книги / Хрупкость металлов при низких температурах

но к бесконечной плите из линейно-упругого материала, содер­ жащей внутреннюю сквозную трещину длиной 21 и подверженной растягивающим напряжениям на бесконечности Ооо, нормальным к плоскости трещины (рис. 2). В такой постановке имеем задачу теории упругости, которая в зависимости от толщины плиты может быть случаем либо плоского напряженного состояния (ма­ лая толщина), либо плоской деформации (большая толщина). В любом случае напряженное состояние в произвольной точке

Ф / —касательными напряжениями.

Случаи плоского напряженного состояния п плоской деформа­

которые сводятся к бигармоническому уравнению для функции напряжений Ф (я, у), определяемой через напряжения

Более общий класс плоских задач позволяет рассмотреть ком­ плексная функция напряжений [153]

динатой z). Решение задачи сводится к установлению этих анали­ тических функций, зная которые можно определить указанные выше компоненты тензора напряжений, а также смещения по фор­ мулам Колосова — Мусхелишвили

оХх + оУу = 4Re ф! (z);

(Уии — °хх + 2ioxy = 2 [2ф7 (z) + ф| (z)];

(1 .10)

и + iv — ~^Q- [* j Ф| (z) dz — zç; (z) — j ф; (Z) dz

3 — v

Здесь h = 3 — 4v для плоской деформации и /с = ^ у для обоб­

щенного плоского напряженного состояния; черта над символом означает сопряженную комплексную величину. Из этих формул следуют выражения для главных напряжений и о2 и максималь­ ного касательного напряжения тшах, записанных через комплекс-

д%

ные потенциалы фх (z) и фх (z), причем фх(г) = - ^ - :

Tmax = |*pî (z) + ф[ (z) |.

В зависимости от геометрии трещины и условий нагружения функции фх (z) и фх (z) могут иметь различный вид, обусловливая выражения для компонент тензора напряжений. Например, для случая бесконечных размеров пластины с центральной сквозной трещиной (плоскость пластины z = 0), нагруженной на беско­ нечности однородными напряжениями (оуу)00 Ф 0; (охх)«, Ф 0; (аХу)м Ф 0, производные этих функций таковы:

Ограничимся здесь некоторыми частными решениями для рас­ сматриваемого случая бесконечной плиты со сквозной внутренней

трещиной длиной 21, подверженной растяжению нормально к плос­ кости трещины. Так, точное решение для компонент тензора на­ пряжений на линии продолжения трещины (у = 0) имеет вид

Нормальные напряжения при этом являются главными. Широко используются приближенные решения, учитывающие только глав­ ный (сингулярный) член разложения общего решения:

для напряжений

Здесь Ki — коэффициент интенсивности напряжений для трещи­ ны типа I:

K i = Стер У ni;

3 — 4v (плоская деформация);

(1.14)

—(плоское напряженное состояние).

Вработе [4941 показано, что эти выражения можно получить как по методу Вестергаарда, так и по методу Колосова — Мус-

На рис. 3 приведены распределения этих напряжений впереди трещины согласно формулам (1.12) и (1.15). Из рисунка видно,

ны при распространении трещины с

Это следует из сравнений формулы (1.2) с выражениями (1.12) или (1.15). Так, формула (1.15) приводит к azz/oxx = 2v, а из формул (1.12) вытекает

зывает, что в малой окрестности вершины на линии продолжения

дающем с осью у. Площадки действия этого напряжения ориенти-

рованы под углами л/8 и 5л/8, а величина ттах = - у о уу (х, 0).

Кривая распределения п л о тн о сти энергии упругих деформаций

задачи для трещины, однако подробный анализ поля напряжений дан только для сингулярного члена; поэтому приведенные графи­ ки отражают напряженное состояние в вершине трещины для малых г.

Как показали Ирвин и Вашингтон [331], а также Вильямс [494], общим для всех упругих решений является то, что поле напряжений вблизи вершины трещины может быть записано в виде суммы главного (сингулярного) члена и некоторых регу­

При г 0 роль остальных членов, кроме первого, становится пре­ небрежимо малой и интенсивность поля напряжений в малой окрестности вершины контролируется только величиной К . Это обстоятельство положено в основу линейной механики разруше­ ния, которая, не рассматривая конкретное поведение материала

ввершине трещины, оперирует единственным параметром К , обусловленным характером внешнего нагружения и геометрией трещины. Такой весьма удобный способ анализа хрупких и квазихрушшх разрушений, в силу сказанного выше, имеет существен­ ное ограничение: он справедлив до тех пор, пока зона нелинейности

ввершине трещины (например, зона пластической деформации для случая упруго-пластических материалов) мала и не превы­ шает некоторого размера. Однако для малых областей нелиней-

боте [374] отмечается также, что выражения (1.13) дают неверный результат для ттах:

Из последнего выражения следует, что положение линий равных значений тгаах должно зависеть от соотношения внешних напря­ жений а, что подтверждается исследованиями по фотоупругости. Что касается траектории распространения трещины, то из соотно­ шений (1.13) следует (если принять за критерий распространения трещины достижение локальным напряжением ауу критического

ла распространения трещины после того, как а > 2, который должен возрастать с увеличением а.

