3)определение «габаритных» размеров и построение прямоугольного параллелепипеда, внутри которого должно находиться тело;
4)пространственное изображение тела по данным, полученным в предыдущих пунктах.
Пример. Изобразить тело, огра-
|
ниченное поверхностями z = 0, x = 0, |
|
z = y2 , 2x + 3y = 6; |
|
Решение: |
|
1) z = 0 – координатная плоскость; |
|
x = 0 – координатная плоскость, |
Рис. 96. Пример. Сечение тела |
z = y2 – параболический цилиндр с |
образующими, параллельными оси Ox, |
в координатных плоскостях |
|
2x + 3y = 6 x + y = 1 – плоскость,
32
параллельная оси Oz и отсекающая на осях Ox и Oy отрезки соответственно 3 и 2;
2) сечения тела в координатных плоскостях приведены на рис. 96;
3–4) наибольшие («габаритные») размеры тела: x* = 3, y* = 2, z* = 4.
Задачи к разделам 4.90–4.100
Рис. 97. Пример: построение тела
4.6.1. Построить в системе координат цилиндрические поверхности
а) x2 + y2 = 1; z2 + y2 = 4; x2 + z2 − 4z = 0; б) 9x2 + 25z2 =1; x2 + 4y2 + 4x − 8y + 4 = 0; в) 144z2 − 25y2 =1; x2 − 4y2 + 4x + 8y − 4 = 0; г) y2 = −6x; x2 − 4z − 2x − 7 = 0.
4.6.2. Найти координаты центра и радиус следующих сфер: а) x2 + y2 + z2 + 4x − 6y −12z = 0;
б) x2 + y2 + z2 − 8z +12 = 0.
4.6.3. Составить уравнения круговых цилиндров (рис. 98).
203
4.6.4.Составить уравнение цилиндра, образующие
которого параллельны оси OY и касаются сферы x2 +
+y2 + z2 = 1.
4.6.5.Составить уравнения поверхностей, получен-
ных вращением |
|
заданных |
Рис. 98. Задача 4.6.3 |
линий вокруг оси OX: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) (1; 2); x2 = 3y ; y = 2x; б) (x − 4)2 |
+ |
y2 |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
9 |
|
в) |
x2 |
− |
y2 |
=1; |
x2 |
− |
y2 |
= −1; г) (x − 2)2 + (y − 2)2 = 1. |
|
|
|
9 |
16 |
9 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
4.6.6. Схематично построить поверхности второго порядка:
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
=1; |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 1; |
|
|
|
|
9 |
9 |
|
16 |
16 |
9 |
16 |
|
|
|
|
|
|
16 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
z2 |
б) |
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= 1; − |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 1; |
|
|
|
9 |
|
9 |
|
16 |
9 |
|
9 |
|
16 |
9 |
|
9 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
z2 |
в) |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
= 1; − |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 1; − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= 1; |
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
16 |
9 |
9 |
16 |
9 |
9 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
z2 |
г) |
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= 0; − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
9 |
16 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
16 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
д) 9x2 + 4y2 − z = 0; 9x2 + 4z2 − y = 0; 9z2 + 4y2 + x = 0; е) 9x2 − 4y2 − z = 0; 9x2 − 4z2 + y = 0.
4.6.7. Схематично построить поверхности второго порядка: а) 4x2 + 9y2 − 36z2 +16x −18y − 72z = 47;
б) 9x2 + 4y2 +18x −8y − 36z +121= 0. 4.6.8. Схематично построить поверхности:
а) 4x2 − zy = 0; y2 − 4zx = 0; б) x2 + 2xy + y2 − z2 + 2z −1 = 0.
4.6.9.Проверить, пересекаются ли плоскость x + y + z = 3 и эллипсоид 4x2 + 4y2 + z2 = 4.
4.6.10.По какой линии пересекаются плоскость x =1 и поверхность x2 + 4y2 − 9z2 = 1?
