книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством

По физическому смыслу не все переменные потоки х(Л), х(°), у(°> и режимные параметры u(ft) являются независимыми. Во-первых, некоторые входные х<°) или выходные у(°) потоки комплекса фиксированы в соответ­ ствии с технологическим содержанием задачи или пла­ новыми ограничениями. Во-вторых, уравнения матери­ ального баланса (1-2) в некоторых случаях позволяют исключить зависимые переменные и тем самым упро­ стить всю задачу. В частности, для этого можно исполь­

в каждой конкретной задаче можно исключить некото­ рые переменные и тем самым упростить задачу. Далее будем предполагать, что такие преобразования выпол­ нены и ограничения (1-3) исключены.

При формулировке задач (1-1) — (1-5) не принима­ лись во внимание ограничения, связанные с наличием входных, промежуточных и выходных конечных запасов продуктов в емкостях (на складах). Эти ограничения могут быть учтены. Так, ограничения, связанные с вход­ ными и выходными запасами комплекса, могут быть включены в множества Х<°) и Y(°), для учета промежуточ­ ных запасов можно каждую из имеющихся промежуточ­ ных емкостей представить как самостоятельный; 5-й агрегат с суммарным за интервал управления входом

x(s,/и выходом у я . Тогда формулы (1-2) сохраняют свой вид, а к системе ограничений при наличии рассматри­ ваемой 5 -й емкости добавляется ограничение на запасы вида

Выше, в задаче оперативного управления, учитыва­ лись только количественные показатели материальных потоков. Во многих задачах оперативного управления возникает необходимость учета также различных физи­ ко-химических качественных показателей потоков. В этом случае к системе зависимостей (1-1) добавляется си­ стема

йределение материальных потоков между агрегатами. Определение переменных u<ft) производится на нижнем уровне //, исходя из условия реализации полученных на верхнем уровне значений х^, y(ft\ v<4 Подобный подход возможен в случае, когда переменные u<fe) не входят или несущественно влияют на критерий (1-5). При этом области; значений переменных на входах и выходах [см. (1-4), (1-8)] такие, что для каждого значения пе-

S

ТТ“Of)

Рис. 1-3. Структура двухуровневой модели комплекса.

/ — модель верхнего уровня; II — то же нижнего.

Рис. 1-4. Схема комплекса с агрегатами, имеющими один вход и выход.

ременной, например х<й), в Допустимой области при лю­ бых допустимых значениях других рассматриваемых пе­ ременных на входах и выходах найдутся такие значения режимных переменных, которые позволят получить это значение х<4

В ряде работ [21, 22] вместо общей модели (1-1) — (1-3) рассматривается более частная модель с агрега­ тами, имеющими один вход и выход, вида

с которых потоки поступают на вход k-ro агрегата.

плекса), на которые поступает выходной поток данного /-го агрегата; a.kj могут быть как заданными величина­ ми, так и искомыми переменными задачи.

Вместо введения переменных отдельно для входных хМ и выходных у(г) потоков агрегатов, как это сделано в уравнениях (1-1) — (1-3), можно вводить другие пере­

ходный параметр потока между i-м выходом â-ro агре­ гата и /-м входом г-го агрегата. В случае отсутствия потоков между определенными входом и выходом дан­ ных двух агрегатов соответствующая переменная не вво­ дится. Такая система переменных позволяет сократить общее число переменных в модели. Однако в таких обозначениях сложно записать уравнения материального баланса.

Модель комплекса можно преобразовать в эквива­ лентную, не обращая внимания на ее внутреннюю струк­ туру. Предположим, для общности, что ограничения (1-4) заданы в виде некоторой системы равенств, на­ кладываемых на соответствующие значения входных и выходных переменных. Если средщ ограничений есть неравенства, то добавлением новых переменных их мож­ но превратить в равенства. Тогда для конкретного ком­ плекса можно, подставив (1-1) в уравнения (1-2) и кри^ терий (1-5), исключив ряд переменных и введя новые переменные для расходных параметров материальных

Преобразование задачи к виду (1-9), (1-10) не упро­ щает решение, а служит лишь для стандартизации за<

писи и применения общих методов нелинейного програм­ мирования. Специфика преобразованной модели (1-9), (1-10) будет рассмотрена в гл. 2.

Рассмотрим еще одну модель для приближенного описания производственных возможностей агрегатов комплекса через режимы работы каждого агрегата [9] на примере к-то агрегата с одним входом и многими выходами (рис. 1-5). Предположим, что k-й агрегат мо­ жет работать в 7\ различных режимах и для каждого г-го режима известна производительность агрегата по

выпуску /-го продукта и[р 1\отнесенная к единице входно­

го потока.

Следовательно, если k-\\ агрегат переработает х[к)

входного продукта на г-м режиме, то выход /-го продук­ та составит:

жимов в работе /г-го агрегата.

В дальнейшем основное внимание будет уделено по­ становке задачи оперативного управления в форме

(1-1)— (1-5) или (1-9), (1-10), при этом, если это специ­ ально не оговаривается, будут исследоваться задачи опе­ ративного управления в условиях полной информации о параметрах модели комплекса и в предположении, что полученное решение может быть точно реализовано, хо­ тя это и является известной идеализацией.

