Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

585

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.12.2022

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

2.2.6. AD = (−4 2),		1	3	1	3	1	,
	BG =	0	0	0	0	0

							6	0	−9	0	3
2		10	−1 −4 1		,		−4	5	7	−2	−2
CB =	6	20	−5 −8	3	,	DB =	0	20	4	−8	0	,
	6	20	−5 −8	3			0	20	4	−8	0
							−2	10	5	−4	−1
							−2	10	5	−4	−1

	12	9		16	6
	−6	−5		16	6
DC =	−6	−5	, FD =	8	6	. 2.2.7.	AC = (1− 5i 1− 2i −4 + 9i),
	8	4
	8	4		32	−6
	0	−1		32	−6
	0	−1

AD = (1− i 3− 7i),

AF = 28 − 9i,

AG = (0 4 + 2i 3 − 5i 1− i),

BC =

−3i 5 + 2i

2 + i

−5

BF =

1+ 7i

−1

0 −1

−3 − 4i

−1+ i

1− 2i

2 + 2i

3+ 5i

BG =

, CD

−1− 2i 1+ 2i

, CF =

−3i

−i

−1

−2 − i

−i

−9 −10i

2 −i

3 + 4i

1+ 2i

−3 + 6i

CG =

−2 − i

−1 2i

DB =

−1

;

−1

−3

−i −2 −1

−1+ 2i

2 − 3i

11+16i

3 + 2i

0 0

FA =

26 − 7i

. 2.2.8.

а)

AB = BA =

−8 0

;

−3 − 4i

4 − 3i

−2 + 5i

0 15

при перемножении диагональных матриц снова получается диагональная матрица; умножение диагональных матриц перестановочно;

		2 13			8			2		−6	1				2	0 0
б) AB =				−6			, BA =			−6	−22			AB =		−6 0
б) AB =			0	−6	−22		, BA =		0	−6	−22	;	в)	AB =	10	−6 0	,
			0 0		15				0	0	15				−29	36 15
			0 0		15				0	0	15				−29	36 15
		2		0	0
BA =	−11			−6
BA =	−11			−6	0	;
	−9			−15	15
	−9			−15	15

при перемножении треугольных матриц снова получается треугольная матрица; умножение треугольных матриц не перестановочно.

103

																							10					4						−5		−10
		2.2.10. A2 −5A+ 6E =																					1					8						0			−5
		2.2.10. A2 −5A+ 6E =																					1					8						0			−5		. 2.2.11. n = 4, m = 2.
																						−10						0						8		4
																							−5				−10							1		10
																							−5				−10							1		10
												1					0
																						1			−2										15				−2								−i					0
												2										1			−2					;			в)		15				−2				;			г)	−i					0		;
		2.3.1. а)										2						; б)												;			в)			−7 1							;			г)		0						;
																	1						0		1											−7 1												0				i
												0
												0					5
																	5
				1						2								−6 + 5i											4 − 3i																1		0 0
		−			i				−			i
																																													2

				7						7											4										4
д)				7						7				;				е)			4										4				. 2.3.2. а)										0		1				0	;
				3					1									5		− 4i								−3+				2i
		−		3					1									5		− 4i								−3+				2i															3
					i						i
				7	i				7		i										4																														1
				7					7												4										4																				1
																																													0		0
																																													0		0				4
																																																			4
		1 −					2			−		3																										1		−			5		0
																					1				0 0
																					1				0 0
							5			10																																	2
б)		0				1				−		3			;			в)	−			4				1					0	;				г)		0				1			0		;
б)		0			5					−					;			в)	−						5						0	;				г)		0			2				0		;
					5							5									5				5																2
												1										3					4 1																		1
												1										3					4 1																		1
		0 0																	−						−													0 0
		0 0																	−		10				−		5 2											0 0							3
												2									10						5 2																		3
		3					−		1			−				1				−		16					8					7											1					9				−		7

		4							4							4							9				9					9									40						40							40
		4							4							4							9				9					9									40						40							40
д)		−		1 3								−				1	;	е) 14								−		7			−			5	;		ж)				−		13					3					11 ;

				4 4												4						9						9						9									40				40					40
				4 4												4						9						9						9									40				40					40
				1					1			3											1				2					1									17							7				1
		−		1			−		1			3									−		1				2					1									17						−	7				1

				4					4														9				9
				4					4				4										9				9					9								40									40 40
	−		1					2				0									1		+	2	i						0								0										−	i		−		1 5i


