585
.pdfтак и не находит своего места…» (Н.Н. Моисеев. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979).
Таким образом, без практического овладения инженером технологией разработки эффективных математических моделей нельзя в полной мере реализовать огромные потенциальные возможности ускорения технического прогресса, заложенные в вычислительной технике.
Пример решения реальной прикладной задачи
Задача. Найти способ экспериментальной количественной оценки энергетических потерь в редукторах при изменении полезной нагрузки, различных дестабилизирующих воздействиях (холод, вакуум, ротация и т.д.), конструктивных и технологических изменениях (смена вида смазки, материала, технологии обработки и т.п.). Оценка должна проводиться с точностью не более 10 % при минимальном количестве экспериментов.
Замечание 1: для решения данной задачи достаточны знания школьных курсов физики и математики.
Замечание 2: задача взята из инженерной практики одного из соавторов и адаптирована для учебных целей.
П ер в ы й э т ап. Разработка формализованной модели на основе известных экспериментальных данных и теоретических представлений о потерях в передаточных механизмах (редукторах).
Редуктор – это передаточный механизм, обычно содержащий зубчатые передачи и позволяющий уменьшить скорость выходного
вала в u раз (u – передаточное число редуктора, u = |
ωâõ |
, где ω , |
||
|
||||
|
|
|
ωâû õ |
âõ |
|
|
|
|
|
ωâû õ – угловые скорости входного и выходного вала |
редуктора, |
|||
u = const ). |
|
|||
Энергетические потери в редукторах оценивают с помощью ко- |
||||
эффициента полезного действия (КПД) |
|
|||
η = |
Ní |
, 0 < η <1, |
(П1.1) |
|
|
||||
|
Nä |
|
||
где Ní – мощность полезной нагрузки на выходном валу редуктора;
Nä – мощность движущих сил на входном валу редуктора.
Вустановившемся режиме движения (ωâõ = const ) имеет место равенство
223
уровнях дестабилизирующих воздействий и изменениях технологии и конструкции. Поэтому влияние указанных воздействий и изменений можно однозначно оценивать с помощью постоянных параметров
Nõ и ηï î .
3. Зависимость η = f (Nä ) является гиперболической. Прямая
ηï î = const является одной из асимптот графика этой зависимости. Вт о р ой э т ап. Составление математической модели.
Эта модель должна позволить:
– выразить КПД редуктора через параметры Nõ и ηï î в явном виде;
– найти условия, при которых предположения 1–3 выполняются. Исходя из формул (П1.1), (П1.3) получим
|
N |
í |
|
N |
ä |
− N |
õ |
|
N |
í |
|
N |
ä |
− N |
õ |
|
|
|
N |
õ |
|
η = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= ηï î 1 |
− |
|
. (П1.4) |
||||||||
|
|
|
|
− Nõ |
|
|
|
|
Nä |
|
|
|
|||||||||
|
Nä Nä |
|
Nä − Nõ |
|
|
|
|
|
|
Nä |
|||||||||||
График функции (П1.4) будет соответствовать ветви равнобочной гиперболы в параллельно-смещенных осях, если параметры Nõ и ηï î будут постоянными величинами (рис. П1.3).
Очевидно, что |
в установившемся |
движении (ωâõ = const , |
u = const ) редуктора |
мощность потерь |
холостого хода ( Nõ ) при |
Ní = 0 будет постоянной величиной.
Определим, при каких условиях будет постоянным нагрузочный
КПД (ηï î ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ηï î |
= |
|
Ní |
= |
|
Ní |
= |
Ní |
. |
(П1.5) |
|
Nä |
− Nõ |
Ní + Nï í + Nõ − Nõ |
Ní + Nï í |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Из (П1.5) следует, что ηï î |
будет постоянной величиной, если |
||||||||||
принять, что мощность потерь под нагрузкой имеет вид Nï í |
= ψ1Ní , |
||||||||||
где ψ1 – постоянный коэффициент пропорциональности (коэффициент нагрузочных потерь). В этом случае из (П1.5) имеем
ηï î |
= |
|
Ní |
= |
|
1 |
= const |
(П1.6) |
|
+ ψ1Ní |
|
+ ψ1 |
|||||
|
|
Ní |
1 |
|
|
|||
Справедливость предположения, что мощность потерь под нагрузкой Nï í пропорциональна мощности нагрузки
225
При Ní(1) = 0 (режим холостого хода привода) из (П1.10) и (П1.11) получим
N(2)
ηï î = í . (П1.12)
Nä(2) − Nõ
Таким образом, для определения зависимости η = f (Nä ) в нор-
мальных условиях, при дестабилизирующих воздействиях, при конструкторских и технологических изменениях, достаточно двух экспериментов. При том один из экспериментов можно проводить при не-
нагруженном редукторе ( Ní = 0) в режиме холостого хода.
Ч ет в ер т ы й э тап. Проверка и анализ решения математической задачи на языке предметной области прикладной задачи.
Проверка полученных расчетных формул (П1.8), (П1.10), (П1.11), (П1.12) проводилась на базе известных экспериментальных данных, имеющих не менее трех различных числовых значений величин η(i) и
Nä(i) , по следующей методике:
1)результаты двух экспериментов использовались для определения параметров ηï î и Nõ по формулам (П1.10), (П1.11) или (П1.12);
2)вычислялись значения КПД в остальных экспериментальных точках, не использованных в п. 4.1 по формулам (П1.8);
3)из сравнения вычисленных значений КПД в п. 4.2 и экспериментальных значений КПД, определенных по формуле (П1.1), находилась относительная погрешность расчетных и измеренных значений КПД.
Результаты проверки по данной методике для различных типов приводов (более 10 типов) показали, что несовпадение расчетных и
экспериментальных данных в нормальных условиях не превысило ±5 %.
Проверка расчетных зависимостей проводилась также на экспериментальных данных для тягового привода мотор-колеса «Лунохода-1», опубликованных в книге «Передвижная лаборатория на Луне» – «Лу- ноход-1». М.: Наука, 1978. Т. 2. С. 47–66.
Результаты расчетов приведены в таблице
|
Условия измерения КПД привода |
Результаты расчетов по п. 4.1 |
||||
|
η = f (Mg ) |
|
|
|
|
|
|
M |
x |
, H |
M |
η |
|
|
|
|
|
í î |
||
1. |
В нормальных условиях на Земле |
0,028 |
0,98 |
|||
|
|
|
|
|||
2. |
При движении «Лунохода-1» по Луне* |
0,034 |
0,98 |
|||
227
Список литературы
Основная литература
1.Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2008. 159 с.
2.Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. 2. Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2008. 159 с.
3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. М.: Рольф, 2000. 288 с. И более поздние издания.
4.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1994. 374 с. И более поздние издания.
5.Каган М.Л., Самохин М.В. Математика в инженерном вузе: Алгебра и геометрия. М.: Стройиздат, 2003. 208 с.
Дополнительная литература
1.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1999. 304 с. И более поздние издания.
2.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1970. И более поздние издания.
3.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1986. 320 с. И более поздние издания.
4.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1976. 870 с. И более поздние издания
5.Бёрд Дж. Инженерная математика: карманный справочник. – М.: Додэка –XXI, 2008. 544 с.
6.Математический энциклопедический словарь. М.: Большая российская энциклопедия, 1998. 846 с.
7.Мантуров О.В., Солнцев Ю.К. и др. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1 и 2. М.: Просвещение, 1978. И более поздние издания.
8.Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972. 400 с.
229
231
232