Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

585

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.12.2022

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Задачи к разделу 1.20

1.2.1. Найти геометрическую форму комплексных чисел


а) z = 2;			б)	z = −1 ;						в) z = i ;
г) z = −5i;			д)	z =		1	+ i	3		; е) z =	1	− i	3	;
													2
				2				2	2
	1		3
ж) z = −		+ i			;					з) z = 2 + i 2 .

1.2.2.Найти модуль и аргумент комплексных чисел


а) z = 3 + 3i ; б) z = 3 + 4i ;			в) z = 2 − 7i.

1.2.3.Для z = 2 − 2i3 найти z5и z7 .

1.2.4.Вычислить:

а) 8i ; б)−32i ; в) 3+ 4i ; г) 1− i3 . 1.2.5. Найти все комплексные корни:

а) третьей степени из 1; б) восьмой степени из 1; в) четвертой степени из –1; г) шестой степени из –64; д) третьей степени из i.

1.2.6. В предположении, что количество корней уравнения совпадает с его степенью (корни могут быть кратными), найти все корни уравнений

а) x6 −1= 0; б) x4 + i = 0. 1.2.7. Решить уравнения

а) x3 + x2 + x +1= 0; б) x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 = 0.

Указание: домножить уравнения на x −1.

1.2.8. Найти показательную форму комплексных чисел

а) z = 2; б) z = −1; в) z = i ; г) z = −5i; д) z = 1 + i 3 ;

е) z =	1	− i	3	;	Рис. 10. Задача 1.2.9

2			2

ж) z = − 1 + i 3 ; з) z = 2 + i2 .

1.2.9.Составить неравенства, задающие множества A, B, D,

изображенные на рис. 10.

1.2.10. Нарисовать на комплексной плоскости множества, удовлетворяющие условиям:

а)

< 2;

б)

z −1

> 3;

в)

z + i − 3

<1;

г) arg z < π;

д) π ≤ arg z ≤ π .

1.30. Прикладные задачи по теме «Комплексные числа и операции с ними»

В инженерных исследованиях комплексные числа широко используются в электротехнике при расчете электрических цепей. С помощью этих чисел выполняются алгебраические операции с синусоидальными токами и напряжениями одной и той же частоты, но с различными амплитудами и фазами.

Комплексное число		в показательной форме имеет вид
z = reiα . Если	принять,	что α — переменная величина и
α = ωt + ψ , где t	— переменный параметр; ω и ψ — постоянные

величины, то получим комплексную функцию действительного аргумента t, которую можно представить в виде произведения двух сомножителей z = reiψ eωt .

В электротехнике и физике буква i используется для обозначения электрического тока, поэтому мнимую единицу обозначают так: j = −1. Тогда электрический ток i = Im sin(ωt + ψ) в комплексной форме можно представить в виде

•

i = Ime jψe jωt = Im e jωt ,

где Im — амплитудное значение электрического тока; ω — угло-

вая частота (ω = const ,ω = 2πf , где f		— частота в герцах); ψ —
•		e jψ
начальная фаза тока при t = 0; Im = I	m	e jψ	— комплексная ампли-
	m

туда тока.

Замечание: по существу для тока введена комплексная функция действительной переменной t (t — текущее время). В линейных электрических цепях синусоидальный ток и напряжение не изменяют своей угловой частоты (изменяются только амплитуды и фазы этих величин, т.е. комплексные амплитуды). Поэтому переменный множитель ejωt фактически не участвует в расчетах. Его приписывают в окончательном результате или он сокращается при вычислениях. Поэтому все расчеты проводят с комплекс-

•	•
ными амплитудами тока Im	, напряжениями U m , электродвижущими си-
•

лами Em , т.е. с постоянными комплексными числами. Такой метод расчета называют методом комплексных амплитуд.

В соответствии с общей методологией математического моделирования (см. приложение) реальные электрические системы заменяются в линейном приближении расчетными схемами, содержащими идеальные элементы: источники тока, электродвижущие силы, активные, индуктивные и емкостные сопротивления.