	5							5													5 5							2						3														2						6 24
з)	−		2				−	11				2			.2.3.3. а)								0					2			+			3	i				0					;б)				0				−		i	1		.
			5						5
																																																						3 6
																												13 13																										3 6
			3						4																												3			4																i
			3						4																												3			4																i
	−		5				−		5			1											0								0							+					i					0					0 −			4
			5						5																												25 25																			4

104

2.3.4. При отсутствии навыков быстрого устного счета наиболее рациональным способом является метод элементарных преобразований

											1	− 2			1				4

											3			9		27 81
1 0		0	0		1 −2 13			−6			3			9		27 81
													1					2		1
а)	0 1	−5	0	;	б)	0 1	−5	1	;	в)	0	3			− 9 27							;
	0 0	1	0			0 0	1	0									1				2
											0	0					1		−		2
	0 0	0	1			0 0	0	1			0	0			3				−
	0 0	0	1			0 0	0	1							3						9
																			1
										0		0			0
										0		0			0				3
																			3

																							−		2	1			1				1
	−		1				1						1				1
			1				1						1				1								3	3			3				3

			2 2										2				2
			2 2										2				2					1				−		2	1					1
	1						−		1				0				0
	1								1											; д)			3					3	3				3				;

г)	2						2
	2						2																	1		1						2		1
		1												1															−
								0 −									0

	2																						3			3
	2												2										3			3			3					3
	1																	1						1			1			1			−		2
	1						0						0				−	1						1			1			1					2
																							3			3			3
	2
	2																2																		3
	−				5					−		1			2					0

					3							3			3
					3							3			3
	−					7				−		2				4				−1											25					13
е)	−				3					−		3			3					−1		. 2.3.6. а)							x =				; y =					; б) x = 3; y =1;


				26							10										17								7								7
	−			26					−		10				6				−		17
	−								−						6				−
					3							3								3
			2				1								−		1			1

			3				3										3			3
			3				3										3			3

в) x =1,82; y = 2,34; г) x = 3i ; y = 5 ; д) x = 79 − 109 i; y = −16 − 21i.


	2	2							82				82			41				41
2.3.7. а) x = 0; y = 2; z = −1;		б) x1 = 7; x2							= x3 = −5;
в) x = 3; y = 2; z =1;	г) x = −		99	−	28		i; y = −					86	+		12		i; z =1+ i.
					29
		29							29				29
2.3.8. а) x =1; y = 2; z = 3; t = 4; б) x =						7		; y =		4	; z =			1		; t = −		2	.

					3				3				3			3
2.4.1. а) Rang =1;	б) Rang = 2;				в) Rang = 3.
2.4.2. а) Rang = 2;	б) Rang = 4;				в) Rang = 2.
2.4.3. а) Rang = 2;	б) Rang = 2;				в) Rang = 2.

105

2.4.4. а) λ = 3. Указание: существуют миноры второго порядка с отличным от нуля определителем, поэтому достаточно приравнять определитель матрицы к нулю и решить полученное уравнение;

б)	2	4	= −28 ≠ 0, значит, ранг матрицы равен двум или трем. Рас-
	6	−2

																								7					2						4											7					2			4
смотрим					окаймляющие									миноры:											−1				6								−2				=		−22								0			−14		= 0;
																								4								−2			3											11					0			7
	3	2		4			3		2		4		= 0;				8		2					4											8							2				4
	3	2		4			3		2		4						8		2					4											8							2				4
	5 6 −2					=	−4 0 −14										λ 6 −2													=				λ − 24								0 −14										=
	−1 −2 3						2 0 7										4 −2 3																		12							0 7
= −2			λ − 24 −14					= −14λ .
= −2			λ − 24 −14					= −14λ .
			12		7
		Чтобы ранг матрицы был равен двум, необходимо λ = 0.
		2.4.5. а) система несовместна;																	б) система несовместна.
		2.5.1. а) x = 0;							y = 2; z = −1;										б) x1 = 7; x2																		= x3 = −5;
		в) x = 3; y = 2; z =1.
		2.5.2. а) x =1; y = 2;									z = 3; t = 4; б) x =																	7			; y =						4	; z =						1			; t = −						2		;
		2.5.2. а) x =1; y = 2;									z = 3; t = 4; б) x =																				; y =							; z =									; t = −								;
		в) x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 0;																						3											3							3									3
		в) x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 0;																	г) x = −2; y = 5; z = 0;u = 4;v = 8.
		2.5.3. а) x = 5; y = 4; б) x =														25		; y =			13					; в) x =										53			; y =							13				.
		2.5.3. а) x = 5; y = 4; б) x =																; y =								; в) x =													; y =											.
														7					7																19							19
		2.5.5.			а) x = 0; y = −1;									б)				x = −				7				−			7				i; y =						17			−			17				i ;		в)				система
		2.5.5.			а) x = 0; y = −1;									б)				x = −								−							i; y =									−							i ;		в)				система
																			10										10						5							10
несовместна; г) x = −										97	−	33			i; y = −					14			+				64					i;z = −								31			−					53			i.
несовместна; г) x = −											−				i; y = −								+									i;z = −											−								i.
									116		116								29					29											116											116
		2.6.1. а) Ранг матрицы системы равен 1. Если принять переменные y и