4.6.11. Изобразить тело, ограниченное плоскостями: а) x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 3y − 5z − 30 = 0;
б) z = 0, y = x , y = 2x, x + y + z = 1;
в) 2x + 5y + z = 7, y =1, x =1, x = 0, y = 0, z = 0;
г) 3x + y − 6 = 0, 3x + 2y = 12, x = y , z = 3, x = 0, z = 0; д) 5x + 4y + 5z = 20, z = 2, x = 2,4, x = 0, y = 0, z = 0; е) 3x + 2y + 3z =12, 3x + y = 6, x − y = 0, y = 0, z = 0.
4.6.12. Изобразить тело, ограниченное поверхностями:
а) z = x2 + y2 , z =1; б) y = 
x , x + z = 6, y = 2
x , z = 0; 4
в) y = 3x2 , x + y =1, y = 0, z = 3; г) x2 + y2 =1, y2 = z, z = 0; д) x2 + y2 = z , y ≥ x2 , z = 2; е) x2 + y2 + z2 = 9, 3x + 2z ≤ 6,
z ≥ 0.
4.110. Прикладные задачи по теме «Аналитическая геометрия
Технические системы в первом приближении в большинстве случаев рассматриваются как линейные системы и описываются с помощью линейных зависимостей, графики которых являются прямыми и плоскостями.
Для освоения основ использования аналитической геометрии для решения физических и технических задач рекомендуется рассмотреть нижеследующие прикладные задачи для прямых и линейных зависимостей, графиками которых являются прямые.
1. Материальная точка в течение 30 с двигалась равномерно со скоростью v0 = 20 м/с, а затем равноускоренно с ускорением
a = 2 м/с2. Построить график зависимости v = f (t) при t [0; 50].
2.Начальная скорость точки равна 10 м/с. Точка движется прямолинейно, равнозамедленно и останавливается через 100 с. Найти линейную зависимость скорости точки от времени. Определить скорость точки через 20 с после начала движения.
3.Луч света направлен по прямой y = 2 x − 4. Дойдя до плос-
3 кости, на которой лежит ось абсцисс, луч отражается. Найти точ-
ку встречи луча с плоскостью и уравнение отраженного луча. Пояснения: Угол падения равен углу отражения. Прямой и от-
раженный лучи вместе с осью абсцисс лежат в одной плоскости.
205
Рис. 99. Прикладная задача 4
зависимости RB = f (x).
4. По горизонтальной жесткой балке весом 2,4 кН медленно катится каток весом 1,3 кН (рис. 99). Найти зависимость вертикальной реакции опоры В от расстояния оси катка до опоры А. Расстояние между опорами Sм = 5 м. Построить график
Указание: Реакцию RB найти из уравнения для суммы моментов всех сил относительно точки А.
5. Стержень длиной 0,5 м подвешен за концы с помощью двух тросов. Один из тросов не может выдержать без разрыва силу натяжения, превышающую 200 Н. На каком критическом расстоянии xêð от точки крепления «слабого» троса можно закрепить
груз 1000 Н, чтобы натяжение этого троса равнялось 200 Н. Построить график зависимости RA = f (x) при xêð ≤ x ≤ 0,5. При
решении данной задачи использовать указание к задаче 4. Кривые второго порядка нашли широкое применение при
описании траекторий движения небесных тел и других физических и технических объектов, которые можно представить расчетной моделью в виде «точки» в кинематике и «материальной точки» в динамике.
6.Меридиан земного шара имеет форму эллипса с отношением полуосей 299 / 300. Найти эксцентриситет меридиана.
7.Земля движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов эллипса расположено Солнце. Минимальное расстояние от
Земли до Солнца приближенно равно 147,5 106 км, а наибольшее 152,5 106 км. Найти полуоси и эксцентриситет орбиты Земли.
8. Из отверстия бака, расположенного на расстоянии 1,5 от дна, вытекает струя жидкости, имеющая форму параболы x2 = −6y. На каком расстоянии от края бака по горизонтали падает струя жидкости на землю?
9.Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал дугу параболы на расстоянии 16 м от места броска. Наибольшая высота, достигнутая камнем, составляет 12 метров. Найти уравнение параболической траектории камня.