Движущаяся трещина. Остановимся кратко на том, какие изменения в распределение напряжений может внести процесс перемещения вершины трещины с некоторой конечной скоростью. В работе [496] решалась задача о движении трещины неизменной длины 21 по пластине, подверженной однородному растягивающе­ му напряжению о*,. Установлено, что поле напряжений в вершине трещины может быть описано в виде

где и? — скорость трещины; р — массовая плотность материала. Оказалось, что /у мало отличается от статического случая, если средняя скорость трещины не превышает 0,4 С2 — скорости попе­ речных волн. При скорости выше 0,4 Сг предполагается перерас­ пределение напряжений [412]. При этом в отличие от стационар­ ной трещины максимальная величина гидростатического напря­ жения в вершине движущейся трещины имеет место вдоль луча 0 æ 60°, что предопределяет возможность ветвления трещины. Максимально возможная скорость трещины оценивается Моттом [393 ] по формуле

где С — постоянная; 10 — исходная полудлипа трещины.

Подробный обзор работ, относящихся к оценке и регистрации предельной скорости разрушения, приведен в монографии В. М. Финкеля [2081. Согласно этим работам, предельная ско­ рость трещины составляет 0,4 Сг — продольной скорости звука. Райс [180] рассмотрел задачу о движении трещины в упругом ма­ териале в условиях плоской деформаций и пришел к заключе­ нию, что непосредственно перед вершиной трещины, как и для не­ подвижной трещины, напряжения выражаются через динамиче­ ский коэффициент интенсивности напряжений, который зависит от скорости трещины. По аналогии со статическим случаем ауу =

ти напряженного состояния впереди трещины с ростом ее скорости. В исследовании [349] методом фотоупругости изучено распре­ деление изохроматических полос в вершине движущейся трещи­ ны. При анализе результатов предполагалось, что поле напряже­ ний в вершине движущейся трещины может быть представлено

в форме, аналогичной статическому решению:

где Сц С2 — скорость продольных и поперечных волн соответ­ ственно; Fij и Gij — функции, не содержащие сингулярности. Авторы пришли к выводу, что поле напряжений в вершине быстро движущейся трещины достаточно точно описывается выраже­ нием (1.19).

Скорость трещины связана с ее длиной формулой

w

(1.20)

шах

где И7тах — предельная скорость трещины; Hi — некоторый эм­ пирический коэффициент, зависящий от условий в вершине тре­ щины.

Необходимо отметить, что согласно приведенным данным характер особенности распределения напряжений в движущейся вершине остается неизменным. Это предопределяет неизменность характера масштабного эффекта при различной скорости распро­ странения трещины в условиях хрупкого разрушения. Общим для приведенных выше решений является то, что для сколь угод­ но малых Ооо при г = 0 они предсказывают бесконечное напряже­ ние в вершине трещины, вступая в противоречие с известными опытными данными. Причина этого, заключающаяся в непри­ менимости решений линейной теории упругости к расстояниям, соизмеримым с межатомными, подробно рассмотрена в указанных выше работах.

2. Трещина в упруго-пластическом материале

Задача о распределении напряжений и деформаций в вершине трещины в упруго-пластической постанов­ ке — сложная математическая проблема, полное решение которой с учетом реальных свойств материала до настоящего времени не получено. Характерной особенностью решения подобных задач является необходимость установления не только полей напряже­ ний и деформаций в вершине трещины, но и положения упруго­ пластической границы в ее окрестности. Положение этой границы определяет конфигурацию и размеры пластической зоны в вер­ шине и изменяется в процессе изменения нагрузки.

Антнплоская деформация. Ввиду характерной осесимметричности поля напряжений случай трещины продольного сдвига (см. рис. 1, трещина типа I I I ) более прост для решения. К настоя­ щему времени он изучен как для идеально пластического [217, 325, 353, 397], так и для упрочняющегося материала [433].

Дж. Халтом и Ф. Макклинтоком [325], а также Г. П. Черепа­ новым [217] был решен ряд задач в достаточно общей постановке. В частности, Г. П. Черепановым подробно рассмотрена упруго-пла­ стическая задача для полуплоскости с трещиной длиной I, выходя­ щей на границу полуплоскости, и получены контуры пластиче­ ской зоны в вершине трещины для различных уровней приложен­ ных касательных напряжений. Для размера 2гр пластической области на линии продолжения трещины получена простая связь

сивности напряжений. Более подробные вычисления были прове­ дены год спустя Коскиненом [353], рассмотревшим упруго-плас­ тическую задачу о трещине для случая антиплоской деформации идеально пластического материала (в качестве примера приво­ дится кручение тонкостенной трубы с кольцевой выточкой). Рас­ пределение напряжений для упругого материала имеет в этом случае вид

Остальные компоненты тензора напряжений равны нулю. Коскине­ ном получены также решения для различных углов и глубины над­