Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

585

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.12.2022

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

	1	2	3
Решение:	4	5	6	=1 5 9 + 2 6 7 + 3 4 8 − 3 5 7 − 2 4 9 −
	7	8	9
−1 6			8 = 45 + 84 + 96 −105 − 72 − 48 = 0.

Правило разложения по элементам строки или столбца является частным случаем способа разложения, который можно использовать для определителя любого порядка. Для определителя третьего порядка правило разложения в символьной форме можно представить так (если разложение производить по элементам первой строки):

a11

a12

a13

a21

a22

a23

= a11M11 − a12M12 + a13M13 =

a31

a32

a33

= a

a22

a23

− a

a21

a23

+ a

a21

a22

где M11, M12 , M13 — миноры элементов первой строки определителя.

Миноры определителя третьего порядка — это определители второго порядка, которые получаются удалением из исходного определителя элементов строки и столбца, соответствующих индексам минора. В рассмотренном примере миноры M11, M12 , M13 получены удалением элементов первой строки и соответственно первого, второго и третьего столбца.

Разложение определителя можно производить по элементам любой строки или столбца. Знаки слагаемых в разложении определителя располагают в шахматном порядке согласно схеме

+− +

−+ − .

+− +

Пример. Разложить определитель по элементам второго столбца.

x a a

ax −a = −aM12 + xM22 − aM32 =

a a x

= −a

−a

+ x

− a

= x(x2 − a2 ).

−a

2.1.10. Решение неоднородных СЛАУ с помощью определителей (по формулам Крамера)

Определе ние: Системой m линейных уравнений от n неизвестных называется система уравнений

	a	x + a		x	+...+ a	x	= b
	11 1		12	2	1n	n	1
a21x1 + a22 x2					+...+ a2n xn		= b2	,
					...			,
					...
a		x + a	m2	x	+...+ a	x	= b
	m1	1	m2	2	mn n		m

где aij (i =1, ..., m, j =1, ..., n) – постоянные коэффициенты; bi –

свободные члены (постоянные числа); xi — неизвестные, значения которых требуется определить. Первый индекс i числа aij означает номер уравнения в системе, второй индекс j – номер неизвестного.

Решением СЛАУ называют множество действительных чисел x10 , x20 , ..., xn0 , которые при подстановке их вместо неизвестных x1 , x2 , ..., xn в каждое уравнение системы обращают его в тождество.

Система линейных алгебраических уравнений называется неоднородной, если хотя бы один из свободных коэффициентов b1 ,b2 ,...,bn не равен нулю.

Если число уравнений равно числу неизвестных (m = n), то

такую неоднородную систему называют крамеровской. Ее можно решить при определенных условиях с помощью определителей по формулам Крамера.

a		x + a		x		+ ... + a	x	= b
	11	1	12		2	1n	n	1
a21x1			+ a22 x2 + ... + a2n xn = b2
Для системы						...........
						...........
a		x + a		n2	x	+ ... + a	x	= b
	n1	1		n2	2	nn n		n

корни находят по формулам Крамера (при ≠ 0)

x =

1 ,

x =

,..., x =

a11 a12 ... a1n

где =

a21

a22 ...

a2n

– основной определитель из коэффици-

... ...

an1 an2 ... ann

ентов СЛАУ;

a12 ...

a1n

a22 ...

a2n

–

первый

вспомогательный определи-

... ...

an2 ...

ann

тель, полученный заменой в основном определителе элементов первого столбца соответствующими свободными членами;

		a11	b1 ... a1n
2	=	a21	b2 ...	a2n	– второй вспомогательный определи-
2			... ...
			... ...
		an1	bn ...	ann

тель, полученный заменой в основном определителе элементов второго столбца соответствующими свободными членами и так далее до определителя n включительно.

Замечание. Формулы Крамера компактны и удобны при изложении теоретических вопросов. Практическое вычисление корней СЛАУ по указанным формулам является трудоемким, так как объем вычислений резко возрастает с увеличением порядка определителя. Поэтому по формулам Крамера решают СЛАУ не выше четвертого порядка.

