585
.pdf2.1.12. Решить системы уравнений по правилу Крамера:
x + y + 3z = −1 |
3x1 + 4x2 − 2x3 =11 |
|||
|
+ 2z = −4; |
|
|
|
а) 2x − y |
б) 2x1 + 4x2 − 2x3 = 4 ; |
|||
|
+ 4z = −2 |
|
|
− 2x2 + 4x3 =11 |
4x + y |
3x1 |
|||
|
|
|
ix |
+ y + 3z = −1 |
3x + 4y =17 |
|
|||
|
|
|
− iy + 2z = −4. |
|
в) 5y + 4z =14; |
г) 2x |
|||
|
|
|
|
+ y + 4iz = −2 |
3z + 5x =18 |
4x |
|||
2.1.13. Решить системы уравнений по правилу Крамера
x + y + z + t =10 |
|
y + z + t =1 |
|
|
|
|
|
x − y + z + t = 6 |
; |
x + z + t = 2 |
. |
а) |
б) |
||
x + y − z + t = 4 |
|
x + y + t = 3 |
|
|
|
|
|
x + y + z − t = 2 |
|
x + y + z = 4 |
|
2.20. Матрицы и операции с ними
При исследовании технических, экономических и производственных систем в линейном приближении матрицы являются наиболее удобными и, по существу, незаменимыми математическими объектами для записи и обработки количественной информации на компьютерах. В строительной механике широко используются матричные методы расчета в форме метода конечных элементов. Матричные методы лежат в основе многих методов оптимизации технических и производственных систем.
Определе ние: матрицей называется математический объект с общим числом элементов n× m, которые расположены в виде прямоугольной таблицы из n строк и m столбцов (n× m – размер матрицы, в общем случае n ≠ m).
a11 |
a12 |
... |
a1m |
|
a |
a |
... |
a |
|
21 |
22 |
|
2m |
|
... ... |
... |
... |
|
|
|
an2 |
... |
|
|
an1 |
anm |
|||
Элементами матрицы |
aij |
(i =1, 2, ..., n; j =1, 2, ..., m) могут |
||
быть числа, функции, матрицы меньших размеров. В отличие от
53
определителей матрицы нельзя выразить в виде одного числа (кроме простейшего случая n = m =1).
Замечание 1. В записи aij первый индекс i является номером строки, в которой расположен элемент aij , второй индекс j – номером столбца.
Замечание 2. Если n = m, то матрица называется квадратной матрицей. Замечание 3. Говорят, что элементы квадратной матрицы a11,
a22 , ..., ann расположены на главной диагонали квадратной матрицы, а элементы a1n , ..., an1 – на побочной диагонали.
Замечание 4. Матрицы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D…
Определе ние: Если n =1, то матрицу называют матри- цей-строкой. Если m =1, то матрицу называют матрицей-
столбцом.
Определе ние: Две матрицы называются равными, если у них одинаковые порядки (n× m) и равны числа, стоящие на соот-
ветственных местах этих матриц.
Определе ние: Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Нулевые матрицы будем обозначать буквой Î .
Квадратная матрица называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны нулю.
Определе ние: Матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Матрица называется правой верхнетреугольной, если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.
Матрица называется левой нижнетреугольной, если все ее элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю.
Замечание. Совокупность элементов квадратной матрицы (n = m) при необходимости можно рассматривать как определитель, который является числовой характеристикой матрицы и позволяет устанавливать, является ли матрица вырожденной ( = 0).
Над матрицами можно выполнять следующие линейные операции, после выполнения которых получаются матрицы того же размера:
1)умножение матрицы на число;
2)сложение (вычитание) матриц.
54
Обе эти операции производятся поэлементно.
Замечание 1. Очевидно, что для любых матриц А, В и С выполняются равенства: A + B = B + A и (A + B) + C = A + (B + C)
Замечание 2. Очевидно, что для любой матрицы A верно A + O = A.
Пример 1.
|
1 |
−3 2 |
|
2 − 6 |
|
4 |
|
|
|
|||||
2 |
7 |
0 |
|
= |
|
0 |
10 |
; |
|
|
|
|||
|
|
5 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
−3 2 |
4 |
1 |
0 |
= |
5 |
−2 2 |
|
|||||
|
7 |
|
0 5 |
+ |
−6 |
2 |
2 |
|
|
2 7 |
; |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
1 |
|
−3 2 |
4 |
1 |
0 |
|
−3 |
−4 |
2 |
|||||
|
7 |
|
0 5 |
− |
−6 |
2 |
|
|
= |
−2 |
3 |
. |
||
|
|
|
2 13 |
|
||||||||||
Произведение матриц
Определе ние: Матрицы A и B в произведении A B будем называть согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В этом и только в этом случае матрицу A можно умножать на матрицу B.