z за свободные неизвестные, то фундаментальная система решений состоит

из векторов X0(1)			= (3;1;0) и X0(2) = (−2;0;1). Общее решение имеет вид
X = αX	(1) + βX	(2)	, где α,β – произвольные коэффициенты; б) Ранг матри-
	0	0

цы системы равен 2. Если принять переменную z за свободную неизвестную, то фундаментальная система решений состоит из единственного век-

тора X0(1) = (1;− 2;1). Общее решение имеет вид X = αX0(1), где α – произ-

вольный	коэффициент; в) СЛАУ	имеет	единственное	решение
x = y = z = 0. Фундаментальной системы решений нет.
2.6.2. а) Ранг системы равен 2. Если принять переменные				z,u,v за

свободные неизвестные, то фундаментальная система решений будет со-

106

2x, а в

1	1		19			2		6	1
стоять из векторов X0( ) =		;−		;1;0;0	,	X0( ) =	−			;0;1;0 и
									;

	5		20					5	5

X0(

)

;−

;0;0;1 ,

а общее

решение

имеет

вид

X = αX

0( ) +

+βX

(2) + γX

(3), где α,β,γ – произвольные коэффициенты; б) Ранг системы

равен 1. Если принять переменные

y, z,u,v за свободные неизвестные, то

фундаментальная

система

решений

будет

состоять из

векторов

X0(1)

= (2;1;0;0;0),

X0(2) = (−3;0;1;0;0),

X0(3) = (4;0;0;1;0)

X0(4)

= (−5;0;0;0;1)

общее

решение

имеет

вид

X = αX0(1) + βX0(2) +

+γX

(3) + δX

(4), где α,β,γ,δ – произвольные коэффициенты.

2.6.3. а) Ранг системы равен 2. Если принять переменную z за свободную неизвестную, то фундаментальная система решений будет состо-

		1	32		23			4		6
ять из одного вектора X		0( ) =	32	+	23		−	4	−	6	i;1 , а общее решение име-
						i;
						i;
			7		7			7		7
ет вид X = αX (1), где α – произвольный коэффициент; б) Ранг системы
0
равен 3. Если принять переменные x,t, v									за свободные неизвестные, то
фундаментальная	система		решений					будет				состоять из векторов
X0(1) = (1 i;0;0;0;0),	X0(2)	= (0;4;1− i;1;2i;0)							и	X0(3) = (0;0;−1;0;1+ i;1) а об-
щее решение имеет вид		X = αX		(1)	+ βX		(2) + γX					(3), где α,β,γ – произволь-
			0				0					0

ные коэффициенты.

2.6.4. а) Пусть коэффициенты равны x, y, z,t,u соответственно:

xK2 Cr2 O7 + y H2 SO4 = zCrO3 + t KHSO4 + u H2 O.

Тогда количество атомов калия в левой части уравнения равно правой — t; поэтому 2x = t или 2x − t = 0

Приравнивая количество атомов хрома в левой и правой частях уравнения, получим 2x − z = 0.

Для кислорода: 7x + 4y − 3z − 4t − u = 0. Для водорода: 2y − t − 2u = 0. Для серы: y − t = 0.

Запишем полученную СЛАУ:

2x − t = 0

		2x − z = 0
		2x − z = 0

	7x + 4y − 3z − 4t − u = 0.
		2y − t − 2u = 0
		2y − t − 2u = 0
		y − t = 0
		y − t = 0

107

Среди решений системы нужно найти такое, чтобы значения неизвестных были натуральными числами и, желательно, взаимно простыми.

Из первых двух уравнений следует, что z = t , а из последнего – y = t . Упростим систему:

	2x − y = 0

7x − 3y − u = 0.
	y − 2u = 0
	y − 2u = 0

		Из первого и последнего уравнений системы следует, что x = u ;
							2x − y = 0
						6x − 3y = 0.
		Ранг последней системы равен 1; полагая						y =1, получим x =	1	. Учи-
		Ранг последней системы равен 1; полагая						y =1, получим x =		. Учи-
тывая условия z = t ,								2
тывая условия z = t ,						y = t , x = u , получим, что фундаментальная система
решений				исходной		системы	состоит из	единственного вектора
	1		1	1				1
	1							X = αX0( ), где α — произ-
X	0( ) =			1;1;1;	, общее решение имеет вид
X	0( ) =			1;1;1;	, общее решение имеет вид
		2		2

вольный коэффициент. Подберем значение коэффициента α так, чтобы значения всех неизвестных стали целыми числами; в данной задаче это очень просто: α = 2. Нужное нам частное решение имеет вид X0 = (12;2;2;1) и уравнение реакции выглядит так:

K2 Cr2 O7 + 2H2 SO4 = 2CrO3 + 2KHSO4 + H2 O ;

б) 2Cr (NO3 )3 + 3Na2 S+ 6H2 O = 2Cr (OH)3 + 3H2 S+ 6 Na NO3 ; 2.7.1. а) X = α(11;− 4;1;0)+ β(13;− 5;0;1)+ (2;0;0;0);

б) X = α(1;− 3;1;0)+ β(1;− 2;0;1)+ (1;1;0;0);

			13 3					23		3	3		5
в) система несовместна;	г)	X = α			;		;−		;1	+	;	;−		;0	.

			8			4		8		4	2		4
2.8.1. а) зависимы; б) зависимы;				в) зависимы;						г) независимы;

д) зависимы.

2.8.2.а) любые два вектора из данных трех образуют базис; б) любые три вектора из данных четырех образуют базис; в) любые четыре вектора из данных пяти образуют базис.

2.8.3.а) базис; б) не базис; в) не базис; г) не базис; д) базис; е) не базис; ж) не базис.

2.8.4.а) не базис; б) базис.

1 1

2.8.5.а)b = 3a1 + a2 ; б) b = − 2 a1 + 2 a2 ; в) b = 3a1 + 2a2 + a3 ;

г) b = 2a + 3a + 4a ; д) b = −			2	a +	1	a		+	4	a +	7	a .
			3								3
1	2	3		1	3		2	3		3		4

108

Требования к практическому усвоению темы «Линейная алгебра»

Студент должен знать:

1.Определение определителя и его основные свойства. Способ вычисления определителя второго порядка, способы вычисления определителей третьего порядка (правило треугольников (Саррюса), разложение по элементам строки или столбца).

2.Вычисление определителей четвертого и более высоких порядков приведением их к треугольному виду.

3.Способ решения неоднородных систем линейных алгебраических уравнений с помощью определителей (формулы Крамера).

4.Определение матрицы, виды матриц. Основные операции с матрицами и их свойства. Элементарные преобразования матриц.

5.Обратная матрица: определение, способы вычисления.

6.Способ решения СЛАУ с помощью обратной матрицы.

7.Ранг матрицы: определение и способы вычисления (с помощью окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований).

8.Определение совместности СЛАУ с использованием теоремы Кронекера-Капелли.

9.Способы решения произвольных совместных СЛАУ с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы (методы Гаусса и Гаусса-Жордана).

10.Решение однородной СЛАУ с использованием фундаментальной системы решений.

11.Решение неоднородной СЛАУ с использованием общего решения однородной СЛАУ.

12.Определение векторного пространства и линейной зависимости и независимости векторов в этом пространстве.

13.Базис векторного пространства. Разложение вектора по

базису.

Студент должен уметь:

1.Вычислять определители второго порядка; вычислять определители третьего порядка тремя способами.

2.Вычислять определители четвертого и пятого порядков приведением к треугольному виду с использованием контрольного столбца.

109

3.Определять условия возможности решения и находить решение СЛАУ по формулам Крамера.

4.Выполнять линейные операции с матрицами; умножать матрицы и транспонировать их; производить элементарные преобразования матриц и проверку правильности преобразований с помощью контрольного столбца.

5.Вычислять обратную матрицу двумя способами.

6.Определять условия возможности решения и находить решение СЛАУ с помощью обратной матрицы.

7.Вычислять ранг матрицы двумя способами (способом окаймляющих миноров и приведением матрицы к ступенчатому виду), использовать для проверки контрольный столбец.