Пример. Решить систему линейных уравнений

x1 + 2x2 + x3 = 4
		= 4.
3x1 − 2x2 + 3x3
	2x1 + 7x2 − x3	= 8

				1		2	1					4	2	1
Решение:			=	3		−2	3	= 24;			1 =	4	−2	3	= 24;
				2		7	−1					8	7	−1
	1	4	1						1	2	4
	1	4	1						1	2	4
2 =	3	4	3		= 24;			3 =	3	−2 4		= 24.
	2	8	−1						2	7	8

По формулам Крамера получим:

x = 1	=	24	=1;	x =	2	=	24	=1;	x =	3	=	24	=1.

1	24			2		24			3		24

2.1.20. Вычисление определителей четвертого и более высоких порядков

Определители высоких порядков (n > 3) можно вычислять

методом понижения порядка, используя разложение определителя по элементам какой-либо строки или столбца

a11

a12 ...

a1n

a21

a22 ...

a2n

= a A

+ a

+...+ a

... ...

an1

an2 ...

ann

(разложение по i-й строке)

a11

a12 ...

a1n

a21

a22 ...

a2n

= a

+ a

+ ...+ a

... ...

1 j

2 j 2 j

nj nj

an1

an2 ...

ann

(разложение по

j -му столбцу)

Ai1, Ai2 , ..., Ain , A1 j , A2 j , ..., Anj

–- алгебраические

дополнения эле-

ментов определителя; Aij = (−1)i+ j Mij – алгебраическое дополнение элемента aij ; Mij – минор определителя, полученный удалением из него i-й строки и j -го столбца.

Полученные после такого разложения миноры являются определителями (n −1)-го порядка, которые можно снова разло-

жить по какой-либо строке или столбцу. После многократного разложения придем к минорам третьего или второго порядков, которые вычисляются по правилам, разобранным выше.

Данный алгоритм приводит к большому объему вычислений. Например, вычисление определителя пятого порядка в общем случае сводится к вычислению пяти определителей четвертого порядка после первого разложения или двадцати определителей третьего порядка после второго разложения.

Чтобы уменьшить объем вычислений предварительно производят «обнуление элементов» определителя с использованием

следующих свойств:
1) Если в определителе	все элементы какой-либо строки
или столбца равны нулю, то	= 0.

2)Если в определителе поменять местами две строки или столбца, то определитель изменит знак на противоположный.

3)Если в определителе имеются две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то определитель равен нулю.

4)Если все элементы какой-либо строки или столбца умножить на одно и то же число, то значение определителя умножится на то же число.

5)Если в определителе имеются две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца, то значение определителя равно нулю.

6)Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.

	1	3	− 2	5
	1	3	− 2	5
Пример. Вычислить определитель	4	0	−1	2	.
Пример. Вычислить определитель	0	− 5	3	2	.
	0	− 5	3	2
	−3	2	0	1

Решение: пользуясь свойством 6, получим нули вместо эле-

ментов a21, a41.

Для этого умножим первую строку на (–4) и поэлементно прибавим ко второй строке (рис. 17):

								–4	–12		8	–20
							+	4	0		–1		2
							=	0 –12			7		–18
					Затем умножим первую строку на 3 и
Рис. 17.		Обнуление		прибавим к четвертой строке:
Рис. 17.		Обнуление
элементов столбца								3	9		–6		15
							+	–3	2			0	1
							=	0	11		–6		16
Получим, раскладывая определитель по первому столбцу:
	1	3	−2	5		−12	7 −18			−12		7	−18


	0	−12 7 −18
	0	−12 7 −18			=1	−5	3	2	=	− 5 3			2	.
	0	−5	3	2		11	− 6	16		11		− 6 16
	0	11	−6	16		11	− 6	16		11		− 6 16
	0	11	−6	16

Полученный определитель третьего порядка можно уже вычислить по правилу треугольников или по правилу дополнительных столбцов, но можно снова воспользоваться методом «обнуления элементов», примененным выше к определителю четвертого порядка.