|
a11 |
a12 |
... |
a1m |
|
||
|
a |
a |
... |
a |
|
име- |
|
Определе ние: Если матрица A = 21 |
22 |
... |
2m |
||||
|
... |
... |
... |
|
|
||
|
|
an2 |
... |
|
|
|
|
|
an1 |
anm |
|
||||
b11 |
b12 |
... |
b1k |
|
|
|
|
b |
b |
... |
b |
|
– порядок |
||
ет порядок n× m, а матрица B = 21 |
22 |
... |
2k |
||||
... ... |
... |
|
|
|
|
||
|
bm2 |
... |
|
|
|
|
|
bm1 |
bmk |
|
|
|
|||
m× k (т.е. матрицы согласованы), то матрицу А можно умножать на матрицу В. При этом получится матрица С порядка n× k , элементы которой находятся по правилу
cij = ai1b1 j + ai2b2 j +...+ aimbmj ,
т.е. каждый элемент i-й строки матрицы A умножается на соответствующий (по порядку) элемент j-го столбца матрицы B, и полученные попарные произведения складываются.
55
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
6 |
|
|
|
|
|
4 |
3 2 1 |
|
3 4 |
−1 |
. Найти AB . |
|||
Пример 2. A = |
|
, |
B = |
−5 0 |
−3 |
|
|||||
|
|
|
5 |
6 7 8 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
c11 = 4 1+ 3 3 + 2 (−5)+1 7 =10; |
|
|
|
||||||
|
|
c12 = 4 (−2)+ 3 4 + 2 0 +1 8 =12; |
|
|
|
||||||
|
|
c13 = 4 6 + 3 (−1) + 2 (−3) +1 5 = 20; |
|
|
|||||||
|
|
c21 = 5 1+ 6 3+ 7 (−5) +8 7 = 44; |
|
|
|
||||||
|
|
c22 = 5 (−2) + 6 4 + 7 0 +8 8 = 78; |
|
|
|
||||||
|
|
c23 = 5 6 + 6 (−1) + 7 (−3) +8 5 = 43; |
|
|
|||||||
C = AB = |
|
10 |
12 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
78 |
43 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для проверки правильности умножения матриц A B = C рекомендуется использовать следующее равенство: SA SB = SC , где SA – матрица-строка, в которой каждый элемент равен сумме всех элементов соответствующего столбца матрицы A; SB – мат- рица-столбец, в которой каждый элемент равен сумме всех элементов соответствующей строки матрицы B; SC равно сумме всех элементов матрицы C .
В рассмотренном примере:
SA = (4 + 5 3+ 6 2 + 7 1+8) = (9 9 9 9);
|
|
1+ (−2) + 6 |
5 |
|
|
|||||
|
|
|
3+ 4 + (−1) |
|
|
6 |
|
|
|
|
S |
|
= |
|
= |
|
; |
|
|||
|
B |
|
−5 + 0 + (−3) |
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
7 +8 + 5 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
SA SB = (9 9 9 |
|
9) |
|
|
= 207; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
56
SC =10 + 44 +12 + 78 + 20 + 43 = 207 = SASB .
Если бы равенство SA SB = SC не выполнялось, это значило бы, что вычисления содержат ошибки.
Операция умножения в общем случае не обладает свойством коммутативности: AB ≠ BA. В связи с этим различают умножение матрицы A на матрицу B справа и слева. Кроме того, у прямоугольных матриц (m ≠ n) может существовать одно из произведений AB, BA, а второе – нет.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
6 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
, |
|
3 |
4 |
−1 |
|
||
Пример. Для матриц A = |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
B = |
−5 |
0 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
произведение AB существует, а произведение BA не существует.
Замечание. Если Е – единичная матрица, А – согласованная с ней квадратная матрица, то AE = EA = A.
Транспонированием матрицы называется операция, при которой каждая строка становится столбцом с тем же номером (условное обозначение операции транспонирования матрицы AT ).
|
1 |
−3 |
2 |
|
|
|
|
1 |
7 |
|
T |
= |
|
−3 |
0 |
|
|||||
Пример. Если A = |
7 |
0 |
5 |
, то |
A |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Операция транспонирования обладает следующими свой- |
||||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) (AT )T = A; 2) (A + B)T = AT + BT ; |
3) (AB)T = BT AT . |
|||||||||
Задачи к разделу 2.20
2.2.1. Составить матрицу порядка 4× 4, элементы которой удовлетворяют соотношениям
а) a = i ; |
б) a = i + j − 2; |
в) a = i − j; |
г) a = |
i |
; |
|
|||||
ij |
ij |
ij |
ij |
j |
|
|
|
|
|
|
57
д) aij равно наибольшему из чисел i, j.
