585

Проведенные преобразования, при которых расширенная матрица приводится к ступенчатому виду, называются прямым ходом Гаусса.

Второй этап преобразований, при котором матрица коэффициентов в составе расширенной матрицы приводится к единичной матрице, называется обратным ходом Гаусса.

Следовательно, x1 =1, x2 = −1, x3 = 2, x4 = 0.

Задачи к разделу 2.50

2.5.1. Решить системы уравнений методом Гаусса

84

2.5.3. Решить системы методом Гаусса-Жордана

2.5.4.Решить системы из задачи 2.5.1 методом Гаусса-

Жордана.

2.5.5.Решить системы методом Гаусса

2.60. Решение однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений

СЛАУ называется однородной, если матрица-столбец свободных коэффициентов является нулевой.

В матричной форме однородная СЛАУ имеет вид A X = O . Однородная система всегда совместна, так как она всегда

имеет тривиальное решение X = O .

Если в системе линейных уравнений A X = O число уравнений больше числа неизвестных, то СЛАУ имеет бесконечно много нетривиальных решений.

Среди бесконечного множества решений можно выделить конечное число линейно независимых решений, которые в совокупности образуют фундаментальную систему решений.

Вопрос об общем количестве фундаментальных решений позволяет решать следующая теорема:

Если ранг матрицы коэффициентов однородной СЛАУ меньше числа неизвестных (r( A) < n), то эта система уравнений имеет фундаментальную систему из n − r( A) решений.

Если фундаментальная система решений известна, то общее решение однородной СЛАУ можно представить в виде линейной комбинации фундаментальных решений:

X0 = c1X0(1) + c2 X0(2) + ...+ ck X0(k) ,

85

где c1, c2 , ..., ck – произвольные постоянные; X0(1) , X0(2) ,..., X0(k) – фундаментальные решения СЛАУ.

Для нахождения фундаментаных решений однородной СЛАУ используют следующий алгоритм:

Пусть дана однородная система, содержащая n неизвестных и m уравнений.

1. По заданной СЛАУ выписываем матрицу коэффициентов,

приводим матрицу к ступенчатому виду и определяем ее ранг r( A).

2. При r( A) < n по ступенчатой матрице записываем эквивалентную СЛАУ.

3.Выбираем базисные и свободные неизвестные. Выбор этих неизвестных неоднозначен; однозначным является лишь количество базисных неизвестных, оно равно рангу матрицы A. Определитель, составленный из коэффициентов при базисных неизвестных, не должен быть равен нулю.

4.После выбора базисных неизвестных их выражают через свободные неизвестные, используя эквивалентную систему уравнений.

5.Находим фундаментальные решения по эквивалентной системе уравнений, поочередно задавая одной свободной неизвестной единичное значение, а остальным свободным неизвестным – нулевые значения.

6.Записываем общее решение однородной СЛАУ через фундаментальные решения с заменой свободных неизвестных на произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение однородной СЛАУ и выразить его через фундаментальную систему решений

3x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 0

6x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 = 09x1 + 6x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 0.

Решение: 1. Приводим матрицу коэффициентов к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования.

86

Подставляем найденные корни x1 = 2, x2 = −9, x3 = 4, x4 = x5 =1 в одно из уравнений, не входящее в эквивалентную систему: 9 2 + 6 (−9) + 5 4 + 7 1+ 9 1= 0, убеждаемся в правильности ре-

шения.

Пример 2. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений

2x + 7y + 3z + t = 03x + 5y + 2z + 2t = 09x + 4y + z + 7t = 0

и ее общее решение Решение: Методом, изложенным выше, переходим к системе

первым вектором фундаментальной системы решений будет век-

88

числа.

Задачи к разделу 2.60

2.6.1. Для данных систем линейных однородных уравнений найти фундаментальные системы решений и общие решения. Указать какие-либо частные решения.

2.6.2. Для данных систем линейных однородных уравнений найти фундаментальные системы решений и общие решения. Указать какие-либо частные решения.

2.6.3. Для данных систем линейных однородных уравнений найти фундаментальные системы решений и общие решения. Указать какие-либо частные решения.

2.6.4. Системы линейных уравнений можно использовать для составления уравнений химических реакций. Введя неопределенные коэффициенты и приравнивая количества атомов справа и

89

слева для каждого элемента в отдельности, составить систему уравнений и, решив ее, составить уравнения химических реакций

а) K2 Cr2 O7 + H2 SO4 → CrO3 + KHSO4 + H2 O;

б) Cr(NO3 )3 + Na2 S+ H2 O → Cr(OH)3 + H2 S+ Na NO3 .

2.70. Решение неоднородных СЛАУ

Неоднородная СЛАУ в матричной форме имеет вид AX = B . В случае совместной системы ее общее решение можно представить в виде X = X0 + X1 , где X0 – общее вешение соответствующей однородной системы AX = O; X1 – частное решение неоднородной СЛАУ.

Базисным решением неоднородной СЛАУ называется ее частное решение, в котором все свободные неизвестные приняты равными нулю.

Пример. Найти общее решение неоднородной СЛАУ в виде суммы базисного и фундаментального решений

5x + 9y −10z − 9t = 0

Решение: приводим расширенную матрицу СЛАУ к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Ранги матрицы и расширенной матрицы совпали, следовательно, система имеет решения. Исходная СЛАУ равносильна следующей:

90

Рассмотрим соответствующую однородную систему:

x + 2y − 3z − 2t = 0y − 5z − t = 0 .

Используя рассмотренный ранее алгоритм, найдем фундаментальную систему решений однородной СЛАУ. В качестве базисных неизвестных выберем x, y ; выразим базисные неизвестные через свободные:

y = 5z + t

x = −7z ;

Находим базисное решение неоднородной СЛАУ, полагая z = t = 0 в системе (*):

Из системы находим x = −9; y = 5, значит, X1 = (−9, 5, 0, 0) и

X = c1 (−7, 5, 1, 0) + c2 (0,1, 0,1) + (−9, 5, 0, 0).

Задачи к разделу 2.70

2.7.1. Исследовать совместность и найти общее решение систем уравнений.

91

2.80. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов

Определе ние: n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность действительных чисел a = (a1, a2 , ..., an ). Числа a1, a2 , ..., an называются координатами вектора.

Замечание. Введенные векторы являются алгебраическими (арифметическими). Они имеют много общих свойств и операций с геометрическими векторами, которые рассматриваются как направленные отрезки прямых. Вместе с тем для геометрических векторов определены операции

исвойства, которыми алгебраические векторы не обладают.

Винженерных задачах n-мерные векторы используют при технико-экономических расчетах, при оптимизации технологических процессов и т.д.

Прикладной пример использования n-мерного вектора: вектор цен комплекта запасных деталей для ремонта автомобиля

a= (a1, a2 , ..., an ), где a1 – цена детали № 1; a2 – цена детали № 2

ит.д.

Определе ние: Векторы a = (a1, a2 , ..., an ) и b = (b1, b2 , ..., bn ) называются равными, если равны их соответственные координа-

a = (a1, a2 , ..., an ), называется вектор −a = (−a1,−a2 , ..., − an ). Определе ние: Множество всех n-мерных векторов, для

которых определены операции сложения и умножения на число, называется n-мерным векторным пространством (число n называется размерностью векторного пространства).

Определе ние: Вектор b = (b1, b2 , ..., bn ) n-мерного векторного пространства называется пропорциональным вектору a = (a1, a2 , ..., an ), если найдется число k такое, что b = ka .

92