−12 7	−18		−1	1 − 2			0	1	0		−2 8


−5 3	2	=	−5	3	2	=	−2 3		8	= −			=
11 − 6	16		11	− 6	16		5	− 6	4		5	4
11 − 6	16		11	− 6	16		5	− 6	4

= −(−8− 40) = 48.

Были произведены следующие действия:

1)к первой строке прибавили третью;

2)к первому столбцу прибавили второй и к третьему столбцу прибавили второй, умноженный на 2;

3)разложили определитель по второму столбцу;

4)вычислили определитель второго порядка.

Для контроля промежуточных вычислений рекомендуется использовать дополнительный контрольный столбец. Элемент контрольного столбца равен сумме элементов соответствующей строки. При преобразовании строки тем же преобразованиям подвергается и соответствующий элемент контрольного столбца. Затем элементы преобразованной строки суммируются и сравни-

ваются с преобразованным элементом контрольного столбца. При несовпадении полученных чисел ищем ошибку.

							1		− 2		3	4
							1		− 2		3	4
Пример. Вычислить определитель							2		1		− 4	3	.
Пример. Вычислить определитель							3		− 4		−1	− 2	.
							4 3 2 −1
Решение: введем контрольный столбец:
		1	−2	3	4	\|	6
		1	−2	3	4	\|	6
		2	1	−4	3	\|	2	.
		3 −4 −1 −2 \| −4						.
		4	3	2	−1	\|	8
С помощью первой строки обнуляем элементы первого
столбца:
	1		−2	3	4	\|	6
	1		−2	3	4	\|	6
	0		5	−10	−5	\|	−10			.
	0		2	−10	−14	\|	−22			.
	0		2	−10	−14	\|	−22
	0		11	−10	−17	\|	−16

Сумма чисел по каждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. Вынесем общий множитель 5 из второй строки и общий множитель 2 из третьей строки:

	1	−2	3	4	\|	6
	1	−2	3	4	\|	6
10	0	1	−2	−1 \| −2			.
	0	1	−5	−7	\|	−11
	0	11	−10	−17	\|	−16

Сумма чисел по каждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. С помощью второй строки обнуляем соответствующие элементы второго столбца:

	1	−2	3	4	\|	6
	1	−2	3	4	\|	6
10	0	1	−2	−1 \| −2			.
	0	0	−3	−6	\|	−9
	0	0	12	−6	\|	6

Сумма чисел по каждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. Вынесем общий множитель (−3) из третьей строки и общий множитель (−6) из четвертой строки:

	1	−2	3	4	\|	6
	1	−2	3	4	\|	6
180	0	1	−2	−1	\|	−2	.
	0	0	1	2	\|	3
	0	0	−2	1	\|	−1

Сумма чисел по каждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. С помощью третьей строки обнулим последний элемент (в четвертой строке):

	1	−2	3	4	\|	6
	1	−2	3	4	\|	6
180	0	1	−2	−1	\|	−2	.
	0	0	1	2	\|	3
	0	0	0	5	\|	5

Сумма чисел по каждой строке совпадает с соответствующим контрольным элементом. Значение определителя равно 180 1 1 1 5 = 900.

Задачи к разделу 2.10

2.1.1. Вычислить определители второго порядка:

а)		5		−2	;	б)		1		−2			;		в)		2		−4			;		г)			512				1024			;
		5		−2				1		−2							2		−4								512				1024
		7		−3				−6		3							−3			6							128				512

д)			0,875		−0,375				;		е)			1	2	1		3	;		ж)					3		2			1	2	.




			0,375			0,125								7		5									−		1				3
			0,375			0,125								7		5											1				3
															6	18															2
																											2


2.1.2. Вычислить определители второго порядка:
										2		1				4		1										a							b




а)	s + t				st		; б)		3x3 y5						x5 y7											a		2	+ b	2				a	2	+ b	2	;
									3x3 y5						x5 y7													2		2					2		2
										1		6				1		4	; в)
			−2	s − t						1		6				1		4					−						b						a

									5x5 y7						2x3 y5

																											a2 + b2							a2 + b2
																											a2 + b2							a2 + b2

г)

cosϕ

sin ϕ

; д)

loga b

logb c

−sin ϕ

cosϕ

logc b logb a

2.1.3. Вычислить определители второго порядка:

