Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

585

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.12.2022

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Подставляя известные числовые значения сил и углов, после преобразований получаем систему линейных алгебраических уравнений

	T +			T − 2R = 0
3			3
1		2
T1 + 2T2 = 4000 .

		3T1 = 4000

Решая СЛАУ, находим неизвестные силы R, T1, T2 .

Задачи к разделу 3.90

3.9.1. Построить векторную диаграмму в масштабе для цепи (рис. 47), если r1 = 4 Î ì , r2 = 6 Î ì , ωL1 = 2 Î ì , ωL2 = 6 Î ì . Определить полное сопротивление цепи, величину тока и сдвиг фаз между током и напряжением, равным 220 вольт.

3.9.2. Построить векторную диаграмму в масштабе для цепи, показан-

ной на рис. 49 при	r1 = 35 Î ì ,
r2 = 25 Î ì , X1 = 75 Î ì ,	X2 = 45 Î ì .

Определить полное сопротивление це- Рис. 49. Задача 3.9.2 пи, величину тока и сдвиг фаз между

током и напряжением 220 вольт. Пояснение. Реактивное сопротивление емкостного элемента

XC = ωC . Электрическое напряжение на емкостном элементе

U		= I		1	отстает по фазе на − π , поэтому такие напряжения
	Cm		m ωC
					2

на векторной диаграмме поворачивают на угол π по часовой 2

стрелке.

3.9.3. Найти величину тока I и фазовый сдвиг относительно переменного напряжения источника

U = 240B, если r1 = 4Î ì	, r2 =10 Î ì ,
r3 =12 Î ì , XL = 3 Î ì ,	XÑ = 5 Î ì
(рис. 50).

Рис. 50. Задача 3.9.3

143

	3.9.4. Найти		силу	верти-
кального давления на столб и
усилия в растяжках (в примере
из 3.9.20) при ϕ = π и ϕ = π .
			4	2
	3.9.5. Найти		усилия в
стержнях OB, OC, OA от дей-
ствия груза весом Q (рис. 51)

	Q, кН	100	75	50
	α	30	45	60
	α	30	45	60

	β	60	45	30

	Рис. 51. Задача 3.9.5
	Рис. 51. Задача 3.9.5		3.9.6. На	точку действуют
			3.9.6. На	точку действуют
				r
r		ускорения		a1 = (1, 2, 0)	и
r	= (4, 3, 0). Найти модуль и направление			результирующего
a2	= (4, 3, 0). Найти модуль и направление			результирующего

ускорения, действующего на точку. Задачу решать двумя способами: а) используя правило геометрического сложения векторов; б) применяя операции с проекциями вектора.

3.9.7. Вычислить работу силы F = (3,− 5, 2) при перемещении точки приложения силы из начала координат в точку с координатами (2, − 5, − 7).

	Пояснение: работа силы		F при перемещении точки ее при-
						r	r	BC .
ложения из B в C определяется по формуле A(F )							= F
			3.9.8. Даны три силы					F1 = (3,4, 2),
		F2 = (2, 3, − 5),				F3 = (−3,− 2, 4),			прило-
		женные в одной точке. Вычислить ра-
		боту равнодействующей этих сил при
		прямолинейном				перемещении			точки

		приложения равнодействующей из точ-
Рис. 52. Задача 3.9.9		ки M1 (5, 3, − 7)				в точку M2 (4, −1, − 4).
			3.9.9. Найти величину и направле-
ние равнодействующей трех сил (рис. 52).
	3.9.10. Найти величину		и направление				момента		силы
F = i + 2 j − 3k относительно точки O				(		)
					0,1,1 , если сила действует

144

вдоль прямой, проходящей через точку A(1,3,4), в которой приложена сила.

Пояснение: векторный момент силы F относительно точки О

× F , где r

определяют по формуле m0 (F ) = r

– вектор, соединя-

ющий точку О с точкой приложения силы F , которая является

скользящим вектором.

Ответы к задачам

темы «Векторная алгебра»

uuuur

uuur

uuuur

1 uuur

3.1.1. AM

AC . 3.1.2 AM =

AC .

uuuur

uuur

3.1.3. MN

AD .

1 uuur

uuur

1 uuur

uuur

3.1.4. AB

−

BD ,

BC =

AC +

BD,

= −

1 uuur

uuur

1 uuur

DA = −

−

BD .

uuur

1 uuur

uuur

1 uuur

uuur

1 uuur

3.1.5. OH

= −

AB,

AB +

AD,

= −

AB +

AD .