2.2.2. На рис. 18 изображен так называемый «неориентированный граф». Его
вершины обозначены цифрами. Линии, соединяющие вершины, называются ребрами графа. Две вершины называются смежными, если они соединены ребром.
Составить матрицу, элементы aij которой Рис. 18. Задача 2.2.2 равны 1, если вершины, обозначенные
цифрами i и j, смежны, и 0 – если они не смежны. Каждая вершина считается смежной сама с собой.
2.2.3. Матрицы систематически применяются при решении систем линейных уравнений. Для данной системы линейных уравнений составьте матрицу, в i-й строке которой находятся коэффициенты i-го уравнения, а в j-м столбце – коэффициенты при j-м неизвестном
3x1 + 4x2 − 2x3 =11 а) 2x1 + 4x2 − 2x3 = 4 ;
3x1 − 2x2 + 4x3 =11
|
x + y = 3 |
|
y + z = 5 |
|
|
|
z + u = 4 . |
б) |
x + u + v =10 |
|
|
x + v = 6 |
|
|
|
|
2.2.4. Составьте матричную модель аудитории, в которой Вы находитесь, приписывая каждому месту для сидения число 0, если оно никем не занято, число 1, если оно занято лицом мужского пола, и число –1, если оно занято лицом женского пола.
|
0 0 |
1 2 |
|
2 1 0 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.5. Даны матрицы |
A = |
0 0 |
0 |
1 |
, |
B = |
1 0 |
0 |
0 |
. |
||
|
2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|||||||
Найти матрицу 2А – 3В.
2.2.6. Определить, какие из перечисленных матриц можно перемножать, и найти эти произведения
58
|
|
|
|
|
0 5 1 −2 |
|
0 |
|
2 |
1 |
|
|||||
A = (1 2 0 −3); B = |
|
−3 0 |
|
1 |
; C |
= |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
4 |
3 |
|
||||
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
5 2 1 |
5 |
|
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
||||||
|
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
D = |
; F = |
|
2 0 2 |
0 |
|
; G = |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 . |
|
|||
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 5 |
5 |
|
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
||||||
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.2.7. Определить, какие из перечисленных матриц можно перемножать, и найти эти произведения
|
|
|
|
|
|
2 + i |
0 |
3i |
|
|
0 |
i |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A = (−i 5 + 2i 1); B = |
0 |
|
−i |
0 |
|
;C = |
|
−i |
0 2i |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−2i 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 + i |
i − 2 |
|
3+ 2i |
|
|
1 −i |
|
0 |
i |
|
|
|
||||||
D = |
|
|
−i |
|
; F = |
|
− |
|
; G = |
|
|
|
|
−i |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
3i |
|
0 1 |
|
0 |
. |
|
|
||||||||
|
|
i |
0 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
0 1 |
−i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||||||
2.2.8. Найти произведения АВ и ВА. Сделать вывод о результате перемножения диагональных и треугольных матриц. Посчитать определители матриц А, В, АВ и ВА и сделать соответствующий вывод.
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
а) A = |
|
0 |
2 0 |
|
B = |
|
0 |
|
−4 |
0 |
|
; |
|
|
||
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
−4 5 |
|
|
|
2 |
1 −1 |
|
||||||||
б) A = |
|
0 |
2 −6 |
|
, B = |
|
0 |
−3 4 |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
0 |
|
|
в) A = |
|
4 |
|
2 0 |
|
, B = |
|
1 |
−3 0 |
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
−5 |
|
−7 3 |
|
|
|
|
|
−4 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
59
2.2.9. Даны выражения переменных x1, x2, x3 через переменные y1, y2, y3 и выражения переменных y1, y2, y3 через переменные z1, z2, z3:
x1 = a11y1 + a12 y2 + a13 y3 |
y1 = b11z1 + b12 z2 + b13z3 |
||||||
|
= a21 y1 + a22 y2 |
+ a23 y3 , |
|
= b21z1 + b22 z2 |
+ b23z3 . |
||
x2 |
y2 |
||||||
x = a y + a y |
2 |
+ a y |
y = b z + b z |
2 |
+ b z |
||
3 |
31 1 32 |
33 3 |
3 |
31 1 32 |
33 3 |
||
а) Убедиться в том, что выражения коротко можно записать
так: |
X = AY, Y = BZ , |
где |
||||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
b11 |
A = |
a |
a |
a |
|
, B = |
b |
|
21 |
22 |
23 |
|
|
21 |
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
a31 |
|
|
b31 |
||
x1 X = x2 ,x3
b12 |
b13 |
|
b |
b |
. |
22 |
23 |
|
b32 |
b33 |
|
|
|
y1 |
|
|
|
z1 |
|
|
Y = |
|
|
, |
Z = |
|
|
, |
y2 |
|
z2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
z3 |
|
|
б) Пусть X = CZ . Убедиться в том, что C = A B.