Последнее предположение, касающееся того, что за­ дачи рассматриваются в условиях полной информации о параметрах модели, связано со следующим. В настоя­ щее время известно достаточно мало постановок задач оперативного управления в условиях неопределенности. Однако уже эти постановки указывают, что исследова­ ние задачи в условиях неопределенности требует пред­ варительного изучения детерминированных моделей. Это диктуется следующими обстоятельствами. Во-пер­ вых, по мере уменьшения дисперсии параметров стоха­ стической модели она приближается к детерминирован­ ной, которую можно рассматривать как предельную.

Кроме того, случайные изменения параметров моде­ ли, например лимитируемых ресурсов, учитываются на практике упрощенно введением запасов по этим про­ дуктам в детерминированной задаче. Во-вторых, задачи планирования и оперативного управления в условиях неопределенности формулируются в виде задач стохасти­ ческого программирования, которые в свою очередь мо­ гут быть сведены к эквивалентным детерминированным задачам [112]. Последние в той или. иной форме вклю­ чают детерминированную модель исходной системы и в достаточно важных частных случаях тождественно сов­ падают с ней.

Таким образом,. изучение детерминированных поста­ новок можно рассматривать как некоторый этап на пу­ ти исследования стохастических постановок задач опе­

В общем случае работа отдельных агрегатов описыва­ ется дифференциальными уравнениями, учитывающими динамические свойства агрегата. Изменение конечных и промежуточных запасов продуктов, сосредоточенных в емкостях, также описывается дифференциальными уравнениями.

Если учитывать динамику отдельных агрегатов и за пасов, то общая модель комплекса из статической пре­ вращается в динамическую. Следует отметить, что, как правило, динамические параметры агрегатов сильно от­ личаются от динамических параметров емкостных звень­ ев, поскольку последние являются существенно более инерционными. Обычно в задачах оперативного управле­ ния агрегаты рассматриваются как статические звенья и их динамикой пренебрегают, а динамические свойства емкостных звеньев учитываются в моделях календар­ ного планирования.

Следует отметить, что существует определенный класс задач оперативного управления, где требуется учет ди­ намических свойств не только емкостей, но и агрегатов. Подобные задачи возникают либо при существенной инерционности агрегатов, либо при отсутствии значи­ тельных емкостей в комплексе, например в системах с газообразными продуктами. Помимо задач оптимиза­ ции отдельных агрегатов [11] динамические свойства существенны при некоторых стохастических постановках задач для комплекса агрегатов [2], а также в случаях, когда требуется минимизировать количество продукта в емкостях или время пребывания продукта между опе­ рациями.

Г л а в а в т о р а я

МОДЕЛИ ОПЕРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Алгоритмы решения сформулированных в гл. 1 задач оперативного управления в значительной мере опреде­ ляются тем, к какому классу задач математического программирования будут сводиться постановки (1-1) — (1-5) или (1-9), (1-10).

Делая различные предположения относительно свойств функций F и G в задаче (1-9), (1-Ю), можно получить различные преобразования модели оператив­ ного управления работой комплекса. Рассмотрим неко­ торые классы этих моделей и параллельно связь свойств преобразованной модели с видом характеристик отдель­ ных агрегатов j<hl

2-1. Линейная модель

В случае линейной модели комплекса формулы (!-§)< (1-10) запишутся следующим образом:

Задача оперативного управления в данном случае сводится к задаче линейного программирования.

Подобные линейные задачи применительно к задачам распределения материальных и энергетических потоков рассматривались во многих работах [5, 8, 9, 12, 23—32]. При этом существенное внимание было уделено методам расчетов линейных моделей для систем большой раз­ мерности [20, 33].

Предположим, что работа отдельных агрегатов опи­

а{!9, с\к) — заданные числа; множества Х<0), Y(e), Х(/г\ Ÿ<&)

дят линейно.

Тогда из (1-2), (1-3) следует, что преобразованная модель (1-9), (1-10) будет моделью линейного програм­ мирования. Это справедливо и для систем с рециркуля­ цией [5].

В (2-4) предполагается, что затраты на функциони­ рование /г-го агрегата представляются в виде суммы

Таким оёразом, при наличии iia входе и выходе /-го агрегата г компонентов линейная модель для i-ro агре­

ры.

Подставляя в уравнения (2-7) выражения (2-5) и (2-6), получаем систему уравнений материального ба­

ланса, выраженную через переменные х[к1К

Рассмотрим для упрощения задачу нахождения допу­ стимого оперативного управления для комплекса с мо­ делью (2-7), т. е. управления, удовлетворяющего огра­ ничениям, представленным системой уравнений матери­ ального баланса. Будем предполагать, что при фикса­ ции входных и выходных потоков комплекса система уравнений материального баланса имеет единственное решение.

В качестве примера выпишем систему уравнений компонентного материального баланса для комплекса, состоящего из двух агрега­ тов, изображенного па рис. 2-1.

Для первого агрегата имеем на входе компоненты 1 и 2 и компонент 3 на выходе. Система (2-7) перепишется следующим образом:

Для второго агрегата имеем на входе компоненты 1 и 3 и ком­ поненты /, 2 и 4 на выходе, из которых 1 и 2 подаются обратно на вход первого агрегата. Система (2-7) примет вид:

,,(2) _ (2) (2) , (2) (2).

У1 — “п x i + “ 1з хз >

*!2)+ 4 1 ’ 4 2>;

4 2>= «‘?> *12’ + «<§>

Принимая во внимание, что согласно рис. 2-1