1 uuur

7 uuur

uuur

5 uuur

uuur

1 uuur

uuur

1 uuur

3.1.6. AB

−

BD,

AC +

BD ,

5 uuur

uuur

5 uuur

DA = −

−

BD.

uuur

1 uuur

uuur

1 uuur

uuur

1 uuur

3.1.7. BC

BD,

= −

AC +

BD, OH

3.1.8. а) OA + OB + OC + OD + OE + OF =

uuur

= (OA + OD)

+ (OB + OE)

+ (OC

+ OF )=

+ 0

= 0;

б) Проведем прямую OA. Диаго-

наль параллелограмма,

построенного

на векторах OB и OE , лежит на этой

прямой, значит,

эта

прямая

является

= OB + OE .

линией действия вектора a

Аналогично, эта же прямая является

линией действия вектора b = OC + OD ,

Рис. 53. Решение задачи 3.1.7

а значит, и

линией

действия

вектора

OA + OB + OC + OD + OE = OA + a + b . Проведем теперь прямую OB . Аналогично доказывается, что эта прямая является линией действия того

145

же вектора OA + OB + OC + OD + OE . Но эти прямые не параллельны, значит данный вектор может быть только нулевым.

в) Физическая интерпретация: равнодействующая одинаковых по модулю сил с одинаковыми углами между их линиями действия равна нулю.

uuuur

1 uuur

1 uuuur

3.1.9. OM

= −

AA ; OM = −

AC .

1 uuur

uuuur

1 uuur

3.1.10. MN

= −

AB +

AC +

AD ;

uuur

3.5.1. а) 2AB +

5BC = (5; − 43); б)

= 5; cosα = −

, cosβ =

uuur

1 uuur

в) AD = −

AC .

= (−17;

−19;− 21), b = (7; 8; 9). 3.5.3. 60° или 120°.

3.5.2. a

= (

= (−

3;−

3;− 3).

3.5.4. a

или a

4 ;

3.5.5. а) a = (−46;14;60);

= 2

1478; cosα = −

,cosβ =

б)

1478

, cosγ =

; в) да, так как

AB || CD; г) да, так как

AB = CD;

1478

AD = AB + AC . 3.5.6. Координаты центра окружности –

д)

;

, ра-

диус R =

111

18851

3.5.7. Координаты центра сферы –

;

, радиус R =

;

; в)

;

3.5.8. а)

;

б) M

;

7 7

2 2 2

(−1; 12); N (−5;− 4); L(5; − 6). 3.5.10. (−2;−13) и

г)

;

. 3.5.9. M

(3;−14).

− 5b )= −333;

3.6.1. а) ab =10; (a

+ 3b) (2a

342

б) Πpbv (3a

− 4b)= −14; в) Πpar +5bv (3a

− 4b )= −

. 3.6.2. AB BD = −1,

741

uuur uuur

BD AF

= −

. 3.6.3. а) ab =

5, (a +

3b) (2a − 5b)= −117;

113

б) Πpar+5bv (3a

− 4b )

= −

;

в) cos(a,b)=

314

146

3.6.4. A = F

= 60

= 300 (Дж). 3.6.5.

= b

r 2

3.6.6.

= a − b

3.6.7. Поместим куб в прямоугольную систему координат так, чтобы

указанная его вершина совпала с началом координат. Считаем, что F1 = 2,

= 3,

= 4.

Тогда

= (0;

2; 2),

2;0;

= (2

2;2 2;0);

= F1

+ F2

+ F3

2;3 2;

r r	11		r r	18		r r	13
cos(F, F1 )=			, cos(F,F2 )=			,cos(F,F3 )=		.

	55			55			55
2		3			2

3.6.8. Найдем сначала координаты перемножаемых векторов:

uuur		1
AB = (0; 1; 0), BD = (1;−1;0), AF	=		; 1; 0	.