Последовательные соединения указанных сопротивлений заменяют одним комплексным сопротивлением

		1
Z = r + j	ωL −		.

		ωC

Действительная часть любого комплексного сопротивления соответствует активному сопротивлению, на котором электрическая мощность рассеивается в виде тепловой энергии, мнимая часть соответствует реактивному сопротивлению цепи, которое изменяет фазовые соотношения между током и напряжением. Реактивное сопротивление содержит индуктивное сопротивление ( XL = ωL, L — индуктивность) и емкостное сопротивление

( XC = ω , C — емкость).

Комплексные сопротивления при необходимости объединяют в одно сопротивление, используя расчетные формулы, приведенные в таблице

Исходные расчетные схемы	Эквивалентные схемы и формулы

					1
	Z = r + j		ωL −
	Z = r + j		ωL −
					ωC
параллельное соединение	Z =		Z1Z2
параллельное соединение	Z =	Z1		+ Z2
комплексных сопротивлений		Z1		+ Z2
последовательное соединение	Z = Z1			+ Z2
комплексных сопротивлений	Z = Z1			+ Z2
комплексных сопротивлений
						35

Рассмотрим простые примеры расчета электротехнических цепей.

Пример 1. Найти комплексное полное сопротивление в показательной форме участка цепи, состоящего из последовательно соединенных активного сопротивления r = 8 Î ì и индуктивности L = 0,0012 Ãí (генри), если угловая частота синусоидального тока ω = 5000 ñ−1 .

Решение: в общем случае комплексное сопротивление в показательной форме имеет вид Z = Z e jφ .

В нашем случае комплексное сопротивление в алгебраической форме Z = r + jωL = 8 + j5000 0,0012 = 8 + 6 j. Модуль ком-

плексного сопротивления	Z	=	r2 + ω2L2 =10 Î ì .

Аргумент комплексного			сопротивления tgϕ = ωL =	6	=

			r 8

= 0,75 ϕ = 36o50′. Тогда получаем Z =10e j 36o50′ .

Аргумент комплексного сопротивления характеризует в количественной форме сдвиг фаз между током и напряжениям в цепи.

Рассмотрим методику расчета цепи переменного тока мето-

дом комплексных амплитуд.
Пример		2.		Две	параллельно
соединенные катушки					индуктивно-
сти имеют комплексные сопротив-
ления Z1 = 5 + 8 j ,				Z2 = 4 + 4 j . Опре-
делить комплексную амплитуду тока
в цепи (рис. 11, а) при напряжении							Рис. 11. Пример 2
220 вольт.
Решение: определяем полное ком-
плексное сопротивление:
Z =	Z1Z2		= (5 + 8 j)(4 + 4 j) =			−12 + 52 j		≈ 2,3+ 2,72 j .

	Z1 + Z2			5 + 8 j + 4 + 4 j			9 +12 j

Заменяем параллельно соединенные комплексные сопротивления Z1 и Z2 одним сопротивлением (рис. 11, б). Используя закон Ома в комплексной форме, получим комплексную амплитуду тока в алгебраической форме

	•
•			220
Im =	U m	=		≈ 39,88− 47,16 j .
			2,3+ 2,72 j
	Z

Переводим комплексную амплитуду тока в показательную форму. Для этого находим амплитудное значение тока

•

Im = 39,882 + 47,162 ≈ 61,8.

Начальная фаза тока: tg ψ = −47,16 ≈ −1,1825 ψ ≈ −49o48′. 39,88

• •

Комплексная амплитуда тока Im = Im ejωψ ≈ 61,8e− jω49o48′ . Если начальная фаза напряжения равна нулю, то сдвиг фаз

между током и напряжением соответствует начальной фазе тока.

Задачи к разделу 1.30

1.3.1. Найти комплексное сопротивление в показательной форме для участка цепи, состоящего из последовательно соединенных элементов цепи с параметрами:

а) r = 8 Î ì , ñ =1,5 10−9 Ô (фарада);

б) r = 8 Î ì , L = 0,0012 Ãí , ñ =1,5 10−9 Ô .