Формы многих инженерных сооружений соответствуют приближенно кривым второго порядка. (Так, например, в курсе строительной механики будет показано, что рациональная форма трехшарнирной арки, загруженной вертикальной равномерно распределенной нагрузкой, есть парабола. – Ред.)
10.Найти высоту арки моста длиной 24 м, если арка имеет
вид параболы x2 = −6y.
11. Провод подвешен между опорами на одинаковой высоте. Расстояние между опорами равно 20 м. В точке, расположенной на расстоянии 2 м от опоры, величина вертикального провисания провода составляет 14,4 см. Определить величину провисания провода в середине между опорами, принимая форму провисшего провода параболической.
Алгебраические кривые второго и более высоких порядков, а также трансцендентные кривые наиболее часто встречаются в инженерных расчетах как траектории точек в различ-
ных |
механизмах. |
Кривые |
как |
траектории |
обычно |
определяют в параметриче- |
ской форме, где роль пара- |
Рис. 100. Прикладные задачи. Пример метра |
выполняет |
текущее |
время. |
|
Пример. Определить траекторию точки M кривошипношатунного механизма (рис. 100) в параметрической форме при
AM = d .
Решение: Необходимо найти xM = x(t), yM = y(t).
AC = rsint |
sinα = |
r |
|
|
sint ; |
|
AC = lsinα |
|
l |
xM = OC + CE = r cost + d cosα = r cost + d
1− sin2 α =
207
|
= r cost + d 1− |
r2 |
sin2 t . |
|
l2 |
|
|
|
yM = ME = DC = AC − AE = rsint − d sinα =
= rsint − d r sint = r(l − d )sint .
ll
Получены параметрические уравнения замкнутой кривой, характеризующие траекторию точки M шатуна. После исключения параметра t в прямоугольных координатах получим уравнение кривой четвертого порядка.
12. Определить и построить траекторию точки M в виде y = f (x) для механизма, показанного на рисунке, при OA = AB,
|
AB = 3AM и AB = 2AM . |
|
|
|
Кривые как профили плоских ку- |
|
|
лачков в большинстве случаев описы- |
|
|
вают в полярных координатах. |
|
|
Пример. Пусть необходимо, чтобы |
|
|
в кулачковом механизме толкатель, то- |
|
|
рец которого скользит по профилю ку- |
|
|
лачка, совершает гармонические колеба- |
Рис. 100.1. Кулачковый |
|
ния. Тогда наилучшим конструктивным |
механизм |
|
решением является выполнение профиля |
|
|
|
кулачка в виде улитки Паскаля (рис. 100.1). |
|
|
|
В полярных координатах урав- |
|
|
нение улитки |
Паскаля имеет вид |
|
|
ρ = 2r cosϕ + l . Геометрический смысл |
|
|
постоянных параметров (r и l) кри- |
|
|
вой установим из ее построения. |
|
|
Пусть имеется окружность радиуса |
|
Рис. 100.2. Улитка Паскаля |
r , которая проходит через полюс, |
|
центр окружности лежит на гори- |
|
|
зонтальной полярной оси OM . |
|
В каждом положении полярного радиуса к переменной вели- |
|
чине (ON0 ,ON1,ON2 ,...,ONi |
= 2r cosϕi ) прибавляется постоянная |
величина l(N0M0 = N1M1 = N2M2 = ...). Профиль кулачка зависит от соотношения 2r и l (рис. 100.2).
Задание: построить профили кулачка в виде улитки Паскаля при r = 10 мм и l = 20 мм и l = 25 мм в полярных координатах,
атакже зависимость ρ = f (ϕ) в прямоугольных координатах.
Втехнических системах наиболее широкое применение нашли оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
Из физики известно, что свет, звук, ультразвук отражаются так, что угол падения равен углу отражения. При этом под углом подразумевают угол между лучом и нормалью (перпендикуляром) к касательной в точке падения луча на отражающую поверхность.
Если отражающая поверхность имеет форму эллипсоида вращения и в один из фокусов эллипса поместить точечный источник света (звука), то после отражения лучи соберутся в другом фокусе эллипса.