	2

uuur uuur			3
Тогда AB× BD = (0;0;−1), BD× AF	=	0; 0;		.
Тогда AB× BD = (0;0;−1), BD× AF	=	0; 0;	2	.
			2

2 ,

55 ;

3.6.9. AB × AD = AA1 ,

AB × BC = AA1 ,

AC × DB = −2AA1 ,

AB × AC = AA1 , AB × DD1 = −AD, AB × CD = 0;

=10,

=110; б) 5;

3.6.10. а)

a × b

+ 3b) (2a

− 5b )

3.6.11. а) AB× AC = (−8;8;−8); б)

−

;

;−

или

1		1		1		uuur uuur uuur
	;−		;		; в), г) (AB × AC)× AD = (40;96;56),
	;−		;		; в), г) (AB × AC)× AD = (40;96;56),
3		3		3

= (50;202;8). 3.6.12. AB × AC = (0;0;42). 3.6.13. а)

uuur	uuur	uuur
AB×(AC		× AD)=
v	r	r	r
(a ×b )×c		= b (a	c)−

r r

−a

(b c); б) ((a ×b )× c)

× d

= (a

(b × d )− (b

c)(a

× d );

r r

= ±30.

в) (a

×b)×(c

× d )= b

((c

× d ) a)− a

((c × d ) b). 3.6.14. abc

3.6.15.AB × AD AD1 = 3, AB × AA1 D1B1 = 3, AD1 × D1B AB = −3.

3.6.16.5 . 3.6.17. α =1.

147

Требования к практическому усвоению темы «Векторная алгебра»

Студент должен знать:

1.Определение геометрического вектора, виды векторов; равенство, коллинеарность и компланарность векторов; алгебраический и геометрический подходы к математическому описанию геометрических векторов.

2.Линейные операции над геометрическими векторами и их свойства.

3.Линейная зависимость и независимость геометрических векторов; геометрический смысл указанных терминов.

4.Декартовы системы координат; определение репера: общий случай, ортонормированные реперы; левосторонние и правосторонние реперы; прямоугольная система координат.

5.Проекции геометрического вектора в прямоугольной системе координат (векторные и числовые проекции вектора на ось, плоскость и другой вектор); основные свойства векторных проекций вектора.

6.Определение вектора через его проекции в прямоугольной системе координат. Модуль вектора, направляющие косинусы.

7.Основные свойства числовых проекций вектора. Условия коллинеарности векторов в векторной и алгебраической формах.

8.Скалярное произведение векторов (определение, основные свойства, выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов).

9.Геометрические приложения скалярного произведения векторов (определение ортогональности векторов, угла между векторами, числовой проекции одного вектора на другой вектор или на ось).

10.Векторное произведение векторов (определение модуля и направления вектора, основные свойства, выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов).

11.Геометрические приложения векторного произведения (применение для вычисления площади параллелограмма, условие коллинеарности).

12.Смешанное произведение векторов (определение, основные свойства, выражение через координаты).

13.Геометрические приложения смешанного произведения (определение объема параллелепипеда или треугольной пирами-

148

ды, условие компланарности, определение левосторонности или правосторонности репера).

14. Способ определения координат (проекций) вектора при изменении системы координат.

Студент должен уметь:

1.Выполнять линейные операции с геометрическими векторами в графической форме.

2.Находить векторные и числовые проекции вектора на ось, плоскость и другой вектор.

3.Выражать вектор через его проекции в прямоугольной системе координат. Находить модуль вектора и направляющие косинусы.

4.Вычислять скалярное произведение векторов и использовать его для определения ортогональности векторов, угла между векторами, проекции одного вектора на другой и на ось.

5.Вычислять векторное произведение векторов; определять направление вектора, соответствующего векторному произведению, использовать векторное произведение для определения коллинеарности векторов и площади параллелограмма (треугольника), построенного на перемножаемых векторах.

6.Вычислять смешанное произведение векторов, использовать его для определения компланарности векторов, левосторон- ности-правосторонности репера, определять объем параллелепипеда (пирамиды), построенного на векторах.

7.Использовать векторную алгебру для решения геометрических задач (определения расстояния между точками, деление отрезка в заданном отношении, определение расположения четырех точек в одной плоскости).

8.Вычислять координаты вектора при изменении системы координат.

Тема 4: АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В аналитической геометрии свойства геометрических объектов описываются и изучаются алгебраическими методами с использованием основных результатов линейной и векторной алгебры, а также элементарной геометрии.

К геометрическим объектам относятся точки, прямые и кривые линии, плоскости и кривые поверхности.

149

Исходным геометрическим объектом принимается точка. Другие геометрические объекты рассматриваются как множества точек, удовлетворяющих определенным условиям в двумерном или трехмерном координатном пространстве.

Изучение начинают с прямых линий и плоскостей, которые относятся к линейным геометрическим объектам, так как описываются алгебраическими уравнениями первого порядка в прямоугольных системах координат.

