585
.pdf
Частные с лучаи: 1) нулевой вектор пропорционален любому другому;
2) любой вектор пропорционален самому себе.
Определе ние: Вектор bˆ называется линейной комбинацией векторов a1, a2 , ..., an , если найдутся числа l1, l2 , ..., ln такие, что
b = l1a1 + l2a2 +...+ lnan .
Определе ние: Множество векторов a1, a2 , ..., an называется линейно зависимым, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных. В противном случае множество векторов называется линейно независимым.
Теорема (линейная зависимость и линейные комбинации)
Множество векторов a1, a2 , ..., an линейно зависимо тогда и только тогда, когда найдутся числа k1, k2 , ..., kn не все равные нулю и такие, что
k1a1 + k2a2 +...+ knan = 0 (нулевому вектору).
Теорема (о подмножестве линейно независимого множества)
Если некоторое подмножество as1 , as2 , ..., asm множества векторов a1, a2 , ..., an линейно зависимо, то линейно зависимым является и все множество a1, a2 , ..., an .
Следствие. Если множество векторов a1, a2 , ..., an линейно независимо, то любое его подмножество также линейно независимо.
Определе ние: Множество линейно независимых векторов a1, a2 , ..., an называется максимальным (или базисом), при добавлении к этому множеству любого вектора полученное множество векторов будет линейно зависимым.
93
Теорема (о максимальном множестве векторов)
В n-мерном векторном пространстве всякое множество, состоящее из n линейно независимых векторов, является максимальным.
Любое максимальное множество в n-мерном векторном пространстве состоит из n векторов и образует базис, если векторы упорядочены.
Пусть a1, a2 , ..., an – множество векторов, образующих базис в n-мерном векторном пространстве. Условное обозначение базиса имеет вид {a1, a2 , ..., an}. Любой вектор b , принадлежащий векторному пространству, можно разложить по базису в виде
b = b1a1 + b2a2 +...+ bnan ,
где b1,b2 ,...,bn – координаты вектора b в базисе {a1,a2 ,...,an}.
В заданном базисе разложение вектора является единственным. В различных базисах один и тот же вектор имеет разные координаты. При этом любые два базиса содержат одинаковое количество векторов.
При вычислениях с использованием матриц вектор ai в координатной форме можно представить в виде матрицы-столбца
|
|
|
a |
|
|
|
|
ai1 |
|
|
|
= i2 |
. |
|
a |
||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
ain |
|
Совокупность векторов одного и того же векторного пространства a1 = (a11,a12 ,...a1n )T , a2 = (a21,a22 ,...a2n )T , … am = (am1, am2 , ...amn )T
в матричной форме можно представить так:
a |
a |
... |
a |
|
a11 |
a21 |
... |
am1 |
|
A = 12 |
22 |
|
m2 |
. |
|
|
... ... |
|
|
... ... |
|
|||
a1n |
a2n |
... |
amn |
|
Матрицу A называют координатной матрицей.
94
Количество линейно независимых векторов в заданном множестве a1, a2 , ..., am равно рангу координатной матрицы.
Определе ние: Пусть a1, a2 , ..., an – произвольное множество векторов. Количество линейно независимых векторов в этом множестве называется рангом этого множества.
Пример 1. Проверить линейную зависимость векторов (−2; 3; 2; 5), (4; − 6; − 3; 0), (−6; 9; 4; 0), (−8;12; 0; −1); (0; 0; 5; 2).
Решение: Составим матрицу, столбцами которой являются данные векторы
−2 |
4 |
−6 |
−8 |
0 |
|
3 |
−6 |
9 |
12 |
0 . |
|
|
2 |
−3 |
4 |
0 |
5 |
|
5 |
0 |
0 |
−1 |
2 |
Если векторы линейно независимы, то ранг матрицы совпадет с количеством ее строк или столбцов. В одном из предыдущих примеров было установлено, что ранг матрицы равен 3. Значит, векторы линейно зависимы.
Пример 2. Проверить, являются ли следующие множества векторов базисами в соответствующих векторных пространствах
а) a1 = (1; 1, 3; 4), a2 = (4; 5, 6, 5); a3 = (1; 1, 3, −1); б) a1 = (1; 1, 3), a2 = (4; 5, 6); a3 = (5; 6, 0).