Это свойство эллипса используют, в частности, в медицинских приборах для дробления ультразвуком камней в почках. Излучатель ультразвука помещают в одном из фокусов отражателя вне организма. После отражения ультразвук концентрируется в другом фокусе внутри организма в почечном камне и разрушает его.
Если сечение отражателя выполнить в виде ветви гиперболы и в фокусе поместить точечный источник света (звука), то луч будет отражен так, что будет казаться, что излучатель находится в другом фокусе (рис. 101).
Рис. 101. Оптические свойства эллипса и гиперболы
Для повышения эффективности оптических свойств отражатели выполняют в виде поверхностей вращения второго порядка.(эллипсоидов и гиперболоидов вращения).
Если отражательную поверхность выполнить в виде параболоида вращения, то пучок параллельных лучей света после отражения от поверхности концентрируется в фокусе. И наоборот, излучатель в фокусе после отражения создает параллельный пучок света. Эти свойства параболы используются в телескопах и радиотелескопах, прожекторах и т.п.
209
13. Из левого фокуса эллипса x2 + y2 =1 под углом α к оси 45 20
Ox направлен луч света (tg α = −2). Найти уравнение луча, отраженного от эллипса.
|
14. Из правого фокуса гиперболы |
x2 |
− |
y2 |
=1 под углом α |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
π < α < |
3π |
tgα = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
. Найти уравнение |
луча, |
отраженного от |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гиперболы.
15.Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг оси симметрии. Диаметр зеркала равен 100 см, глубина зеркала – 20 см. Найти расстояние от вершины параболы до фокуса, в котором необходимо поместить источник света.
16.Найти уравнение параболы, вращением которой образована зеркальная поверхность автомобильной фары. Наибольший диаметр зеркальной поверхности равен 20 см, глубина – 15 см.
Ответы к задачам темы «Аналитическая геометрия»
|
|
|
|
|
|
5 |
|
x |
|
|
y |
x = 6t |
|
4.1.1. а) y = |
|
x + 5; б) − |
|
|
+ |
|
|
|
=1; в) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
5 |
|
y = 5t + |
30 |
4.1.2. а) 2x − y −11 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x |
|
− |
y |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,5 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y = 2x −11; г) см. рис.102. |
|
|
|
|
4.1.3. а) L1 : |
x + 3y − 3 = 0 и |
L2 : |
|
3y − x = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 102. Решение задачи 4.1.2, г |
б) SOAB =1,5, |
SOAC = 0,75. |
|
|
|
|
|
|
4.1.4. |
|
а) 5x − 6y + 7 = 0; |
б) |
6x + 5y −16 = 0; |
в) x +11y − 23 = 0 и |
y−11x + 9 = 0.
4.1.5.а) x − y +1 = 0; б) x − 3y + 7 = 0.
|
|
|
1 |
|
7 |
|
|
3 |
|
1 |
4.1.6. а) (−1;12) |
или (−5;− 4) или (5;− 6); б) |
− |
|
; |
|
|
или |
− |
|
;− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
или (1;−1); в) площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника с вершинами A,B,C .
4.1.7.а) прямые совпадают; б) прямые пересекаются; в) прямые параллельны.
4.1.8.8x − y +11 = 0; 3x + y − 2 = 0 и x + 5y + 4 = 0.
4.1.9.а) прямые попарно пересекаются в трех различных точках;
б) прямые попарно пересекаются в трех различных точках; в) первая и третья прямые совпадают, третья их пересекает.
4.1.10. x + y −1− 
2 = 0 и x + y −1+ 
2 = 0.
4.2.1. а) − |
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1; б) см. рис. 103. |
|
|
|
6 |
5 |
15 |
|
4.2.2.6x + 3y + 2z − 6 = 0;
4.2.3.а) x + 2y + 3z − 26 = 0; б) x − 2y + z = 0;
в) x − 5y + 3z + 2 = 0; г) такой плоскости не существует; д) 2x + 2y − 3z +1 = 0.