1.3.2. Найти комплексное сопротивление в показательной

форме для участка цепи, показанного на рис. 12, где L =10−4 Ãí , r = r1 =1 Î ì , r2 = 2 Î ì , ñ = ñ1 = 2 10−9 Ô , ñ2 =10−9 Ô .

Рис. 12. Задача 1.3.2

1.3.3. Найти комплексную амплитуду общего тока в электрической цепи (рис. 12) при электрическом напряжении U = = 220 вольт. Определить сдвиг фаз между током и напряжением.

Требования к практическому усвоению темы «Комплексные числа и операции с ними»

Студент должен знать:

1.Определение комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

2.Перевод комплексного числа из одной формы в другую.

3.Геометрические интерпретации комплексных чисел в виде точек и векторов на комплексной плоскости.

4.Арифметические операции с комплексными числами в различных формах.

5.Извлечение корней произвольной степени из комплексных

чисел.

Студент должен уметь:

1.Переводить комплексные числа из одной формы в другую.

2.Представлять комплексные числа на комплексной плоско-

сти.

3.Выполнять арифметические операции с комплексными числами в различных формах.

4.Извлекать корни из комплексных чисел.

5.Решать квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к

квадратным и уравнения вида aun + b = 0 с действительными и комплексными коэффициентами.

Ответы к задачам темы «Комплексные числа и операции с ними»

1.1.1. а)

z1 + z2 = 3− i ;

z1 − z2 = 3+ i ;

z2 − z1 = −3− i ;

z1z2 = −3i ;

= 3i ;

= −

i; б) z1 + z2 = 5 − 9i ; z1 − z2 = −5 +15i; z2 − z1 = 5 −15i ;

z1z2 = 36 +15i ;

= −4 −

i; в) z1 + z2 = 6; z1 − z2 = 8i;

z2 169 169

z2 − z1 = −8i ; z1z2

= 25;

= −

−

i; г) z1 + z2 = 6 − 7i ;

25 25

z1 − z2 = −2 + 21i;

z2 − z1 = 2 − 21i;

z1z2

=106;

= −

i ;

106 53

= −

−

i ;

д) z1 + z2 = 8 − 8i ;

z1 − z2 = −2 +16i ;

z2 − z1 = 2 −16i ;

z1z2 = 63−16i ;

= −

−

i ;

е) z1 + z2 =1;

169

z1 − z2 =

; z2 − z1 = −

; z1z2 =1;

= −

i ;

= −

−

1.1.2. а) 34; б) −679 − 594i; в) −

+ 2i; г) −

315

154

i; д)

386

1.1.3. x =

; y =

1.1.4. а) z1,2 = 2 ± i; б) z1,2

= −

i ; в) z1 = 2; z2 = i.

1.1.5. а)

= 4i; x = −4i ;

б)

= −2 + i; x = −2 − i;

в)

x =

x1 = x2 = i; x3 = x4 = −i;

x2 =

2 +

2i ;

г)

x1,2 = ±2i;

x3,4 = ±3i;

д)

е) x1 = x2 = 2i; x3 = x4 = −2i; x5 = x6 = x7 = x8 = x9 = 0.

1.2.1.

а)

z = 2(cos0 + isin0);

б) z = cosπ + isin π;

в)

z = cos π +

; г)

3π

;

; е) z = cos

+isin

z =

5 cos

+ isin

д)

z = cos

+ isin

−

2π

+isin

−

; ж)

z = cos

+ isin

; з)

z =

cos

+ isin

3; arg z = π ;б)

1.2.2. а)

= 2

= 5; arg z = arcsin

;в)

53 arg z =

= −arcsin

1.2.3. z5 = 512 + i512

z7 = 8192 − i8192

3 ,

3 .

