книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством

Тогда, если окажется, что аг>0, полученная зависи­ мость будет проходить через нуль. Сказать заранее, какие знаки будут иметь коэффициенты в (3-7), в об­ щем случае нельзя, поэтому построение (3-7) таким спо­ собом может оказаться неэффективным.

Для решения задачи при ограничениях на знаки коэффициентов или в общем случае при любых ограни­ чениях (неравенствах или равенствах), наложенных на коэффициенты, необходимо использовать аппарат мате­ матического программирования, что существенно услож­ няет процедуру поиска коэффициентов модели по срав­ нению с процедурой решения системы линейных урав­ нений.

Например, при построении статических моделей уста­ новок часто необходимо помимо других ограничений учитывать условия материального баланса или вводить ограничения па потери, например, в виде

где ai, «2 — возможный диапазон значений потерь. Таким способом получаем дополнительные ограниче­

ния иа коэффициенты а* модели (3-4) или (3-1). В этом случае для построения моделей приходится применять методы математического программирования. Если уста­ новка имеет несколько выходов, то суммарные ограни­ чения на потери

(3-8)

где т — число выходов.

Критерий задачи с приведенным ограничением квад­ ратичный [см. (3-2)].

Прежде чем привлекать к решению задачи аппарат математического программирования, можно попытаться найти решение более простым способом. Когда ограни­ чения наложены только иа знаки коэффициентов моде­ ли, таким простым способом является регрессия по первой главной компоненте. Рассмотрим этот способ на примере модели (3-4), поскольку все сказанное легко переносится и на (3-1).

Коэффициенты йхУстоящие перед хи должны иметь определенные знаки, соответствующие физическому

смыслу задачи. Обычно требуется, чтобы эти знаки со­ впадали со знаками коэффициентов корреляции: у с х*. В крайне редком случае пассивного эксперимента, когда все Xi и Xjy j не коррелирован» или слабо коррелиро­ ван» между собой, коэффициенты а,-, действительно, бу­ дут иметь одинаковые знаки с коэффициентами корре­ ляции между у и Xi. В других случаях, наличие связи между аргументами приводит к непредсказуемым зара­ нее знакам коэффициентов а*.

От коррелированных хгможно путем ортогонально­ го преобразования перейти к новым некоррелированным переменным z\, гг, . . zv:

t=i

где Uij — нормированные коэффициенты матрицы преоб­ разования; xi, Oi — средние и средние квадратические отклонения от средних.

При этом Z\ имеет максимальную дисперсию, т. е. располагается вдоль главной оси эллипса рассеяния пе­ ременных Х{.

Из опыта построения зависимостей

методом наименьших квадратов следует, что после под­ становки (3-9) в (3-10) полученная формула (3-4) имеет коэффициенты со знаками, очень часто совпадающими со знаками соответствующих коэффициентов корреля­ ции между у и Xi.

Строки матрицы преобразования Uj являются собст­ венными векторами корреляционной матрицы R аргу­ ментов Xi, упорядоченными в порядке убывания соответ­ ствующих собственных значений. Собственные значения %j корреляционной матрицы неотрицательны и в сумме равны V [76].

Регрессия по первой главной компоненте может строиться и при условии прохождения зависимости (3-4) через начало координат. Из (3-10) и (3-9)

а0 будет равняться нулю, если выбрать

(3-12)

Точность построения моделей определяется объемом выборки N, если объект в процессе накопления экспери­ ментальных данных не меняет своих свойств.

Если модель построена по начальному объему вы­ борки, а затем получено еще некоторое количество экспериментальных точек, то уточнение модели может быть осуществлено либо путем ее перестройки по объединенной выборке, либо путем рекуррентной кор­ рекции коэффициентов последовательно по каждой до­ полнительной точке [77, 78],

Если моделируемый объект нестационарен и измене­ ние параметров носит характер тренда, то модель долж­ на периодически перестраиваться по обновленной вы­ борке, полученной путем замены старых данных новыми, или периодически корректироваться по вновь поступаю­ щим точкам в незатухающем, в отличие от стационар­ ного случая, рекуррентном процессе построения модели.

