с температурой выкипания от ta до fs-f-Д/. Однако удобнее запи­ сать уравнения баланса в интегральном виде для интервалов тем­

тельное объемное количество исходной смеси, отгоняемой до тем­ пературы ^4(г?в^ 1 ).

В формуле (4-97) предполагается, что каждая фракция может содержаться только в двух смежных продуктах.

Число уравнений баланса (4-97) определяется необходимой точностью аппроксимации кривых фракционного состава продуктов. Обычно достаточную точность дает линейная аппроксимация фрак­ ционного состава смежных продуктов в области перекрытия кри­