книги / Типовые задачи оперативного управления непрерывным производством

i\£e gi> /= 0, ..., т — нелинейные функции; a*j, bi, ЙЛ, Uh— постоянные коэффициенты.

Согласно этому методу предварительно выбирается начальное значение лс°п+1, . . х йп+, для переменных, вхо­

дящих в нелинейные функции. Все нелинейности линеа­ ризуются в окрестности этих значений. Если ввести обо­ значения

то линеаризованную задачу (2-17), (2-18) можно пред­ ставить в следующем виде:

п

где w'ft= m ax(uft — x°n+k, — mk)\ u'b=min(uk—x°n+k, mky,

mk — малое число, выбираемое в [процессе [реализации программы.

Начальное значение для следующей итерации рассчи­ тывается по формуле:

^n-i-kj==~ n+kr\~tP*Xn >£J^F=

Если некоторая k-я переменная хп+ь в результате решения задачи на каждой итерации принимает лишь значения, соответствующие верхнему либо нижнему ограничению, то, видимо, можно увеличить соответст­ вующий параметр mft. Если некоторая переменная ко­ леблется от итерации к итерации между своими крайни­ ми значениями, то необходимо уменьшить значение соот­ ветствующего mb.

В [58] указывалось, что с помощью предложенной процедуры удавалось решать задачи с 30 нелинейными переменными и 100 нелинейными ограничениями, отно­ сящиеся к проблемам управления в нефтепереработке.

В [64] подобным методом решена задача оптимизации управления цехом синтеза аммиака.

Метод линейной аппроксимации не всегда является эффективным, и в [59] было предложено использовать квадратичную аппроксимацию. Сложность применения этой процедуры связана с необходимостью решения на каждом шаге аппроксимации вместо линейной задачи (2-19) задачи квадратичного программирования. В ряде приложений задача типа (2-17), (2-18) имеет определен­ ную характерную структуру. Она состоит из ряда ли­ нейных подзадач, связанных между собой небольшим числом нелинейно входящих в эти задачи переменных. Если к этой задаче непосредственно применять метод аппроксимирующего программирования, то возникают определенные сложности, связанные с большой размер­ ностью линеаризованной задачи (2-19).

В связи с этим в [60] был предложен метод разде­ ления задач на отдельные подзадачи. Этот метод сво­ дится к замене решения исходной задачи последова­ тельной процедурой решения двух новых задач. Первая из них состоит в решении (2-17), (2-18) при фиксиро­ ванных значениях переменных xn+i, ..., xn+r. Обозна­ чим совокупность выбранных значений этих переменных как

В этом случае задача (2-17), (2-18) превращается в задачу линейного программирования. В результате ре­ шения находятся базисные, небазисные переменные и

В (2-21) все небазисные переменные, найденные при решении первой задачи, приравниваются нулю. Задача (2-20), (2-21) является нелинейной, для упрощения про­ цедуры решения она заменяется приближенной с нели­ нейной функцией (2-20) и линейными ограничениями, полученными путем линейной аппроксимации нелинейных составляющих в (2-21).

Для решения приближенной задачи в [61] использу­ ется метод проекции градиента. Если полученное реше­ ние х*, х*={х*п+1, ..., х*п+г} не удовлетворяет исходной системе нелинейных ограничений (2-21), то дополнитель­ но решается параметрическая задача: при изменении параметра 0 на отрезке от 0 до 1 ищется такое решение

х=х°+0(х*—х°), которое обеспечивает минимум (2-20) и удовлетворяет ограничениям (2-21). Это решение ис­ пользуется для нахождения нового решения первой за­ дачи и процедура повторяется. В [61] приведены усло­ вия, когда локальные экстремумы первой и второй вспо­ могательных задач совпадут с координатами локального экстремума исходной задачи.

Метод разделения применим для задач, состоящих из ряда подзадач, связанных между собой нелинейно входящими в них переменными хп+ь • . хп+г, что су­ щественно расширяет возможности данного метода по сравнению с методами аппроксимирующего программи­ рования.! В [60, 119] методом разделения решалась задача оптимизации распределения материальных пото­ ков для нефтеперерабатывающего комплекса.

Применение линеаризации исходной модели по не­ которым переменным позволяет получить очень инте­ ресный класс моделей — линейные модели с переменны­ ми коэффициентами. Рассмотрению общих особенно­ стей этого класса посвящен следующий параграф. В этом же параграфе, а также в гл. 5 будут рассмотрены и методы аппроксимации нелинейных моделей на^ мно­ жестве граничных режимов.

2-3. Линейная модель с переменными коэффициентами

Предположим, что преобразованную модель (1-9), (1-10) можно представить как линейную модель с пере­ менными коэффициентами вида

R

/ - Î

Модель (2-22) —(2-24) нелинейна, но становится ли­ нейной при фиксированных значениях и. Частные моде­ ли такого типа рассматривались в ряде работ [20, 35—45].