= ±(

2 + 2i);

= ±(

4 − 4i);

1.2.4. а)

б)

−32i

в)

3+ 4i =

= ±(2 5 + i 5);г) 1− i 3 = ±

− i

1.2.5. Найти все комплексные корни:

а) w =1;w = −

i ; б) ±1; ± i; ±

i ;

1,2

в) ±

i; г) ±2(

+ i); ± 2i; ± 2(i −

); д) −i; ±

;

1.2.6. а) ±1; ±

;

−

2 + 2

2 −

б) ±

+ i

;

1.2.7. а) −1; ± i; б) −1; ± 1 ±



			2 − 2		2 −	2
	±			+ i			.
	±		2	+ i	2		.
			2		2

	3	i.
		i.
2

3πi

πi

z = 2e0 ;

б) z = eiπ ; в)

1.2.8. а)

z = e2 ;

г)

z = 5e 2 ; д)

z = e 3 ;

− πi

2πi

е) z = e 3 ; ж) z = e 3 ; з) z = 2e4 .

1.2.9. A = {z |z C, −1,5 ≤ Re z ≤ 0, Im z ≥ 0};

{

}

;

B =

z |z C,

z − 3

≤ arg z

≤

≤1

; C = z |z C,0

1.2.10.

Рис. 13. Решение задачи 1.2.10

Тема 2: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Центральной задачей линейной алгебры является решение систем линейных уравнений с конечным числом неизвестных. Такие системы уравнений широко встречаются в задачах строительной механики, теоретической электротехнике, теории автоматического управления.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вводятся новые математические объекты (определители, матрицы, векторы) и алгебраические операции с ними. Умение выполнять алгебраические операции с указанными математиче-

Рис. 14. Определитель

скими объектами и решать СЛАУ с их использованием является одной из основных задач изучения данного раздела высшей математики.

2.10. Определители: вычисление и применение

Определе ние: Определитель n-го порядка — это математический объект, представляющий число, вектор или функцию в виде квадратной таблицы, содержащей по n элементов в каждой строке и каждом столбце (рис. 14).

Число строк (столбцов) в определителе определяет его порядок. Элементами в определителе могут быть действительные или комплексные числа, а также функции.

aij — элемент определителя (i — номер строки, j — номер

столбца).

Представление векторов и числовых функций с помощью определителей существенно повышает компактность записи математических соотношений и является эффективным способом сокращения вычислений.

Определе ние: Определителем второго порядка называется математический объект вида

a11 a12	= a a − a a .
a21 a22	11	22	12	21
a21 a22

Левая часть равенства является свернутой (табличной) формой определителя. Правая часть представляет собой определитель в развернутой форме и одновременно правило вычисления определителя в символьной форме.

Примеры: 1)				2	4		= 2 (−3)− 4 1 = −6 − 4 = −10;
				1	−3
2)	1	i	=1 1− i i =1−			(	−1 = 2;
2)	1	i	=1 1− i i =1−				−1 = 2;
	i	1					)
	i	1

3)x +1 x −1 = (x +1)2 − x(x −1) = 3x +1. x x +1

Определе ние: Определителем третьего порядка называется математический объект, представленный в виде

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 −

a31 a32 a33

− a13a31a22 − a12a21a33 − a23a32a11.

Развернутую форму представления определителя третьего порядка в правой части равенства запоминать не нужно. Ее можно записать и при необходимости вычислить, используя следующие правила:

1)правило треугольников (правило Саррюса);

2)правило дополнительных столбцов;

3)правило разложения по элементам строки или столбца. Сущность правила треугольников легко понять, запомнить и

использовать согласно схеме (рис. 15).

Для запоминания правила дополнительных столбцов также удобно использовать мнемоническую схему (рис. 16).

Рис. 15. Правило треугольников

Рис. 16. Правило дополнительных столбцов

Замечание. Элементы, перечеркнутые по диагонали, перемножаются. В результате получаем одночлены, которые суммируются или вычитаются согласно схеме.

1 2 3

Пример. Вычислить определитель 4 5 6 .

7 8 9

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20222.21 Mб1580.pdf
#
06.12.20222.21 Mб4581.pdf
#
06.12.20222.21 Mб1582.pdf
#
06.12.20222.22 Mб0583.pdf
#
06.12.20222.23 Mб17584.pdf
#
06.12.20222.25 Mб0585.pdf
#
06.12.20222.26 Mб4586.pdf
#
06.12.20222.29 Mб2587.pdf
#
06.12.20222.31 Mб2588.pdf
#
06.12.20222.32 Mб3589.pdf
#
06.12.20222.33 Mб2590.pdf