4.10. Прямые линии на плоскости

Теорема (об общем уравнении прямой на плоскости)

1)В прямоугольной системе координат любая прямая может быть задана уравнением Ax + By + C = 0, где A, B, С – некоторые действительные числа

2)Любое уравнение вида Ax + By + C = 0, где A, B, С – дей-

ствительные числа, удовлетворяющие условию А2 + B2 ≠ 0, задает на плоскости некоторую прямую.

Определе ние: Вектор n = (A, B) называется нормальным вектором прямой Ax + By + C = 0.

Теорема (о совпадении прямых)

1) Разные прямые на плоскости задаются разными уравнени-

ями

2) Два уравнения A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 задают на плоскости одну и ту же прямую тогда и только тогда, ко-

гда A1 = B1 = C1 .

A2 B2 C2

Следствие: Два уравнения A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + + C2 = 0 задают на плоскости параллельные прямые тогда и толь-

ко тогда, когда A1 = B1 ≠ C1 .

A2 B2 C2

Теорема (частные случаи общего уравнения)

Пусть прямая задана уравнением Ax + By + C = 0, тогда:

1)если A = 0, то прямая параллельна оси ОХ;

2)если В = 0, то прямая параллельна оси ОУ;

3)если С = 0, то прямая проходит через начало координат.

150

Рис. 54. Уравнение прямой «в отрезках»

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Даны точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.

x − x1	=	y − y1
x2 − x1		y2 − y1

является уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

Уравнение прямой «в отрезках»

Рассмотрим общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0 при условиях A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 и преобразуем его: − A x − B y −1 = 0,

									C C
x		+	y		=1. Обозначив −	C	= a, −	C	= b, получим уравнение
−C		+	−C		=1. Обозначив −	A	= a, −		= b, получим уравнение
−C	A		−C			A		B
	A			B

прямой «в отрезках»:

x + y =1.

Поскольку при x = 0 из уравнения получаем y = b, а при y = 0 получим x = a, то числа a, b являются длинами отрезков, отсекаемыми прямой на осях координат,

взятыми с соответствующим знаком (рис. 54).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть прямая задана уравнением Ax + By + C = 0 и B ≠ 0, тогда

	y = −			A	x −	C	. Обозначим	−	A	= k ,

				B		B			B
	−	C	= b: y = kx + b.
Рис. 55. Уравнение прямой
		B
с угловым коэффициентом			Число			k называется		угловым

коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси ОХ (рис. 55).

Угол отсчитывается против часовой стрелки.

151

Пусть k = tgα, тогда:

–если 0 < α < π , то k > 0; 2

–если π < α < π, то k < 0; 2

–если α = π , то k = ±∞ и уравнение с угловым коэффициен- 2

том использовать нельзя.

Модуль параметра b прямой равен длине отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy. При k = 0 получим y = b – уравнение прямой, параллельной оси Ox.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку,

y − y0 = k (x − x0 ),

где (x0, y0 ) – данная точка; k – произвольный параметр.

Каноническое уравнение прямой

			x − x1	=	y − y1		,

			m			p
где (x1, y1 )		– координаты некоторой точки, лежащей на прямой;
r	= (m, p)	– направляющий вектор прямой, т.е. любой вектор,
s
линия действия которого параллельна прямой.
	Параметрические уравнения прямой
			x = x1 + mt
			y = y1			+ pt
						,
где (x1, y1 )		– координаты некоторой точки, лежащей на прямой;
r	= (m, p)	– направляющий вектор прямой; t – переменный пара-
s

метр (0 ≤ t ≤ ∞).

4.1.10. Основные задачи для прямых на плоскости

1. Угол между прямыми

Угол ϕ между прямыми A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = = 0 равен углу между их нормальными векторами, поэтому

152

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20222.21 Mб1580.pdf
#
06.12.20222.21 Mб4581.pdf
#
06.12.20222.21 Mб1582.pdf
#
06.12.20222.22 Mб0583.pdf
#
06.12.20222.23 Mб17584.pdf
#
06.12.20222.25 Mб0585.pdf
#
06.12.20222.26 Mб4586.pdf
#
06.12.20222.29 Mб2587.pdf
#
06.12.20222.31 Mб2588.pdf
#
06.12.20222.32 Mб3589.pdf
#
06.12.20222.33 Mб2590.pdf