Решение: Для того чтобы проверить, являются ли векторы базисом, нужно составить матрицу, столбцами которой являются эти векторы. Множество векторов будет являться базисом в том и только том случае, если эта матрица квадратная и ее определитель не равен нулю.
а) множество данных векторов не является базисом, так как составленная из них матрица не является квадратной.
1 4 5
б) 1 5 6 = −9 ≠ 0.
3 6 0
Матрица – квадратная, ее определитель не равен нулю, значит, данное множество векторов образует базис.
95
Пример 3. Даны векторы a = (1; 3), b = (2; − 2) и c = (2; − 4)
в базисе e1 = (1; 0) и e2 = (0; 1). Проверить, образуют ли векторы
aи b базис. Если это так, то разложить вектор c в новом базисе
{a, b}.
Решение: составляем координатную |
|
1 |
2 |
|
|||||||||||||||||
матрицу A = |
3 |
|
−2 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку |
|
A |
|
= |
|
1 |
2 |
|
= −8 ≠ 0, то ранг матрицы A равен двум и, |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
следовательно, векторы |
|
и |
b |
образуют базис. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пусть ca , cb – координаты вектора |
|
|
в новом базисе { |
|
, |
|
}, |
||||||||||||||
|
|
|
b |
||||||||||||||||||
c |
|
a |
|||||||||||||||||||
т.е. c = caa + cbb . Векторное уравнение можно представить в координатной форме
2 |
1 |
2 |
|
−4 |
= ca 3 |
+ cb −2 |
, |
азатем в виде неоднородной СЛАУ
ca + 2cb = 2
3ca − 2cb = −4.
Определитель системы |
|
|
A |
|
= |
1 |
2 |
|
= −8 ≠ 0, поэтому система |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
имеет |
единственное решение: c |
= − |
1 |
,c |
= |
5 |
. Таким образом, |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
b |
4 |
|
||||
вектор |
|
|
в «новом» |
базисе |
{ |
|
, |
|
} |
имеет координаты |
|||||||||
|
|
|
b |
||||||||||||||||
|
c |
a |
|||||||||||||||||
c= − 1 ; 5 .
2 4
Задачи к разделу 2.80
2.8.1. Проверить линейную зависимость векторов а) (1; 2; 3), (3; 2;1), (4; 4; 4); б) (5; − 2; 3), (−10;4; − 6);
в) (1; 2), (2; 3), (3; 4);г) (1;1;1; 0), (1;1; 0;1), (1; 0;1;1), (0;1;1;1);
96
д) (1; 5; − 2; 7), (−3;1; 6; 3), (1; − 7;1; 0), (−1; −1; 5;10).
2.8.2. Из множества векторов выбрать все возможные базисы а) (1; 2), (2; 3), (3; 4); б) (1; 2; 3), (2; 3, 1), (3;1; 2); (4; 4; 4); в) (1;1;1; 0), (1;1; 0;1), (1; 0;1;1), (0;1;1;1); (1;1;1;1).
2.8.3. Проверить, являются ли следующие множества векторов базисами в соответствующих векторных пространствах
а) a1 = (1; 2), a2 = (3; 4); б) a1 = (1; 2), a2 = (2; 4); в) a1 = (1; 2), a2 = (3; 4);a3 = (5; 6);
г) a1 = (1; 2, 3), a2 = (4; 5, 6);a3 = (7; 8, 9); д) a1 = (1; 2, 3), a2 = (4; 5, 6);a3 = (7; 8, − 9); е) a1 = (1; 1, 3), a2 = (4; 5, 6);
ж) a1 = (1; 1, 0, 0), a2 = (0; 1, 1, 0); a3 = (0; 0, 1, 1), a4 = (1; 0, 0, 1).
2.8.4. Проверить, являются ли следующие множества векторов базисами в соответствующих векторных пространствах
а) a1 = (1; − i), a2 = (i; 1);
б) a1 = (i;1, 1), a2 = (1; i, 1);a3 = (1; 1, i).
2.8.5. Разложить данный вектор b по данному базису a1, a2 , ..., an
а) a1 = (1, 2); a2 = (3, 4); b = (6, 10); б) a1 = (1, 2); a2 = (3, 4); b = (1, 1);
в) a1 = (1, 2, 3); a2 = (4, 5, 6); a3 = (7, 8, 0); b = (18, 24, 21); г) a1 = (1, 0, 0); a2 = (0, 1, 0); a3 = (0, 0, 1); b = (2, 3, 4);
д) a1 = (1, 1, 1, 0); a2 = (1, 1, 0, 1); a3 = (1, 0, 1, 1); a3 = (0, 1, 1, 1); b = (1, 2, 3, 4).