а)

−2

; б)

5 − 2i

3+ 2i

; в)

e4ix e14ix

7 −3i

3 − 2i

5 + 2i

e−ix

e9ix

2.1.4. Вычислить определители третьего порядка:

а)

3 5 2

; б)

8 1 7

; в)

0 5 2

; г)

2.1.5. Вычислить определители третьего порядка:

a 0 0

a d e

a 0 0

0 0 a

а)

0 b 0

; б)

0 b f

; в)

d b 0

; г)

0 b 0

;

0 c

0 0 c

e f c

c 0 0

0 0 a

d e a

a b

1 1 1

д)

0 b d

; е)

f b 0

; ж)

−a 0 c

; з)

;

c e f

c 0 0

−b −c 0

sinα

cosα

cos2 α

sin2 α

cos2α

и)

sinβ

cosβ

;

к)

cos2 β

sin2 β

cos2β

sin γ

cosγ

cos2 γ

sin2 γ

cos2γ

2.1.6. Вычислить определители третьего порядка:

	0	i	i −1			a				b				c

								1		+ i	3		1	− i	3
а)	−i	0	2i − 3	; б)	1			1			3		1		3	.
а)	−i	0	2i − 3	; б)	1			2			1	2				.
	1− i	3 − 2i	0					2			1	2			2

					1	+ i	3		1	− i	3	1
					1		3		1		3
					2		2				2
					2		2	2			2

2.1.7. Вычислить определители четвертого порядка

	1 1 1						1					−5 −2 −3					3
	1 1 1						1					−5 −2 −3					3
а)	1	1			−1		1	;			б)	6	4			5	2		;
а)	1	−1		1			1	;			б)	7	8			5	5		;
	1	−1		1			1					7	8			5	5
	−1	1		1			1					6	5			4	4

	2	2		6			10			15

в)	10	2		15			5			6					.
в)															.
	6			21			10				−2		3

	2			3			5			3
2.1.8. Вычислить определители четвертого порядка
	a 0 0 0										a e f g							0		a	b	c
	a 0 0 0										a e f g							0		a	b	c
а)	0 b 0 0					; б)					0 b h x					; в)		−a 0			d	e	.
а)	0 0 c 0					; б)					0 0 c y					; в)		−b −d			0	f	.
	0 0 0 d										0 0 0 d							−c −e − f				0
2.1.9. Решить уравнения
	x + 7		x + 3				1								2sinα					cosα − sinα		1
	x + 7		x + 3				1								2sinα					cosα − sinα		1
а)	x +15			2x			1		= 0; б)					cosα + sinα						cosα		1		= 0.
	8		x − 3				1							cosα − sinα						sinα		3

2.1.10. Найти все значения параметра ма уравнений имеет единственное решение

	a2 x − y =1	xsin a + y = 0
а)		; б)
(5a − 6)x + y = 2		x + ycosa = 0

a, при которых систе-

ax + y + z =1 ; в) x + ay + z =1.

x + y + az =1

2.1.11. Решить системы уравнений по правилу Крамера:

	2x + y = 9	б)
а)	;	б)
3x − 2y = 7
	ix + y =1	д)
г)	;	д)
3x − iy = 2i

2x + 3y = 9		0,5x + 3,5y = 9,1
	; в)	;
3x − 2y = 7	1,2x − 2,4y = 7,8

(	)		(	)
	i −1	x +		2i +1	y =1+ i
	(3+ i)x − 2y =				.
	(3+ i)x − 2y =				5 − 2i

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20222.21 Mб1580.pdf
#
06.12.20222.21 Mб4581.pdf
#
06.12.20222.21 Mб1582.pdf
#
06.12.20222.22 Mб0583.pdf
#
06.12.20222.23 Mб17584.pdf
#
06.12.20222.25 Mб0585.pdf
#
06.12.20222.26 Mб4586.pdf
#
06.12.20222.29 Mб2587.pdf
#
06.12.20222.31 Mб2588.pdf
#
06.12.20222.32 Mб3589.pdf
#
06.12.20222.33 Mб2590.pdf