Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

585

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
06.12.2022
Размер:
2.25 Mб
Скачать
☆

Раскрывая определитель, получим общее уравнение плоскости 2x + y − z − 5 = 0.

Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости:

d =

 

Ax0

+ By0 + Cz0

+ D

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 + B2 + C2

 

 

 

2 4 +1 3 −1 0 − 5

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

d =

 

 

 

 

=

 

= 6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

6

 

 

 

 

2

2

+

2

+ −1

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи к разделу 4.20

4.2.1. Дано общее уравнение плоскости 5x − 6y − 2z + 30 = 0. а) составить уравнение этой плоскости «в

отрезках»; б) построить эту плоскость в системе ко-

ординат.

4.2.2.Составить уравнение плоскости, изображенной на рис. 62.

4.2.3.В пространстве задана точка

A(3; 4; 5):

 

 

 

 

Рис. 62. Задача 4.2.2

 

а) составить уравнение плоскости, прохо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дящей через эту точку перпендикулярно вектору a = (1; 2; 3);

 

 

 

б) составить уравнение плоскости, проходящей через эту

точку параллельно векторам a = (1; 2; 3) и b = (4; 5; 6);

 

 

 

 

 

 

 

в) составить уравнение плоскости, про-

 

 

ходящей через точки A

(

3; 4; 5

)

и

B

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

0; 1; 1

 

 

параллельно вектору a = (1; 2; 3);

 

 

 

 

 

 

 

г) составить уравнение плоскости, про-

 

 

ходящей через точки

A

(

3; 4; 5

)

и

B

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

0; 1; 1

 

 

перпендикулярно вектору a = (1; 2; 3);

 

 

 

 

д) составить уравнение плоскости, про-

Рис. 63. Задача 4.2.4

 

 

(

)

 

 

(

 

)

 

ходящей через точки

A 3; 4; 5

 

, B 0; 1; 1

 

и

(

)

 

 

C 1; 0; 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2.4. Составить уравнения плоскостей,

 

 

изображенных

 

на

рис. 63.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

163

4.2.5. В плоскости XOY задана прямая 2x – y + 5 = 0.

а) составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и точку A(3; 4; 5);

б) составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно оси OZ .

4.2.6. Найти угол между плоскостями а) 5x − 6y − 2z + 30 = 0 и 6x + 5y − 7 = 0;

б) x − 4y − 8z +12 = 0 и x + 20y + 7z − 62 = 0.

4.2.7. Плоскость, проходящая через точку A(3; 4; 5), отсекает

на осях координат отрезки равной длины. Найти объем пирамиды, ограниченной этой плоскостью и координатными плоскостями.

4.2.8. В пространстве заданы четыре точки A(1; 1; 0), B(0; 1; 1);

C (1; 0; 1); D(3; 4; 5). Сколько существует плоскостей, равноуда-

ленных от этих точек? Составить уравнения одной из таких плоскостей.

4.30. Прямые линии в пространстве

Прямую можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и поэтому задавать системой уравнений:

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Определе ние: любой вектор, параллельный некоторой прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть

некоторая прямая L с направляющим вектором

s (m, p,q)

проходит через точку M0 (x0 , y0 , z0 ). Некоторая точка

M (x, y, z) будет принадлежать прямой L тогда и только тогда,

когда векторы s (m, p,q) и M0M = (x − x0, y − y0, z − z0 )

коллине-

арны.

Условие

коллинеарности

этих векторов:

 

x − x0

=

 

 

 

y − y0

 

z − z0

 

 

 

 

 

 

 

 

m

=

=

.

Эти уравнения

называются каноническими

p

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнениями прямой.

 

 

 

 

 

 

 

Полагая

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

= t , получим параметриче-

 

 

p

q

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

ские уравнения прямой:

164

x = x0 + mt

 

+ pt .

y = y0

 

+ qt

z = z0

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1, y1, z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ).