8.Определять совместность произвольной СЛАУ сравнением рангов матрицы коэффициентов и расширенной матрицы.

9.Использовать методы Гаусса и Гаусса-Жордана для решения произвольных СЛАУ или определения их несовместности.

10.Находить фундаментальные решения однородной СЛАУ

ииспользовать их для определения общего решения СЛАУ.

11.Находить общее решение неоднородной СЛАУ с использованием базисного решения и фундаментального решения однородной СЛАУ, соответствующего исходной СЛАУ.

12.Проверять, являются ли векторы линейно зависимыми, определять, образует ли базис заданная система векторов.

13.Находить координаты вектора в «новом» базисе, если известны координаты вектора в «старом» базисе.

Тема 3: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

В векторной алгебре изучаются геометрические векторы как направленные отрезки прямых, в которых определены начальные

иконечные точки. Такое представление векторов позволяет дать наглядную геометрическую интерпретацию важнейшим физическим величинам (скорости и ускорения точек, силы, моменты сил

ит.д.). Большинство физических законов представляется в векторной форме. Поэтому хорошо усвоенные навыки владения основными операциями с геометрическими векторами являются существенно необходимыми для понимания и осмысленного запоминания современных вузовских курсов физики, теоретиче-

110

ской механики, теоретической электротехники, сопротивления материалов и т.д.

3.10. Общие сведения о геометрических векторах

При математическом описании геометрических векторов совмещают алгебраические и геометрические методы.

В математике используются свободные векторы и векторы с фиксированной начальной точкой (радиус-векторы).

Определе ние: Свободным называют геометрический вектор, который можно переносить параллельно самому себе в любую область пространства.

С позиции линейной алгебры геометрический вектор – это математический объект, заданный в векторном пространстве упорядоченным набором трех действительных чисел a = (a1,a2,a3 ). Эти числа яв-

ляются коэффициентами в разложении вектора a по ба-

r	r	r	} и называются
зису {e1	,e2	,e3	} и называются

координатами вектора в указанном базисе. При этом вектор a можно единственным образом разложить по заданному базису в виде

Рис. 21. Вектор как геометрический объект

a= a1e1 + a2e2 + a3e3 .

Спозиции геометрии геометрический вектор – это направ-

ленный отрезок, который характеризуется (рис. 21): а) линией действия; б) направлением действия;

в) начальной и конечной точками вектора; г) модулем (длиной) вектора AB = AB.

Все определения и теоремы, справедливые для алгебраических (арифметических) векторов, справедливы и для геометрических векторов той же размерности. Обратные утверждения справедливы не всегда.

Рис. 22. Равенство векторов

111

Введем определения векторов, часто используемые при решении задач.

	Определе ние: коллинеарны-
	ми	называются векторы, линии
	действия которых совпадают или
	параллельны;
	Эти векторы могут иметь оди-
	наковые направления (быть сона-
		r	↑↑ b , рис. 23) или
	правленными a
	быть противоположно направлен-
		r	Если существен-
Рис. 23. Пример: сонаправленные	ными (a ↑↓ b).
	ным	является	только параллель-
векторы скоростей точек тела
	ность линий действия, то исполь-
при его поступательном
непрямолинейном движении			r
	зуется условное обозначение a \|\| b .

Определение: векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называются компланарными.

Определе ние: Свободным называется геометрический вектор, который можно переносить параллельно самому себе в любую область пространства. Иными словами, два свободных вектора считаются равными, если один из них можно получить из другого параллельным переносом (см. рис. 22).

Определе ние: Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается 0.

Определе ние: Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

3.20. Декартовы системы координат с ортонормированным репером

Пространство геометрических векторов V3 является важным частным случаем n-мерного векторного пространства.

В трехмерном пространстве V3 геометрических векторов любые три линейно независимых вектора образуют базис. Если объединить трехмерное пространство V3 геометрических векторов и точечное координатное пространство R3, то получим трехмерное аффинное пространство. В этом пространстве свободные векто-

112

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20222.21 Mб1580.pdf
#
06.12.20222.21 Mб4581.pdf
#
06.12.20222.21 Mб1582.pdf
#
06.12.20222.22 Mб0583.pdf
#
06.12.20222.23 Mб17584.pdf
#
06.12.20222.25 Mб0585.pdf
#
06.12.20222.26 Mб4586.pdf
#
06.12.20222.29 Mб2587.pdf
#
06.12.20222.31 Mб2588.pdf
#
06.12.20222.32 Mб3589.pdf
#
06.12.20222.33 Mб2590.pdf