3-2. Построение диапазонных моделей

0 < u < c 0+ Cx, J

введенной в § 2-3.

Здесь ао, с0— векторы; A, G и С — матрицы коэффи­ циентов; у, х — векторы выходных и входных потоков объекта; и — вектор, обеспечивающий зависимость вы­ ходных параметров от входных в некотором диапазоне их значений.

Вектор и может иметь физический смысл, когда его компонентами являются технологические параметры, такие как температура, давление и т. п. Тогда, набрав достаточное количество экспериментальных точек, со­ держащих значения у, х, и вышеописанными способами можно найти коэффициенты а0>71, G (3-13). Но этот слу­ чай не отличается принципиально от известных случаев построения моделей вида (3-4) или (3-1). Принциииаль-

но новым является построение модели (3-13), где вектор и, служащий для связи выходов между собой, не явля­ ется в прямом смысле вектором управляющих воздей­ ствий и, естественно, отсутствует в выборке эксперимен­ тальных данных.

Модель (3-13) является частным случаем более общих нелинейных моделей ( 1-1 ), содержащих подоб­ ный вектор и в качестве аргумента, например:

циентами (см. § 2-3).

Модель (3-13) как частный случай (3-15) должна называться моделью с переменными коэффициентами, но модель (3-14), более общую, чем (3-15), так назвать нельзя. Возникла необходимость в ином термине, под­ черкивающем отличие рассматриваемого класса моде­ лей от известных (строящихся по выборке эксперимен­ тальных данных), во-первых, неоднозначностью значе­ ний выходов при фиксированных входах, во-вторых, наличием при этом связей между выходами. И то и другое реализуется вовлечением в модель фиктивного векто­ ра и, принимающего произвольные значения из некото­

квадратичного или линейного программирования в зави­ симости от того, минимизируется среднее квадратиче­ ское отклонение или максимальный модуль погрешности модели [42].

Минимум ищется не только по я0, А, с0 и С, но и по и при фиксированной матрице G. При этом оптимальное

тываемый вектором и, различен в . каждой экспериментальной точке. Следовательно, и должен находиться для каждой точки, при этом минимизируется значение критерия в каждой точке эксперимента.

Матрица G должна быть оценена заранее. Пусть G имеет d столбцов и т строк и ранг, равный d, и пусть линейно-независимые строки расположены в верхней ее части и образуют невырожденную подматрицу G*. Тогда G можно представить в виде блоков

аиз компонентов у выделить компоненты у\и связанные

состальными уг и-х8линейно:

V d

Матрицей G* необходимо задаваться. В случае d= 1 G* вырождается в скаляр и может быть без потери общно­ сти принята равной единице. При d> 1 точность модели зависит от выбора G*. Как производить выбор G* в этом случае, неизвестно. Некоторые соображения на этот счет приведены в [42].

Если известна матрица G, оценку коэффициентов модели (3-13) можно получить, решая задачу квадра­ тичного или линейного программирования. Задача квад­ ратичного программирования может быть сформулиро­ вана в виде

/ 1=1

— Gut">) + s (с0+ Сх<">)т(с0+ Сх(»>)} — min;

0 < u ^ < c 0-j-Cx(fI), н — 1, N.

(3-18)

Задача линейного программирования

где t — вектор вспомогательных переменных — макси­ мальных по модулю погрешностей по отдельным выхо­ дам модели; в — коэффициент, выбираемый произвольно для получения однозначного результата по Со и С; h — вектор весовых коэффициентов, выбираемых произволь­

но; у(”>, х<п) — векторы выходных и входных параметров

ность вектора входных параметров.

Минимизация осуществляется по t, Со, С, ао, A, u(n>,

п= 1 N.

Размерности задач и количество ограничений в них приведены в табл. 3-1.

а при замене неравенств равенствами их число увели­ чится до 77.

Становится очевидным, что описанным способом нельзя строить хорошие модели, не привлекая дополни­ тельной информации. Эта информация может иметь вид дополнительных ограничений, например уравнений ма­ териального баланса, ограничений на коэффициенты мо­ дели и т. п. Обычно эти ограничения налагаются в гра­ ничных точках области допустимых значений входов или в граничных точках области более простого вида, вклю­ чающей область допустимых значений входов. Наиболее простой областью является многогранник (симплекс), образованный v-{-l точкой. Если в каждой точке долж­ но выполняться Н дополнительных ограничений, то общее их количество составит tf ( v + 1).