Прикладные задачи по теме «Линейная алгебра»
Задача 1. Для сборки трех различных узлов используют три вида деталей, приведенных в табл. 1. Для изготовления каждой детали используют два вида сырья (табл. 2). Определить об-
97
щую потребность в сырье для изготовления заданного количества узлов.
а) узлов первого типа – 5, второго – 10, третьего – 15; б) узлов первого типа – 6, второго – 12, третьего – 9; в) узлов первого типа – 3, второго – 6, третьего – 9.
98
|
|
|
Таблица 1 |
||
|
|
|
|
|
|
Наимен. |
|
Тип узла |
|
||
детали |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Колесо |
4 |
|
6 |
|
8 |
Ось |
2 |
|
2 |
|
3 |
Корпус |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
Материал |
Наим. детали |
|||
|
|
|
|
|
колесо |
ось |
|
корпус |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Пластмасса |
0,5 |
0 |
|
3 |
Металл |
0 |
1 |
|
1 |
Пояснения к решению: пусть xi – число узлов (i =1, 2, 3), yj –
общее число деталей, необходимых для сборки заданного количества узлов ( j =1, 2, 3). Общее число деталей представляем в виде уравнений по данным табл. 1:
y1 = 4x1 + 6x2 + 8x3
y2 = 2x1 + 2x2 + 3x3 (1). y3 = x1 + x2 + x3
В матричной форме уравнения (1) можно представить так:
|
4 |
6 |
8 |
x |
|
|
y |
|
|
|
2 |
2 |
3 |
x1 |
|
= |
y1 |
|
AX = Y (2). |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
y3 |
|
|
Количество сырья (m1, m2 ), необходимого для изготовления заданного количества узлов ( y1, y2 , y3 ), определяем по данным табл. 2:
m1 = 0,5y1 + 0 y2 + 3y3 (3) m2 = 0 y1 + y2 + y3
или в матричной форме
|
|
|
|
|
y |
|
m1 |
|
|
|
|
0,5 |
0 |
3 |
|
1 |
|
|
BY = M |
(4). |
|
|
0 |
1 |
1 |
y2 |
|
= |
|
|||
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
Из (2) и (4) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
8 |
x |
|
|
|
0,5 |
0 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
M = |
BY = BAX = |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
3 |
x2 |
. |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|||
99
Задача 2. Тяжелая балка весом P удерживается в равновесии с помощью тросов, прикрепленных к балке в точках A,B,C . Необходимо найти силы натяжения тросов R1,R2 ,R3 . Пояснения к решению: методами теоретической
механики составляем систему уравнений равновесия в коор- Рис. 19. Прикладная задача 2
динатной форме:
n
∑Fkx = 0: −R2 cosα + R3 cosβ = 0;
k=1 n
∑Fky = 0 : R1 + R2 sin α + R3 sinβ − P = 0;
k=1
∑m(Fk ) = 0: −Pl1 + R2 sin α(l1 + l2 )+ R3 sinβ(l1 + l2 + l3 ) = 0.
Силы натяжения тросов можно найти, решив полученную систему уравнений:
а) методом Крамера; б) методом Гаусса с расширенной матрицей;
в) методом обратной матрицы; при следующих данных:
Р, кН |
l1 |
l2 |
l3 |
α |
β |
60 |
4 |
2 |
2 |
60 |
30 |
|
|
|
|
|
|
100 |
5 |
3 |
3 |
30 |
45 |
200 |
3 |
3 |
0 |
45 |
60 |
|
|
|
|
|
|
Внимание! Проверку правильности вычислений следует проводить подстановкой корней в исходные уравнения. Если корни найдены верно, то при их подстановке в уравнения системы каждое из уравнений обратится в тождество.
Задача 3. Найти токи в электрической цепи, приведенной на рис. 20. Условные обозначения: E1,E2 ,E3,E4 – электродвижущие силы, I1, I2 , I3 – контурные электрические токи, R1,R2 ,R3,R4 , R5, R6 – активные сопротивления.