2.2.10.Для матрицы A из задачи 2.2.5 найти матрицу A2 –
–5A + 6E, где E – единичная матрица.
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
5 |
||||
|
0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
2.2.11. Даны матрицы A = |
|
; |
B = |
. |
|||||||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найти наименьшие натуральные |
числа |
n, m |
такие, |
|
что |
||||||||
An = 0, Bm = 0.
2.2.12. Убедиться, что данная матрица A удовлетворяет заданному соотношению
|
2 |
2 |
|
; A2 – 5A + 4E = 0; |
а) A = |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
5 |
2 |
|
; A2 – 11A + 24E = 0; |
б) A = |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
||
60
|
1 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) A = |
|
0 2 6 |
|
; |
A |
3 |
– 6A |
2 |
+ 11А – 6E = 0. |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.30. Обратная матрица: вычисление и применение
Операции деления матриц нет. Вместо этой операции используют операцию умножения матрицы B справа или слева на матрицу, обратную к матрице A.
Матрица A имеет обратную, если:
1)она является квадратной (m = n);
2)она является невырожденной ( A ≠ 0).
Определе ние: Матрица A−1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если оба их произведения равны единичной матрице: A−1A = AA−1 = E .
Обратную матрицу вычисляют двумя способами:
1)способ присоединенной матрицы;
2)способ элементарных преобразований объединенной мат-
рицы.
2.3.10. Нахождение обратной матрицы способом присоединенной матрицы
|
В способе |
присоединенной |
матрицы |
обратную матрицу |
||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
= |
|
1 |
|
% |
|
% |
|
|
|||
находят по формуле |
A |
|
|
|
|
A |
|
|
A, где |
A – присоединенная (союз- |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ная) матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A11 |
|
|
A21 |
... |
An1 |
|
|
||||
|
|
|
% |
|
|
A |
|
|
|
|
A |
... |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
22 |
|
n2 |
|
|
||||||
|
|
|
A = |
... ... |
... |
... |
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
A1n |
|
|
A2n |
... |
|
|
|
|||
|
Aij = (−1)i+ j |
|
|
|
|
|
|
Ann |
|
|||||||
где |
Mij |
– алгебраическое дополнение элемента aij ; |
||||||||||||||
Mij |
– минор, соответствующий элементу aij . |
|
||||||||||||||
61
Алгоритм вычисления обратной матрицы способом присоединенной матрицы:
1. Находим определитель A исходной матрицы A. Если
A= 0, то матрица A не имеет обратной.
2.Если A ≠ 0, то транспонируя исходную матрицу, получим
матрицу AT .
3. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A и строим присоединенную матрицу A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
= |
|
1 % |
||||
4. Находим обратную матрицу по формуле A |
|
|
|
|
|
|
A. |
||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Проверяем правильность вычислений, используя равенство |
|||||||||||||||||||||||
A−1A = E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. Алгебраические дополнения Aij и соответствующие ми- |
|||||||||||||||||||||||
норы Mij |
всегда равны по абсолютной величине, но могут различаться |
||||||||||||||||||||||
только знаками. Числа Aij и Mij |
имеют одинаковые знаки, если сумма ин- |
||||||||||||||||||||||
дексов i + j |
является четным числом, и имеют противоположные знаки, |
||||||||||||||||||||||
если i + j |
– нечетное число. Учитывая это, можно вычислять миноры мат- |
||||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
рицы A |
и подставлять их в присоединенную матрицу A с соответствую- |
||||||||||||||||||||||
щими знаками. Например, для матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
A = a |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
M11 |
−M21 |
M |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
получим |
% |
|
−M |
|
M |
|
−M |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
12 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M13 |
−M23 |
M33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
||||
Замечание 2. После деления элементов присоединенной мвтрицы A |
|||||||||||||||||||||||
на числовое значение определителя |
A |
|
элементы обратной матрицы во |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многих случаях становятся дробными числами. Для упрощения вычислений при использовании обратной матрицы лучше представлять ее с выне-
сенным общим множителем A−1 = 1 A% . Если элементами матрицы А бы-
A
ли целые числа, то матричные операции при таком представлении также будут производиться с целыми числами.
62