585

Задачи к разделу 0.20

0.2.1. Расставить данные числа в порядке возрастания

(13± 0,01)см. Какие значения может принимать площадь прямо-

угольника?

б) При измерении сторон прямоугольника линейкой с ценой деления 1 мм получены длины 4 и 5 см. Найти абсолютную и относительную погрешности площади прямоугольника.

0.2.7.При измерении сторон прямоугольного параллелепипеда линейкой с ценой деления 1 мм получены длины 3, 4 и 5 см. Найти абсолютную и относительную погрешности объема параллелепипеда.

0.2.8.а) Радиус круга равен R = (2 ± 0,02)см. С какой отно-

сительной погрешностью может быть вычислена площадь круга? б) Найти ту же относительную погрешность, если R = 20 ± 0,02.

0.2.9.Вывести формулы для абсолютной и относительной

погрешностей объема цилиндра, если радиус его основания R и высота h измеряются с абсолютными погрешностями δR , δh .

0.2.10.а) Масса тела измерена с относительной погрешностью δm , а его ускорение — с относительной погрешностью δa .

Скакой относительной погрешностью можно вычислить силу, действующую на это тело при его прямолинейном движении?

б) Сила тока на участке электрической цепи измерена с относительной погрешностью δI , а сопротивление — с относитель-

14

динатное пространство. Теперь можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел (x; y),

которые являются координатами точек плоскости.

Используя теорему Пифагора, расстояние между точками в двумерном координатном пространстве можно получить в виде

MN = (xN − xM )2 + (yN − yM )2 . Аналогично можно ввести

трехмерное координатное пространство, в котором устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками этого пространства и упорядоченными тройками (x; y; z) дей-

ствительных чисел. Расстояние между точками M (xM ; yM ; zM )

определяют по формуле

MN = (xN − xM )2 + (yN − yM )2 + (zN − zM )2 .

Кроме прямоугольных систем координат в математике и ее приложениях используют и другие (косоугольные, криволинейные) системы координат. В общем случае, система координат – взаимосвязанная совокупность геометрических объектов в координатном пространстве, позволяющая установить взаимно однозначное соответствие между элементами точечного и числового множеств по определенным правилам.

Задачи к разделу 0.30

0.3.1.Используя теорему Пифагора, доказать формулу AB =

=(xA − xB )2 + (yA − yB )2 + (zA − zB )2 .

0.3.2.Найти расстояния между точками: а) A(7; − 3) и B(4;− 7);

б) A(1; − 2) и B(−3;4); в) A(1; 2; 3) и B(3;5; 9).

16

5.Точечные множества и координатные пространства, геометрическая интерпретация действительных чисел.

6.Прямоугольные системы координат (определения, расстояния между точками в координатных пространствах), взаимно однозначное соответствие между точками и постоянными (переменными) математическими величинами.

Студент должен уметь:

1.Задавать конечные и бесконечные множества.

2.Устанавливать взаимно однозначное соответствие между множествами и интерпретировать математические и физические величины как элементы множеств.

3.Выполнять арифметические операции с модулями действительных чисел.

4.Определять положение точек и расстояние между точками

водномерных, двумерных и трехмерных системах координат.

Ответы к задачам темы «Введение в курс высшей математики»

0.1.1.а) Множество A состоит из двух элементов, каждое из которых является множеством, множество B – из четырех элементов, каждое из которых является числом; б) Множество A состоит из двух элементов, множество B – из четырех элементов; в) Хотя множества и состоят из одинакового количества элементов, но элементами множества A являются множество и число, а элементами множества B – два множества.

0.1.2.а) Сопоставим элементу 1 A элемент a B, элементу 2 A

элемент b B, элементу 3 A элемент c B, элементу 4 A элемент d B; получим взаимно однозначное соответствие; б) Сопоставим каждой из 33 букв русского алфавита ее номер в алфавите; в) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой f (n) = 2n, т.е. каждому натуральному числу поставить в соответствие число, в два раза большее; г) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой f(x) = 8x + 2. Читателю рекомендуется построить прямую y = 8x + 2 в системе координат на отрезке x [0; 1]; д) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой f(x) = tg x.

0.1.3. а) A B = {1; 2; 3; 4; 5} ; A∩ B = {3; 4} ; A\ B = {1; 2} ; B \ A = {5} ;

б) A × B = {(1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (4; 3); (4; 4); (4; 5)}; B × A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4)}; A × A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4)}.

0.1.4. а) A × B = {(a; ×); (a; *); (a; &); (b; ×); (b; *); (b; &)}; B × A = = {(×; a); (×; b); (*; a); (*; b); (&; a); (&; b)}; A × A = {(a; a); (a; b); (b; a);

18

рехугольник ABDC – прямоугольная трапеция. Опустим из точки A высоту

AH. По теореме Пифагора AB = AH 2 + BH 2 . Но AH = CD =

= (xA − xB )2 + (yA − yB )2 . BH = BD – AC = zB – zB. Следовательно, AB = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 + (zA − zB )2 .

0.3.2. а) 5; б) 213 ; в) 7.

CD2 = (x − 5)2 + (y − 3)2 , AD2 = (x + 1)2 + (y – 1)2. Составим систему

лучилось два ответа – неудивительно (см. рис. 4). Случай 2) рассматривается аналогично; при этом один из ответов совпадет с одним из уже полученных и поэтому случай 3) можно не рассматривать, так как оба его ответа совпадут с уже полученными.

20

газовой динамики, теории упругости и пластичности. В частности, при расчетах сложных электрических цепей при синусоидальном воздействии наиболее удобным является метод комплексных амплитуд.

Определе ние: Полагаем −1 = i . Это число i называется

мнимой единицей.

Из определения очевидно, что i2 = –1.

Определе ние: Число z = a + ib, где a, b – действительные числа, называется комплексным числом. При этом действительное число a называется действительной частью числа z = a + ib и

обозначается a = Rez; действительное число b называется мнимой частью числа z = a + ib и обозначается b = Im z.

Запись комплексного числа виде z = a + ib называют алгебраической формой комплексного числа.

При a = 0 комплексные числа называются мнимыми. Определе ние: Два комплексных числа z1 = a1 + ib1, z2 =

= a2 + ib2 считаются равными, если a1 = a2 и b1 = b2 . Комплексное число z = a + ib равно нулю, если a = b = 0. Комплексные числа z1 и z2 называются противоположными,

если z1 = −z2 .

Определе ние: Комплексное число z = a – ib называется числом, комплексно сопряженным с числом z = a + ib.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел z1 = a + ib и z2 = c + id определяются следующими правилами:

z1 + z2 = (a + ñ) + i(b + d) z1 − z2 = (a − ñ) + i(b − d)

z1 z2 = (a + ib) (ñ+ id) = ac + ibc + iad + i2bd = (ac − bd) + i(ad + bc), т.е. при сложении, вычитании и умножении скобки раскрываются по обычным правилам, учитывается условие i2 = –1 и приводятся подобные.

22