Зависимость размеров решаемых задач от объема выборки является существенным недостатком вышеопи­ санных методов. С целью упрощения процедуры пост-

pôeiiim имеет смысл расчленить задачу йа две—задачу

уг (3-17). Этот случай соответствует диагональному виду матрицы G*. Оценку границ уг можно произвести приближенным методом, исключающим зависимость сложности решаемой задачи от объема выборки [42, 153]. В методе используется последовательное построе­ ние границ путем отбрасывания точек выборки, лежа­ щих ниже (выше) предыдущей границы, находимой ме­ тодом наименьших квадратов.

Построение диапазонных моделей является пока до­ вольно сложным и трудоемким делом. Тем не менее мо­ дели участков производства, подобные вышеописанным, на наш взгляд, являются весьма перспективными, веду­ щими к упрощению общих моделей объектов управле­ ния. Для иллюстрации изложенных методов рассмотрим практические примеры построения диапазонных моделей по данным реальных экспериментов.

Пример 3-1 [42]. Построим по экспериментальным данным, приведенным н табл. 3-2 методом линейного программирования диапазонную модель ректификационной колонны, разделяющей изо- пентан-изоамиленовую смесь в производстве изопрена из изопен­ тана. Обозначения в таблице (в тоннах в час) : ij\ — выход изо­ пентана в рецикловом потоке, у 2 — выход нзоамилена в целевом потоке, Хи хг — входы изопентана и нзоамилена.

Экспериментальных данных мало, всего десять точек, поэтому при построении модели потребуем выполнения очевидных ограниче­ ний, таких как неотрицательность выходов и потерь с целевым н рецикловым потоками. Эти потери находятся из условий материаль­ ных балансов изопентановой и изоамиленовой фракций. Предполо-

ЖиМ, что эти дополнительные ограничений должны выполняться в области допустимых значений входов, задаваемых граничными точками (л'н, x2i) с координатами (26,8; 11,9), (0; 11,9), (26,8; 0). В этих же точках потребуем выполнения ограничения на неотри­ цательность функции со+Сх (3-13). Всего дополнительных огра­ ничений-неравенств будет 15 (по пять ограничений в трех точках симплекса). Принимая G = l, определяя методом наименьших квад­ ратов G2= —0,423 [задаваясь е=0,001, Л=1, h2= 1/0,423 и миними­ зируя критерий задачи линейного программирования (3-19)], полу­ чаем модель

tji= 1,6-j-0,94xi—0,14хг-}- Щ

у 2= —0,33-}-0,01 2XI-|-X2—0,423н; 0 и — 1,6—j-0,06xi -J-0,135x2*

Задача содержит 76 переменных и 65 ограничений в форме равенств.

Пример 3-2 [153]. Построим по данным табл. 3-3 диапазонную модель установки дегидрирования изоамиленов в производстве изо­

и нижние границы обоих выходов, чтобы конечный результат не

i/i=l,687-}-0,94xi— 1,04х2-}-«;

1/2=1,767—0,0044xi—0,496x2—0,545к;

0 < u ^ 0 ,l 142—0,0021 х !-}-0 ,822x2.

ные характеристики входного и выходного потоков опе­ раций; 0W — параметр управления, связанный с измене­ ниями режимов проведения операции.

На величину 0<Л) наложены ограничения

0(Ь )^ е (^ 0(/1),

где 0W, 0(Л) — заданные числа.

Кроме (4-1) будет рассматриваться более сложная

где fii — заданная функция от 0W.

Рассмотрим ряд задач оперативного управления для структур комплексов, состоящих из простых типовых операций (4-1) и (4-2).

а) Последовательное соединение простых операций

Рассмотрим цепочку из п последовательно соединен­ ных простых операций (рис. 4-1).

Рис. 4-1. Последовательное соединение простых операций.

где х№ — заданные числа.

Задача максимизации производительности. Требуется

//('O-MTiax.

На основании (4-1), (4-3) можно записать: