585

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, где D = b2 − 4ac – дискриминант; x , x – кор-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.12.2022

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 243 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

При делении необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное к знаменателю, раскрыть скобки и привести подобные.

Пример. Если z1 = 2 + 5i, z2 = 4 + 3i, то z1 + z2 = (2 + 4) + i(5 + 3) = 6 + 8i,

z1 – z2 = (2 – 4) + i(5 – 3) = –2 + 2i,

z1 z2 = (2 + 5i) (4 +3i) = 8 + 20i + 6i +15i2 = –7 + 26i,

2 + 5i

(2 + 5i)(4 − 3i)

8 + 20i − 6i −15i2

23+14i

4 + 3i

+ 3i)(4

− 3i)

=23 + 14 i.

25 25

1.1.10. Решение алгебраических уравнений с использованием комплексных чисел

Алгебраическое уравнение вида xn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 = 0 с комплексными (в частности – с действительными) коэффициентами любой целой степени n всегда имеет n комплексных корней (среди которых могут быть и одинаковые).

Если в уравнении xn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 = 0 все коэффициенты действительные и уравнение имеет корень x0 = a + ib при b ≠ 0, то комплексно сопряженное число x0 = a − ib также является корнем этого уравнения.

Полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два кор-

ни квадратного уравнения.

Квадратное уравнение всегда имеет два корня. Если коэффициенты a,b,c – действительные числа, то:

1)при D > 0 корни x1 , x2 – различные действительные числа;

2)при D = 0 корни x1 , x2 – равные действительные числа;

3)при D < 0 уравнение не имеет действительных корней. Корни такого уравнения – сопряженные комплексные числа.

В высшей математике обычно используют приведенное квад-

ратное уравнение вида x2 + px + q = 0. Уравнение ax2 + bx + c = 0 легко приводится к виду x2 + px + q = 0:

x2 + b x + c = 0.

Если корни x1 , x2 уравнения x2 + px + q = 0 известны, то x2 + px + q = (x − x1 )(x − x2 ).

Для проверки правильности нахождения корней используют

формулы Виета: x + x

= −

; x x

или x + x

= − p; x x = q.

1 2

Пример 1. Решить уравнение x2 − 4x +13 = 0.

Первый спос об:

4 ±

(−4)2

− 4 13

x =

4 ± −36

4 ± 6i

= 2 ± 3i;

1,2

Второй способ (способ выделения полного квадрата):

В этом способе постоянный коэффициент разделяют на два слагаемых (13 = 4 + 3) таким образом, чтобы одно из слагаемых и

члены, содержащие x и x2 , образовывали полный квадрат x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 . После выделения полного квадрата уравнение можно представить в виде x2 − 4x +13 = x2 − 4x + 4 + 9 = = (x − 2)2 + 9 = 0; (x − 2)2 = −9 x − 2 = ±3i x1,2 = 2 ± 3i.

Пример 2. Решить уравнение x2 − (1+ 2i)x + i −1= 0

x =	1+ 2i ±	(1+ 2i)2 − 4 (i −1)	=	1+ 2i ±1	. x	= i; x =1+ i.


1,2		2		2	1	2
		2		2

Любой многочлен второй степени можно представить в виде произведения двух многочленов первой степени.

Так, в примере 1:

x2 − 4x +13 = (x − (2 − 3i)) (x − (2 + 3i)), а в примере 2: x2 − (1+ 2i)x + i −1= (x − i) (x − (i −1)).

В дальнейшем удобно будет считать, что многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней (среди которых могут быть и одинаковые).

Определе ние: если уравнение имеет k одинаковых корней x0, то говорят, что корень x0 имеет кратность k.

Пример 3. Найти все корни многочлена x5 − 6x4 + 9x3 = 0.

Решение:

x5 − 6x4 + 9x3 = x3 (x2 − 6x + 9) = x x x (x − 3) (x − 3). Выражение x x x (x −3) (x −3) равно 0 тогда, когда равен

нулю хотя бы один из сомножителей, т.е. x = 0 или x = 0 или x = 0 или x – 3 = 0 или x – 3 = 0. Значит, уравнение имеет 5 корней: x1 = x2 = x3 = 0, x4 = x5 = 3.

Задачи к разделу 1.10

1.1.1. Для данных комплексных чисел найти сумму, обе раз-

ности, произведение и оба частных:

а) z1 = 3, z2 = −i;

б) z1 = 3i, z2 = 5 −12i;

в) z1 = 3 + 4i, z2 = 3− 4i ; г) z1 = 2 + 7i, z2 = 4 −14i;

д) z = 3 + 4i, z

= 5 −12i; е) z =

i , z

−

1.1.2. Даны комплексные числа z1 = 3 + 4i, z2 = 5 −12i.