100
Рис. 20. Прикладная задача 3
Пояснения к решению: методом контурных токов, основанном на втором законе Кирхгофа, составляют систему алгебраических уравнений (теоретическая электротехника). Для заданной электрической схемы указанные уравнения имеют вид
|
(R1 + R2 )I1 − R2I2 = E1 − E2 − E3 |
|
(R2 + R3 + R5 )I2 − R3I3 − R3I2 = E2 − E4 |
(1). |
|
|
(R3 + R6 )I3 − R3I2 = E3 + E4 |
|
|
|
|
|
Найти контурные токи I1, I2 , I3 из |
си- |
стемы (1) при следующих исходных данных:
R1 , Ом |
R2 , Ом |
R3 , Ом |
R4 , Ом |
R5 , Ом |
R6 , Ом |
|
E1, в |
E2 , в |
E3, в |
E4 , в |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
15 |
|
100 |
|
30 |
|
10 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
0 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
100 |
|
50 |
|
20 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
10 |
|
50 |
|
50 |
|
10 |
10 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы к задачам темы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Линейная алгебра» |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.1.1. а) – 1; |
б) – 9; |
в) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
г) |
|
|
|
512 1024 |
|
=128 128 |
|
4 |
|
8 |
|
=128 128 8 =131072; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
128 |
512 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
|
|
0,875 |
−0,375 |
|
= 0,125 0,125 |
|
|
7 |
|
|
−3 |
|
= |
1 |
16 = 0,25; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0,375 |
0,125 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
64 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
е) − |
1 |
; ж) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.1.2. а) s2 − t2 + 2st; |
б) xy ; |
в) 1; г) 1; |
д) 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1.3. а) 29; |
б) 16; |
в) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.1.4. а) 3; б) –688; в) 15; г) − |
1891 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27000 |
|
|
г) −abc; |
д) −abc; |
|
|
|||||||||||||||
2.1.5. а) abc; |
б) abc; |
в) abc; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
е) −abc; |
|
ж) 0; з) (y − x)(z − x)(z − y); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
и) sin(α − β)+ sin(β − γ)+ sin(γ − α); |
к) 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
б) (a + c)(1+ i |
|
|
). |
|
||
2.1.6. а) 0; |
3 |
|
|||||
2.1.7. а) –8; |
б) 90; |
в) 0. |
|
|
|
|
|
2.1.8. а) abcd ; б) abcd ; |
в) (af − be + cd )2 . |
||||||
2.1.9. а) x = −5; x |
= 9; |
б) |
α = π + πk , k Z . |
||||
1 |
2 |
|
|
8 |
2 |
||
|
|
|
|
||||
2.1.10. а) a (−∞;− 6) (−6, 1) (1, ∞);
б) При всех значениях параметра; в) a (−∞;− 2) (−2, 1) (1, ∞).
2.1.11. а) x = |
25 |
; y = |
13 |
; |
|
|
б) x = 3; y =1; |
|
|
|
|
|
в) x = 9,1; y =1,3; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) x = |
3 |
i; y = |
5 |
; |
д) x = |
79 |
− |
109 |
i; y = |
33 |
− |
42 |
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
82 |
|
|
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.1.12. а) x = 0, |
y = 2, z = −1; б) x1 = 7, x2 = x3 = −5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) x = 3, y = 2,z =1; |
|
г) x = |
60 |
+ |
111 |
i, y = − |
86 |
+ |
12 |
i, z = |
56 |
− |
24 |
i . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
29 |
29 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.1.13. а) x =1, |
|
y = 2, |
z = 3, t = 4; |
б) x = |
7 |
, y = |
4 |
, z = |
1 |
, t = − |
2 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 1 1 |
|
|
|
|
0 1 |
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
0 −1 −2 |
−3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 2 2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 −1 |
−2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2.1. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 3 3 |
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 1 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
4 4 4 |
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 2 1 |
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 0 0 |
|
|
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 4 |
|
|
|
|
1 2 3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 1 0 0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
; |
|
д) |
|
2 |
2 |
|
3 |
|
4 |
. |
|
|
2.2.2. 1 |
1 |
1 1 |
1 |
|
|
|
1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 1 0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 4 4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 0 1 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 0 1 |
1 |
|
|||||||||||||||
4 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
−3 |
2 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
−2 |
|
|
0 1 1 |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2.3. а) |
|
|
; б) |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
. 2.2.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
−2 4 |
|
|
1 0 0 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 0 0 |
|
|
|
−6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
−6 |
|
|
−3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
102