585

rr

2.Если векторы a,b,c компланарны, то их смешанное произ-

134

3.6.3. Даны векторы a = (1; − 2; 3) и b = (3; −1; 0).

в) Найти косинус угла между этими векторами;

3.6.4. Найти работу силы в 60 Н по перемещению тела на расстояние 10 м, если

косинус угла между направлением силы и Рис. 41. Задача 3.6.2 направлением перемещения равен 0,4.

3.6.5.Даны векторы a и b . Вектор c является проекцией вектора a на ось, определяемую вектором b . Выразить вектор c через векторы a и b .

3.6.6.Даны векторы a и b . Вектор c является проекцией вектора a на плоскость, перпендикулярную вектору b . Выразить вектор c через векторы a и b .

3.6.7.К вершине куба приложены три силы F1 = 2H , F2 = 3H

иF3 = 4H направленные по диагоналям граней куба, выходящим

из этой вершины. Найти величину равнодействующей силы F и углы, составляемые равнодействующей с составляющими силами.

3.6.8. На рис. 42 изображен квадрат ABCD со стороной 1. При этом BF = FC. Найти координаты векторных произведений

AB × BD, BD× AF .

3.6.9. Дан куб ABCDA1B1C1D1.с длиной ребра равной 1. Чему равны векторные про-

136

3.6.17. При каком значении параметра α векторы a = (α; 2; 3), b = (4; 5; 6), c = (7; 8; 9) будут компланарны?

3.90. Прикладные задачи по теме «Векторная алгебра»

3.9.10. Применение векторных диаграмм

втехнических расчетах

Винженерных расчетах и интерпретациях синусоидальных величин в технических системах, рассматриваемых в линейном приближении, широко используют векторные диаграммы.

Векторной диаграммой синусоидальной физической величины называется графическое представление указанной величины с помощью вращающегося вектора. Тогда синусоидальные величины представляются в виде проекций вращающихся векторов на оси прямоугольной системы координат.

Рис. 44. Представление синусоидального тока в виде вращающего вектора

модулю вектора. Частоту ω считают угловой скоростью вращения вектора. Отсчет угла поворота производят от горизонтаного положения радиус-вектора в положительном направлении против часовой стрелки, в отрицательном – по часовой стрелке. При этом сначала отсчитывают начальную фазу (ϕ0 при t = 0) (рис. 44).

Если векторная диаграмма строится на действительной плоскости, то проекция вектора Im на вертикальную ось равна i = Im sin(ωt + ψ), на горизонтальную ось i = Im cos(ωt + ψ).

138

Если необходимо найти разность двух векторных величин

Em = Am − Bm ,

то геометрически суммируют вектор Am и

противоположный вектор (−Bm ), при этом в расчетных формулах угол ψ2 заменяют на угол π + ψ2 (рис. 46).

Пример 1. Построить векторную диаграмму для электрической цепи (рис. 47, а) и найти общий ток в цепи.

Решение: принимаем, что по цепи проходит ток i = Im sin(ωt + ψ) с нулевой начальной фазой.

Отложим вектор тока Im по горизонтали. Электрическое напряжение на активном сопротивлении r1 по закону Ома будет

равно Ua1m = Imr1. Сдвиг фазы между Ua1m и Im равен нулю. Напряжение на индуктивности L1′ UL1 = ImωL1 . Это напряжение

опережает ток на π (это физическое свойство любого индуктив- 2

ного элемента в цепи переменного тока). Продолжая аналогичные рассуждения для элементов цепи r2 и L2 строим векторную диаграмму для всей электрической цепи (рис. 47, б).

Рис. 47. Пример 1 с решением

Используя формулы элементарной геометрии и тригонометрии из векторной диаграммы находим

U = (Ua1 +Ua2 )2 + (UL1 +UL2 )2 .

140

роны натянутых проводов P1 = P2 = P =1000 H. Найти силу вертикального давления на столб и усилия в растяжках, если угол между вертикальными плоскостями, в которых лежат растяжки, ϕ = 60°.

Рис. 48. Пример

Решение: составляем условие равновесия в векторной форме системы сходящихся сил

R + P1 + P2 + T1 + T2 = 0,

где R – сила реакции со стороны столба; T1, T2 – силы реакции растяжек на столб.

Проектируем векторное равенство на оси координат. При проектировании силы T1 на оси Ox и Oy используем правило

двойного проектирования ψ = π − ϕ ;2

T1x = T1 sin α cosψ = T1 sin αsin ϕ, T1y = T1 sin α cosϕ.

Уравнения равновесия в проекциях на координатные оси будут иметь вид:

−P1 +T1x = −P1 +T1 sin αsin ϕ = 0;

−P2 +T1y +T2 sin α = −P2 +T1 sin αcosϕ +T2 sin α = 0; R − T1 cosα − T2 cosα = 0.

142