Найти:

а) 3iz1 + (2 + 3i)z2

; б) 2z12 − 3z1z2 + 4z22 ; в)

z1 − 2z2

;

(z1 −

2 )(

z1 − z2 )

z2 + 3z1

г)

z1 − 2iz2

;

д)

2 + 3z1

(z1 +

2 )(

z1 + z2 )

1.1.3.Найти действительные числа x, y из комплексного уравнения (3 + 4i)x + (5 −12i)y = i + 3.

1.1.4.Решить квадратные уравнения:

а) z2 − 4z + 5 = 0; б) z2 + z +1 = 0; в) z2 + (2 − i)z − 2i = 0.

1.1.5. В предположении, что количество корней уравнения совпадает с его степенью (корни могут быть кратными), найти все корни уравнений:

а) x2 +16 = 0;				б) x2 + 4x + 5 = 0;
в) x2 −	3+	3i	x + 2i = 0;	г) x4 +13x2 + 36 = 0;

2
д) x4 + 2x2 +1= 0;				е) x9 + 8x7 +16x5 = 0.

1.20. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа

В математике и технических науках используют два вида представлений комплексных чисел в геометрической форме на комплексной плоскости:

1)точечное представление комплексного числа;

2)векторное представление комплексного числа. Определе ние: Комплексной

называют плоскость, между множеством всех точек которой и множеством комплексных чисел существует взаимно однозначное соответствие.

На комплексной плоскости

вводится специальная прямоуголь-
ная система координат, содержа-
щая действительную и мнимую оси	Рис. 5. Комплексная плоскость
(рис. 5).

При векторном представлении комплексного числа положение точки M (a, b), соответствующей комплексному числу z = a + ib, на комплексной плоскости задается радиус-вектором.

Каждому радиус-вектору OM = rr на комплексной плоскости соответствует ровно одно комплексное число (взаимно однозначное соответствие, рис. 6).

Модуль (длина) радиус-векто-

ра r называется модулем

ком-

плексного числа

a2 + b2 .

Положение радиус-вектора r

от-

Рис. 6. Векторное представление

носительно

действительной

оси

комплексного числа

определяется

углом ϕ с

положи-

тельным направлением

отсчета

против часовой стрелки.

Из определений сложения векторов и сложения комплексных чисел следует, что сложение комплексных чисел можно производить геометрически как сложение соответствующих им векторов (рис. 7).

Рис. 7. Геометрическое сложение комплексных чисел

Алгебраическое и векторное представление комплексного числа позволяет перейти к тригонометрической форме этого числа.

Из рисунка следует, что а = = r cosϕ, b = r sin ϕ, откуда получаем: z = a + ib = r (cosϕ + isin ϕ).

Угол ϕ называется аргументом комплексного числа.

Комплексное число в тригонометрической форме в об-

щем случае имеет бесконечное число аргументов, которые отличаются друг от друга на целое число оборотов (2πn, где n – число полных оборотов радиус-вектора вокруг начала координат). Чтобы значение аргумента было однозначным, выделяют главное значение аргумента −π < arg z ≤ π или 0 ≤ arg z < 2π . Таким образом, в общем случае

z = a + ib = z (cos(ϕ + 2πn)+ isin(ϕ + 2πn)).

При использовании главного значения аргумента получим z = a + ib = z (cosϕ + isin ϕ).

Пример

1. Сопряженные комплексные

числа z = −1+ i

= −1− i

3 и

3 изобразить на

комплексной плоскости и представить в три-

гонометрической форме,

используя

главные

значения аргумента.

Решение:

Модуль

комплексного числа

(−1)2 + (±

= 2.

Для

числа

имеем: cosϕ = −1,

sin ϕ =

. Поскольку

си-

Рис. 8. Пример 1

нус положителен, а косинус отрицателен, ра-

диус-вектор числа

z расположен во втором координатном углу

(втором квадранте координатной плоскости). Таким образом, по-

			2π		2π
			2π		2π
лучаем:	z = 2	cos		+ isin		. Для числа	z = −1− i 3 имеем:
лучаем:	z = 2	cos		+ isin		. Для числа	z = −1− i 3 имеем:
			3	3
							27

−1

−

4π

cosϕ =

sin ϕ =

z = 2 cos

+ isin

. Если считать,

что

0 ≤ arg z < 2π , то задача решена. Если же

−π < arg z ≤ π , то

угол

4π

не является главным значением аргумента. В этом слу-

−2π

2π

чае (см. рис. 8) z = 2

cos

+ isin −

Таким образом, сопряженные комплексные числа в тригонометрической форме имеют одинаковые модули, а их аргументы различаются только знаками.

Если главные значения аргумента не соответствуют углам, для которых числовые значения тригонометрических функций известны из школьной математики, то используют тригонометрические таблицы или выражают аргумент через обратные тригонометрические функции (arcsin,arccos,arctg).

Пример 2. Представить комплексное число z = −5 +12i в тригонометрической форме, используя главное значение аргумента. Изобразить комплексное число на комплексной плоскости.

sin ϕ = 12 , то радиус-вектор числа расположен во втором квад13

ранте. Арксинус использовать напрямую нельзя, так как по опре-

делению	arcsin x			− π	;	π	. Поскольку arccos x [0; π], то

				2		2
		5
ϕ = arccos	−		≈ 0,64π.
ϕ = arccos	−		≈ 0,64π.
		12

z ≈13(cos0,64π + isin0,64π).

1.2.10. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в целую степень

Складывать и вычитать комплексные числа удобнее в алгебраической форме, умножать и делить – в тригонометрической.

Пусть z1 = ρ1(cosϕ1 + isin ϕ1), z2 = ρ2 (cosϕ2 + isin ϕ2 ), тогда z1 z2 = ρ1ρ2 (cosϕ1 + isin ϕ1)(cosϕ2 + isin ϕ2 )=

=ρ1ρ2 ((cosϕ1 cosϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(cosϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cosϕ2 )) =

=ρ1ρ2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + isin(ϕ1 + ϕ2 )).

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

z1	=	ρ1(cosϕ1	+ isin ϕ1)	=	ρ1(cosϕ1	+ isin ϕ1)(cosϕ2 − isin ϕ2 )	=
	=			=			=
z2		ρ2 (cosϕ2	+ isin ϕ2 )		ρ2 (cosϕ2	+ isin ϕ2 )(cosϕ2 − isin ϕ2 )

= ρ1((cosϕ1 cosϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cosϕ2 − sin ϕ2 cosϕ1)) = ρ2 (cos2 ϕ2 + sin2 ϕ2 )

= ρ1 (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + isin(ϕ1 − ϕ2 )).

Значит, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Замечание: Из вышесказанного следует, что для любых комплексных

чисел z1, z2	имеют место равенства	z	z	=	z	z		и	z		=	z1	.
									z			z1
										1

		1	2		1		2		z2			z2
		1	2		1		2

Пусть z = ρ(cosϕ + isin ϕ), тогда, поскольку при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

z2 = ρ2 (cos2ϕ + isin 2ϕ); z3 = z2 z = ρ3 (cos3ϕ + isin3ϕ);

z4 = z3 z = ρ4 (cos4ϕ + isin 4ϕ) и т.д.

Кроме того,
z−1 =	1	=	cosϕ − isin ϕ	= ρ−1(cos(−ϕ) + isin(−ϕ));
	ρ(cosϕ + isin ϕ)		ρ

z−2 = (z−1 )2 = ρ−2 (cos(−2ϕ) + isin(−2ϕ)) и т. д. Таким образом, имеет место формула Муавра:

zn = ρn (cos nϕ + isin nϕ) при n Z .

Пример. Найти z 4, если z = –1 + i.

Решение: Поскольку z =			3π	+ isin	3π

	2	cos				, то

			4	4

		4			3π			3π
z4 = (	2)			4			4		= 4(−1+ 0 i) = −4.
			cos			+ isin

					4			4

1.2.20. Извлечение корней из комплексных чисел в тригонометрической форме

Определе ние: Корнем степени n из комплексного числа z

называется комплексное число w такое, что wn = z.

	Очевидно,		что		если z = ρ(cosϕ + isin ϕ), то число
		ϕ		ϕ
w0			+ isin		, где под выражением n ρ подразумевает-
	= n ρ cos
		n		n

ся арифметический корень степени n из действительного числа, является корнем степени n из числа z.

Кроме того, при любом целом значении числа k комплексное

		ϕ + 2πk	+ isin		ϕ + 2πk			также является корнем
		ϕ + 2πk			ϕ + 2πk
число wk = n ρ cos
		n				n
степени n из числа z.
Действительно:
	ϕ + 2πk						ϕ + 2πk		=
wkn = ρ cos n				+ isin n			n		=
		n					n

= ρ(cos(ϕ + 2πk) + isin(ϕ + 2πk)) = ρ(cosϕ + isin ϕ) = z.

