книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством

где jc(é0)— количество s-го компонента, поступающего на выход комплекса с 6-го агрегата.

Согласно определению

Г

и на основе этих загрузок отдельные потоки в ком­ плексе.

В(2-10) имеем N переменных (по числу агрегатов).

Вбольшинстве случаев по сравнению с системой (2-7) получается значительное сокращение числа переменных.

Выпишем систему (2-10) применительно к примеру рис. 2-1:

Su —#i01^~Ь a211^2Î

Ss3 — «123^1»

О, =Su+Sl2‘, @2= Su ~Ь SZ3>

причем

G, = х,(01) + 4 01) + («2и + «2,а) <?2; (?2 ^ xj02) -f- aj23G|.

<4!’ 4 0,)+ 4 ÿ * Г >+(^!)«fï>+ 4 Н * ’>* Г

-(И) _ «g»«fl» * r + « îl'4 S M 0,, + A * r

*2 —

A - . g '- o Ü ^ a B '- K g 'a f f e B 'i

4§> 4!’ 40l>+«« “IJ140l) +л4и>

+ “ü ’4!l “i f + “l3, “^ 4 î ) •

Согласно (2-11)

i»r) + «.„ (40l) +4°")i.

Принимая во внимание формулы (2-8), получаем:

*!Ш| + *р‘) =Ô1J» 4 ,2);

2-2. Нелинейная модель

При решении задач оперативного управления для сложных технологических комплексов достаточно часто возникает необходимость в рассмотрении нелинейных моделей комплекса. Эта необходимость возникает, когда для отдельных агрегатов выходные материальные пото­ ки и затраты, связанные с работой этих агрегатов, не­ линейно зависят от входных потоков. Нелинейные за­ висимости могут связывать расходные параметры по­ токов. Однако для химико-технологических производств наиболее характерны случаи нелинейных зависимостей для показателей качества.

Показатели качества продуктов, получаемых при хи­ мических реакциях, и глубина протекания реакций за­ висят от производительности агрегатов. С ростом про­ изводительности сверх номинальной показатели качест­ ва обычно ухудшаются. Аналогичные зависимости могут иметь место не только для химических, но и для физи­ ческих процессов. Так, например, четкость разделения в ректификационных колоннах падает с ростом произ­ водительности. Для сложных агрегатов, состоящих из большого числа аппаратов, насосов и другого оборудо­ вания, оптимальной является номинальная производи­ тельность, при которой согласованы возможности от­ дельных технологических единиц. Отклонение от этого оптимального значения приводит к появлению «узких мест», ограничению производительности и росту потерь,

аследовательно, и затрат.

Вряде случаев введение нелинейностей может су­ щественно повлиять на выбор оптимального решения. Рассмотрим пример, относящийся к задаче технико-эко­ номического планирования работы топливного блока нефтеперерабатывающего завода. В [28] на основе мо­ дели линейного программирования был найден опти-

мальный план для трех вариантов постановки задачи: при учете всех существующих ограничений на количест­ во нефти и выпуск топлив по маркам, без этих огра­ ничений и при учете некоторых ограничений. При от­ сутствии ограничений оптимальный план дает возраста­ ние прибыли с 26 до 36 млн. руб. в ценах предприятия, при этом загрузка сырьем установок первичной перера­ ботки нефти (АВТ) возрастает с 88 до 100%, т. е. на 12%. В линейной модели предполагается, что такое зна­ чительное увеличение производительности АВТ по сырью не приводит к уменьшению отбора светлых нефтепро­ дуктов. Фактически с ростом производительности без модернизации оборудования отбор светлых нефтепродук­ тов снижается за счет ухудшения четкости разделения, часть светлых попадает в мазут и это приводит к сни­ жению прибыли из-за разности цен. Если вместо линей­ ной модели отбора светлых нефтепродуктов y= kCBx, где &св—постоянная, принять нелинейную модель y= kCJtx,

расчетная прибыль уменьшается. При разнице в ценах светлых нефтепродуктов и мазута 5 руб/т и определен­ ном по статистическим данным коэффициенте di рас­ четная прибыль уменьшится на несколько млн. руб. Та­ ким образом, учет нелинейности характеристик АВТ по­ зволил существенно скорректировать оптимальное решение, полученное на более грубой линейной модели.

Если рассматривать нелинейную модель комплекса в преобразованной форме (1-9), (1-10), то задача опе­ ративного управления сводится к решению достаточно общей задачи нелинейного программирования. Среди этих задач целесообразно выделить задачи выпуклого программирования, поскольку для них разработаны ре­ гулярные методы решения [20, 50—54]. В частности, если ограничения на работу комплекса могут быть пред­

где Gi, F — выпуклые функции, то полученная задача (2-12), (2-13) является задачей выпуклого программи­ рования.