4.2.4.3x + 2z − 6 = 0 и 2x + y − 2 = 0.
4.2.5.а) 10x − 5y − 7z + 25 = 0; б) y = logx 3.
4.2.6.а) 90°; б) 45° (или 135°).
Рис. 103. Решение задачи 4.2.1, б
4.2.7.288.
4.2.8.Таких плоскостей семь: плоскость, равноудаленная от точки D
иплоскости ABC и три аналогичных плоскости; также плоскость, равноудаленная от двух скрещивающихся прямых AB и CD и две аналогичных плоскости.
Найдем уравнение плоскости, равноудаленной от точки D и плоскости ABC . Уравнение плоскости ABC : x + y + z − 2 = 0. Уравнение плоскости,
параллельной ABC и проходящей через точку D: x + y + z −12 = 0. Оче-
видно, что |
искомая плоскость параллельна плоскости ABC и, следова- |
тельно, ее |
уравнение имеет вид x + y + z + C0 = 0. Искомая плоскость |
должна проходить строго посередине между плоскостями x + y + z − 2 = 0 и x + y + z −12 = 0, поэтому ее уравнение имеет вид x + y + z − 7 = 0.
Найдем уравнение плоскости, равноудаленной от двух скрещивающихся прямых AB и CD . Эта плоскость должна быть параллельна векторам AB и CD , а, значит, перпендикулярна их векторному произведению
r |
= AB × CD = (−4;6;− 4). Поэтому уравнение плоскости имеет вид |
n |
−4x + 6y − 4z + C0 = 0. Значение постоянной C0 можно будет определить после изучения уравнений прямой в пространстве.
211
4.3.1. а) для одной и той же прямой можно составить бесконечно много различных канонических уравнений. В качестве направляющего вектора прямой можно взять векторное произведение нормальных векторов плоскостей: (7;8;10). В качестве точки, лежащей на прямой можно взять любое
частное решение системы |
2x − 3y + z = 0 |
, например, (0,3; 0,2; 0). |
|
4z − 5y +1 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим канонические уравнения |
x − 0,3 |
= |
y − 0,2 |
= |
z |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
8 |
10 |
|
б) Полагая |
x − 0,3 |
= |
y − 0,2 |
= |
z |
= t , получим x = 7t + 0,3, y = 8t |
|
|
|
7 |
|
|
8 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =10t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 3y + z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5y + 4z = −1 . |
в) составим систему линейных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x + 5y = 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ее определитель не равен нулю, то плоскость и прямая пересе-
2 −3 1
каются. 0 −5 4 = −82 ≠ 0. Прямая и плоскость пересекаются.
6 5 0
4.3.2. а) самый простой способ составить общие уравнения – рассмотреть отдельно каждое из двух равенств и раскрыть пропорции:
5x − 4y + 3 = 0 |
; б) x = 4t +1; y = 5t + 2;z = 6t + 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6y − 5z + 3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − y −11 = 0 |
|
|
|
|
x − 3 |
= |
y + 5 |
= |
z − 6 |
|
4.3.3. а) например, |
− 4z + 49 |
= 0 |
; б) |
|
|
|
|
. |
2 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
y − 4 z − 5 |
x − 3 |
|
|
y − 4 |
|
z − 5 |
|
|
|
4.3.4. а) |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
; б) |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
; |
|
|
1 |
|
−4 |
−8 |
−3 |
|
6 |
−3 |
|
|
в) |
x − 3 |
= |
y − 4 |
= |
z − 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3.5.а) плоскость и прямая пересекаются; б) плоскость и прямая параллельны.
4.3.6.а) прямые параллельны; б) прямые совпадают; в) прямые скрещиваются; г) прямые скрещиваются;
4.3.7. а) − |
2 |
2 |
|
; б) − |
1 |
|
|
; в) |
909 |
. 4.3.8. |
127 |
|
. 4.3.9. |
4 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
13 |
|
70 |
|
|
|
910 |
|
3 |
101 |
3 |
|
4.5.1. a = |
1 |
|
; b = |
1 |
; c = |
4 |
; e = |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
15 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