Среди чисел wk		ϕ + 2πk	ϕ + 2πk	различными
		ϕ + 2πk	ϕ + 2πk
	= n ρ cos		+ isin
		n	n

являются только n чисел. Эти числа получаются, если числу k последовательно придавать значения k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Если представить эти корни в виде точек на комплексной плоскости, то эти точки будут лежать на окружности радиуса nρ с центром в начале координат. При этом указанные точки будут делить окружность на n равных частей.

Пример 1. Найти 3i . Представить найденные корни в алгебраической форме.

Решение: Найдем геометрическую форму числа i.

Модуль числа равен 1, аргумент равен π , поэтому 2

i = cos π + isin π .

												Поскольку									извлекается ко-
									рень третьей степени																(n = 3),	в
									формуле
									wk									ϕ + 2πk							ϕ + 2πk
																		ϕ + 2πk							ϕ + 2πk
											= n ρ cos									n			+ isin
																				n					n
									надо будет брать три значения:
	Рис. 9. Пример 1								k = 0, k =1, k = 2.
	Рис. 9. Пример 1
												При k = 0:
		π + 0				π + 0
		π + 0				π + 0			3					1
w = cos		2	+ isin			2	=		3		+ i			1	.
w = cos			+ isin				=				+ i				.
0	3		3				2			2
	3		3				2			2
				π								π
				2 + 2π								2 + 2π						−
При k =1: w			= cos	2 + 2π			+ isin					2 + 2π				=		−	3			+ i	1	.
При k =1: w			= cos				+ isin									=						+ i		.
	1		3							3							2						2
			3							3							2						2
						π + 4π							π + 4π							1
При k = 2: w			= cos		2			+ isin					2				= −i			1		.
При k = 2: w			= cos					+ isin									= −i					.
	0		3							3									2
			3							3									2

С помощью операции извлечения корня можно решать алгебраические уравнения вида awn + b = 0, где a, b – действительные или комплексные числа.

Пример 2. Найти							при z =			3		+		1	i.
						z				3				1
						z
										2	2
Решение: Найдем сначала геометрическую форму комплекс-

									2		1 2
	3		1					3	2		1 2					3		1
ного числа z =		+		i:	ρ =					+			=				+		=1.
ного числа z =		+		i:	ρ =					+			=				+		=1.
	2		2					2			2					4		4

cosϕ =

;

sin ϕ =

значит,

ϕ = π .

Следовательно,

ϕ + 2πk

z =1

ϕ + 2πk

z =

+ isin

, k = 0,1.

cos

+ isin

ρ cos

При k = 0:

i = cos

+ isin

2 +

+ i

2 − 3

При k =1:


	3		+	1	i = cos		13π	+ isin	13π	= −	2 + 3	− i	2 −	3	.
			+		i = cos			+ isin		= −		− i	2		.
2		2				12		12			2		2

Замечание 1. Если комплексные числа, являющиеся корнями степени n из 1, отметить на комплексной плоскости, то они будут являться вершинами правильного n-угольника с центром в начале координат.

Замечание 2. Для любого комплексного числа c уравнение xn = c имеет ровно n различных комплексных корней.

1.2.30. Показательная форма комплексного числа

В математике и общетехнических науках, например, теоретической электротехнике, широкое применение находит показательная форма комплексного числа.

К показательной форме комплексное число приводят с помощью формулы Эйлера

ei ϕ = cosϕ + isin ϕ.

Значит,

z = ρ(cosϕ + isin ϕ) = ρei ϕ .

Основные операции с

комплексными

числами z

= ρ ei ϕ1 ,

= ρ

eiϕ2

показательной

форме производятся следующим образом:

z z

= ρ ρ

ei(ϕ1 +ϕ2 ) ;

ρ1

ei(ϕ1 −ϕ2 ) ; zn = ρneinϕ1

;

ρ2

iϕ1 +2πk

n z = n

ρ e

n ; k = 0,1, ..., n −1.

Пример. Найти показательную форму комплексного числа u = (1+ i)3.

Решение:

iπ

Пусть

z =1+ i =

+ i

cos

+ isin

= 2e 4 , то-

iπ

3πi

гда u =

2e 4 = 2

2e 4 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 243 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20222.21 Mб1580.pdf
#
06.12.20222.21 Mб4581.pdf
#
06.12.20222.21 Mб1582.pdf
#
06.12.20222.22 Mб0583.pdf
#
06.12.20222.23 Mб17584.pdf
#
06.12.20222.25 Mб0585.pdf
#
06.12.20222.26 Mб4586.pdf
#
06.12.20222.29 Mб2587.pdf
#
06.12.20222.31 Mб2588.pdf
#
06.12.20222.32 Mб3589.pdf
#
06.12.20222.33 Mб2590.pdf