Например, для комплекса агрегатов с входами х } при выпуклых функциях затрат на каждом агрегате Fj(Xj)

N

общие затраты F (л) = 2 ^/С*/) явлдются выпуклой функ-

/=* дней. Однако, как правило, практические задачи опера­

тивного управления не сводятся к задачам выпуклого

чения на вид моделей отдельных агрегатов и структуру комплекса. Например, для последовательного соедине­ ния N агрегатов с одним входным потоком Xj и выход­ ным tji вида

распределения материальных потоков при нелинейных моделях были связаны с разработкой различных мето­ дов решения невыпуклых задач нелинейного програм­ мирования. Как показано в [36], эти разработки могут идти по двум направлениям:

а) разработка общих методов решения задач нели­ нейного программирования (методов штрафных функ­ ций, проекции градиента и т. д.), которые применяются в основном для решения задач небольшой размерности, относящихся к работе отдельного агрегата или техноло­ гической операции;

б) разработка методов линейной аппроксимации, ко­ торые могут применяться для решения задач гораздо большей размерности, включающих рассмотрение техно­ логических комплексов, состоящих из ряда агрегатов.

Рассмотрим идею общего подхода к аппроксимации нелинейных моделей на примере комплекса, состоящего из одного агрегата вида

y=f(x, и),

где у, х, и — соответственно векторы выходных, входных потоков и управлений, связанных с изменением режим­ ных параметров, хеХ , u eU ; здесь множества X и U

Исходная задача (2-14) заменяется аппроксимирую­ щей линейной задачей вида

Г=1

м

F = ^J XrFr(xn Ur)^m ax.

г= 1

Врезультате решения этой задачи линейного про­ граммирования находится решение А*г, а затем по фор­ мулам (2-15) приближенное решение исходной нелиней­ ной задачи (2-14).

При таком способе решения задачи возникает ряд трудностей.

Для получения удовлетворительной точности реше­ ния необходимо использовать достаточно «густую» ап­ проксимирующую сетку. При этом возрастает число узлов М и для практически интересных случаев задача (2-16) становится задачей с огромным числом перемен­ ных, не позволяющим получить решение даже при ис­ пользовании самых современных средств вычислитель­ ной техники.

Втех случаях, когда решение задачи (2-16) найде­ но, часто возникают трудности в трактовке этого ре­ шения с точки зрения решения исходной задачи (2-14). Они возникают тогда, когда исходная задача не явля­

ется задачей выпуклого программирования, так как в этих случаях может существовать неэквивалентность между решениями исходной и аппроксимирующей зада­ чи, даже при стремлении шага аппроксимирующей сет­ ки к нулю.

Для преодоления этих трудностей можно предложить следующее:

использовать подобную аппроксимацию для сепара­ бельных задач, в этом случае удается значительно сни­ зить число переменных в задаче [52];

провести аппроксимацию на сетке только в окрестно­ сти некоторого допустимого, предположительно опти­ мального решения;

применить технику аппроксимирующего программи­ рования, которое можно рассматривать как частный слу­ чай аппроксимации на сетке в окрестности одного из до­ пустимых решений;

провести линеаризацию только по некоторым пере­ менным задачи, сведя ее таким образом к более простой нелинейной задаче;

проводить аппроксимацию не на всей сетке допусти­ мых решений, а на некотором множестве таких решений,

вчастности на множестве граничных режимов. Выпуклые сепарабельные функции были рассмотре­

ны в [55] и для решения полученных задач было пред­ ложено использовать процедуру симплекс-метода. В [56, 57] методы сепарабельного программирования были ис­ пользованы для решения невыпуклых задач, в частности в [62] для решения задач управления процессом сме­ шения при приготовлении бензинов, в [63] для управ­ ления процессом переработки руды. Некоторые задачи управления с нелинейными функциями от нескольких переменных допускают сведения к сепарабельным. В случае появления сложных нелинейностей от многих переменных сведение задач к сепарабельным обычно становится неэффективным из-за роста числа перемен­ ных.

Специфика задач распределения материальных пото­ ков состоит в том, что нелинейные зависимости в ограни­ чениях и целевой функции являются слабо нелиней­ ными.

В [58] применительно к таким задачам оптимизации для производства непрерывного типа с довольно слож­ ными нелинейностями был предложен метод аппрокси­ мации в окрестности допустимого решения (аппроксими­ рующее программирование).

Рассмотрим модель вида