Подобная преобразованная модель формируется, ког­ да работа каждого агрегата комплекса описывается ли­ нейной моделью с переменными коэффициентами вида

(2-25)

и для каждого агрегата задано множество UM такое, что

Зависимостями (2-25), (2-26) описывается широкий класс химико-технологических процессов, допускающих

управление выходными материальными потоками и пока­ зателями качества или состава продуктов. В частности, функционирование отдельных стадий в многостадийных процессах разделения смесей (ректификации, разделе­ ния изотопов, флотации, обогащения) может быть опи­ сано уравнениями подобного вида [46, 47]. Например, для одной стадии флотации, исходя из предельных воз­ можностей разделения, количество компонентов в обога­ щенном продукте и отходах можно представить в виде (2-25), где и — отношение содержания компонента в го­ товом продукте (концентрате) к содержанию в сырье [48].

Для другого процесса (риформинга бензина) выход y=k(u)x, где х — количество сырья, и — жесткость ре­ жима, определяемая температурой и давлением [49]. Основной показатель качества бензина — октановое чис­ ло ОЧ — зависит от жесткости режима ОЧ=ОЧ(и), ре­ жимом определяются также удельные затраты на пере­ работку сырья.

Широкая применимость моделей вида (2-25), (2-26)

входным параметрам х<А).

Действительно, если разложить f\k) (xik\ u(ft)) в ряд Тейлора в окрестности некоторого значения входных па­ раметров х {к), то, пренебрегая значениями членов второ­ го порядка и выше в разложении, получаем:

*А

/;ft>(x<ft>, и<*>)=2 11$ № к))х\к)+ ъ (и*% /=1

где

f\k) (х<*>. и<*>) может быть аппроксимирована линейной по

х№ в небольшом диапазоне изменения x<ft) с большой точностью при Цг(и(,{>)=7&0. Тогда диапазон значений x(/l), в котором эта модель будет применима, определяется неравенствами:

Очевидно, что модель комплекса агрегатов с харак­ теристиками (2-25) будет представлять собой линейную систему с переменными коэффициентами (2-22), (2-23).

Рассмотрим различные варианты преобразованной модели (2-22), (2-23), отличающиеся видом функцио­ нальных зависимостей fa и Fj, а также характером множества U.

Предположим, что

Сформулированная задача (2-27) является задачей обобщенного линейного программирования, впервые рас­ смотренной в [30] , а также в [20].

В [20] изложен метод решения задачи обобщенного линейного программирования, близкий по процедуре к известному методу декомпозиции Данцига — Вульфа. Этот метод достаточно экономичен с точки зрения за­ грузки оперативной памяти ЭВМ, однако для его реали­ зации необходима специальная программа решения, от­ личная от стандартных программ линейного программи­ рования. В [35] приведен пример практического использования данной процедуры для решения задачи

распределения материальных потоков нефтезаводов с учетом переменных коэффициентов отбора с установок.

Рассмотрим случай, когда каждое множество U3является выпуклым, ограниченным многогранником, за­

может быть сведена к задаче линейного программиро­ вания.

Действительно, каждый коэффициент иц, заданный на выпуклом многогранном множестве Uj, можно пред­ ставить следующим образом:

Т!

Подставляя (2-28) в (2-27) и вводя новые перемен­ ные xrj—KrjXj, вместо (2-27) получим следующую экви­ валентную задачу линейного программирования:

характеризующие предельно возможные условия работы технологических агрегатов.

Однако если в задаче (2-27) переменные коэффи­ циенты в разных столбцах связаны общими ограни­ чениями вида (2-33), то такие задачи являются сущест­ венно нелинейными и не сводятся к эквивалентным ли­ нейным. Связь коэффициентов Uij в разных столбцах практически возникает в задачах распределения мате­ риальных потоков с учетом изменения показателей каче­ ства.

Рассмотрим теперь случай, когда в задаче (2-22), (2-23) функции hi и Fэ являются произвольными функ­ циями от одного управления и±. Множество U задано следующим образом:

(2-34)

где Ui, Ui— заданные числа.

Фиксируя последовательно значения щ в диапазоне (2-34), для каждого из этих значений можно решить за­ дачу (2-22), (2-23), которая в данном случае будет за­ дачей линейного программирования. В результате полу­ чится последовательность оптимальных значений функ­ ционала F — та задача линейного программирования, которая дает наименьшее значение F, дает и решение нелинейной задачи.

Подобный метод «сканирования» множества U бы­ стро теряет свою эффективность при росте числа пере­ менных и, поэтому изложим другой метод решения за­ дачи (2-22), (2-23) [20]. Рассмотрим его на примере упрощенного варианта задачи с переменными коэффи­

циентами в одном столбце

R

быть достаточно точно аппроксимированы кусочно-ли­

H i