Решение: точка M (x, y, z) будет лежать на прямой тогда и только тогда, когда векторы M1M2 и M1M коллинеарны. Поэтому условие коллинеарности будет являться уравнением прямой, проходящей через две точки:

 

 

 

 

 

 

 

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

− y

 

z

2

− z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

2. Найти

угол

 

между

 

прямыми

x − x1

=

y − y1

=

 

 

 

 

 

 

 

x − x2

 

y − y2

 

 

z − z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

 

m1

=

z − z1

и

=

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

l2

 

 

 

m2

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: угол между прямыми равен углу между их направ-

ляющими векторами, поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα =

 

 

 

l1l2

+ m1m2

+ n1n2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l2

+ m2

+ n2 l2

+ m2

+ n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

4.3.10. Основные задачи для прямых в пространстве

Большинство математических и прикладных задач для прямой в пространстве решается при совместном использовании решений следующих основных задач:

1. Приведение общих уравнений прямой как линии пересечения двух плоскостей к канонической или параметрической форме.

Решение: для составления канонических и параметрических уравнений прямой нужно знать ее направляющий вектор и координаты какой-либо точки, лежащей на прямой. Координаты точки найдем как любое частное решение СЛАУ

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

165

Нетрудно понять, что направляющий вектор прямой перпендикулярен каждому из нормальных векторов плоскостей, задающих эту прямую. Поэтому в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение нормальных векторов плоскостей.

Пример 1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой как линии пересечения плоскостей

 

3x + 2y + 4z −11 = 0

 

.

 

2x + y − 3z −1 = 0

Решение: нормальные векторы плоскостей равны соответ-

ственно n1 = (3,2,4) и n2 = (2,1,− 3). В качестве направляющего

вектора прямой можно взять

 

 

 

 

 

 

r

r

k

 

 

 

 

 

r

r

 

i

j

= (−10,15,−1).

=

 

 

 

n1

× n2

3

2

4

 

 

 

2

1

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + 2y + 4z −11 = 0

В системе

полагаем, например, z = 0:

 

2x + y − 3z −1 = 0

Замечание: прямая обязательно пересекает хотя бы одну координатную плоскость. Здесь мы приняли, что это – плоскость xOy(z = 0).

Если полученная СЛАУ не будет иметь решений, то вместо z = 0

надо будет взять x = 0 или y = 0.

 

 

 

 

3x + 2y = 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

2x + y = 1

 

 

 

 

 

 

 

3x + 2y = 11

 

 

 

 

 

 

; x = −9; y = 19.

 

 

 

 

 

 

4x + 2y

= 2

 

 

 

Значит, канонические уравнения прямой имеют вид

 

 

x + 9

=

y −19

=

z

,

 

 

 

 

 

 

 

−10

15

 

−1

 

 

x = −10t − 9

 

 

 

 

 

 

= 15t +19 .

 

 

а параметрические – y

 

 

 

 

 

 

 

z = −t

 

 

 

 

 

 

 

 

166

2.Определение угла между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Решение: угол между прямыми равен углу между направляющими векторами.

3.Определение расстояния от точки до прямой.

 

 

Пусть дано каноническое уравнение пря-

 

мой L

 

 

 

 

 

 

 

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

и точка M1 (x1, y1, z1 ).

 

 

l

m

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

Направляющий вектор s = (l,m,n) прямой

Рис. 64. Расстояние

можно параллельно перенести так, что его

начало

совпадет с точкой M1 (x1, y1, z1 ) (рис.

от точки до прямой

64). Тогда расстояние от точки до прямой определяется из прямоугольного треугольника: d = M0M1 sinα, значит,

 

uuuuuur

 

 

 

 

uuuuuur

 

 

uuuuuur r

 

2

 

2

 

 

M0M1

s

 

 

 

 

 

1−

 

 

 

.

d =

M0M1

1− cos

α =

M0M1

 

 

uuuuuur

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0M1

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Определение взаимного положения двух прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут либо совпадать, либо быть

параллельными, либо пересекаться, либо скрещиваться.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим уравнения двух прямых

x − x1

=

y − y1

 

=

z − z1

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

m1

 

 

n1

 

 

 

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

. Пусть q = (l , m , n ) ,

r = (l

2

, m , n ),

 

 

 

 

 

l2

 

m2

1

1

1

 

 

 

2

2

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0 (x0, y0, z0 ), M1 (x1, y1, z1 ).

На рис. 65 приведены случаи совпадения, параллельности и пересечения прямых:

1) Прямые совпадают тогда и только тогда, когда векторы q, r, M1M0 коллинеарны;

167

Рис. 66. Угол между прямой и плоскостью

2)Прямые параллельны тогда и только тогда, когда векторы q, r коллинеарны, а вектор M1M0 им не коллинеарен;

3)Прямые пересекаются тогда и только тогда, когда векторы q, r, M1M0 компланарны, а векторы q, r не коллинеарны;

4)Прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы q, r, M1M0 не компланарны.

Рис. 65. Взаимное положение кривых

4.3.20. Основные задачи для прямой и плоскости в пространстве

1. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

 

Пусть

дана

прямая

x − x0

=

 

 

y − y0

 

z − z0

 

 

l

=

=

 

и плоскость Ax +

 

n

 

m

 

 

 

+ By + Cz + D = 0.

Решение: Пусть α – искомый угол между прямой и плоскостью, β – угол между направляющим вектором прямой и нормальным

вектором плоскости, тогда α + β = 90° и sinα = cos β.

Значит, sinα =

 

lA + mB + nC

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

l2 + m2 + n2

 

 

 

A2 + B2 + Ñ2

Условие параллельности: lA + mB + nC = 0. Условие перпен-

дикулярности: A = B = C . l m n

2. Определение взаимного положения прямой и плоскости в пространстве.

168

Прямая может пересекать плоскость, лежать в этой плоскости или быть ей параллельной. Определить взаимное положение прямой и плоскости можно, рассмотрев систему, состоящую из уравнения плоскости и уравнений прямой: если система имеет единственное решение – прямая и плоскость пересекаются в единственной точке; если система имеет бесконечно много решений – прямая лежит в плоскости; если система не имеет решений – плоскость и прямая параллельны.

Можно привести и менее громоздкий способ определения взаимного положения прямой и плоскости:

1) Прямая

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

и плоскость Ax + By + Cz +

 

m

 

 

l

 

n

+ D = 0 пересекаются тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости не перпендикулярны: Al + Bm + Cn ≠ 0.

2)Прямая лежит в плоскости тогда и только тогда, когда Al +

+Bm + Cn = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

3)Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда

Al + Bm + Cn = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0.

4) Прямая перпендикулярна плоскости, если A = B = C . l m n

3. Определение точки пересечения прямой и плоскости. Если известно, что прямая и плоскость пересекаются

(Al + Bm + Cn ≠ 0), то найти координаты их точки пересечения

можно решив систему, состоящую из уравнения плоскости и уравнений прямой.

Пример 1. Установить взаимное положение прямых

 

 

 

 

x −1

=

y − 2

=

z − 3

и

x − 4

=

y − 5

=

z − 6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

 

 

 

9

 

5

 

 

−6

2

 

 

 

r

 

Решение:

Направляющий

 

вектор

первой

прямой –

 

(

)

 

 

 

 

(

 

 

)

 

 

 

(

 

)

 

q

=

 

7; 8; 9 , второй –

r = 5; − 6; 2 . Точка

M 1; 2; 3

 

лежит на

первой прямой, точка N (4; 5; 6)

– на второй, MN = (3; 3; 3). Век-

торы q и r не коллинеарны, значит, прямые не совпадают и не

параллельны. Проверим компланарность векторов q, r и MN :

169

 

7

8

9

 

 

7

1

2

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

−6

2

 

=

5

−11

−3

= 3

 

 

= 57 ≠ 0, значит, прямые скре-

 

3

3

3

 

 

3

0

0

 

 

−11

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щиваются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

2. Найти расстояние между прямыми

x −1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

=

y − 2

=

z − 3

и

x − 4

=

y − 5

=

z − 6

.

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

5

 

 

−6

 

 

 

2

 

 

 

 

Решение: проведем через точку M (1; 2; 3), лежащую на первой прямой, прямую L2 , параллельную второй прямой. Вектор r = (5; − 6; 2), являющийся направляющим для второй прямой, будет направляющим и для прямой L2 . Построим на векторах q,

r и MN параллелепипед. Длина высоты этого параллелепипеда равна искомому расстоянию. Объем V параллелепипеда равен произведению площади основания S на высоту h: V = Sh. С другой стороны, объем V равен смешанному произведению векторов q, r и MN , а площадь основания – модулю векторного произве-

дения q и r , значит,

 

 

 

 

 

 

h =

V

=

q × r MN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q× r

 

 

 

 

 

 

r r

uuuur

 

 

7

8

9

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

= (70; 31; − 82);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q× r

MN

=

 

5

−6

2

= 57; q × r

=

7

 

8

9

 

 

 

 

 

3

3

3

 

 

 

 

 

 

5

 

−6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 702 + 312 + 822 = 12585 ; h =

 

≈ 0,51.

q × r

 

 

 

 

 

 

12585

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи к разделу 4.30

4.3.1. Даны общие уравнения прямой в пространстве

2x − 3y + z = 04z − 5y +1 = 0 ;

170

а) составить канонические уравнения этой прямой; б) составить параметрические уравнения этой прямой;

в) определить, пересекается ли данная прямая с плоскостью 6x + 5y − 7 = 0.

4.3.2. Даны канонические уравнения прямой

x −1 = y − 2 = z − 3; 4 5 6

а) составить какие-нибудь общие уравнения этой прямой; б) составить параметрические уравнения этой прямой.

4.3.3. Даны параметрические уравнения прямой в пространстве:

x = 2t + 3, y = 4t − 5, z = 5t + 6;

а) составить общие уравнения этой прямой; б) составить канонические уравнения этой прямой.

4.3.4. Составить канонические уравнения прямой в простран-

стве, если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(3; 4; 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) прямая проходит через точку

перпендикулярно

плоскости x − 4y − 8z +12 = 0;

 

 

 

 

 

 

A(3; 4; 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) прямая проходит через точку

перпендикулярно

 

 

 

r

(

 

 

 

 

 

)

 

 

 

(

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторам a

= 1; 2; 3

 

 

и b

= 4; 5; 6

;

 

 

(

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

(

)

 

 

 

 

 

 

в) прямая проходит через точки A

3; 4; 5

 

 

и B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;1; 1 .

 

 

 

 

 

4.3.5. Установить взаимное положение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) плоскости 5x − 6y − 2z + 30 = 0 и прямой

x −1

=

 

y − 2

=

z − 3

;

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

−6

 

 

б) плоскости 5x − 6y − 2z + 30 = 0 и прямой

 

x − 3

=

y − 2

=

z −1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

4.3.6. Установить взаимное положение прямых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

x −1

=

 

y − 2

=

 

z − 3

 

и

 

x + 4

=

 

y

=

z −1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

−6

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

−6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

x + 4

=

 

y

=

z −1

 

 

и

 

x −1

=

y + 6

=

z − 3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

−6

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

−6

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

x −1

=

y + 6

=

z + 3

и

x + 5

=

y +12

=

z + 9

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

−6

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

171

г)

x −1

=

y + 5

=

z + 3

 

и

x + 5

=

y +12

=

z + 9

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

−6

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3.7. Найти косинус угла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) между плоскостями 5x − 6y − 2z + 30 = 0 и y − z +1 = 0;

б) между прямыми

x −1

=

y + 5

=

z + 3

и

 

x + 5

=

 

y +12

=

 

z + 9

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

−6

2

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

в) между прямой

x + 5

=

y +12

=

z + 9

 

и плоскостью

5x −

1

 

 

 

 

 

 

−6y − 2z + 30 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3.8. Найти расстояние между прямыми

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −1

=

y + 5

=

z + 3

 

 

 

и

 

x + 5

=

y +12

=

z + 9

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

−6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

4.3.9. Найти расстояние от точки A(3; 4; 5)

до прямой

x − 3

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

=y − 2 = z −1. 1 2

Требования к практическому усвоению темы «Прямые и плоскости»

Студент должен знать:

1. Виды уравнений прямой на плоскости:

–общее уравнение и его важные частные случаи;

–уравнение «в отрезках»;

–уравнение с угловым коэффициентом;

–каноническое и параметрические уравнения;

–уравнение прямой, проходящей через заданную точку.

2.Геометрический смысл коэффициентов, входящих в уравнения прямых.

3.Алгоритмы решения основных задач для прямых на плос-

кости:

– построение прямой по ее уравнению;

– нахождение уравнения прямой по условиям задачи;

– переход от одного вида уравнения к другому виду;

– вычисление угла между пересекающимися прямыми, определение перпендикулярности и параллельности прямых;

– определение расстояния от заданной точки до прямой;

– определение координат точки пересечения прямых.

172

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности