585

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ной. Например, для матрицы B =

объединенная мат-

ной. Например, для матрицы B =

объединенная мат-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.12.2022

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Пример. Вычисляя алгебраические дополнения элементов матриц, найти матрицы, обратные к данным, и произвести проверку

	1	2			1	2	3
	1	2
а) A =	3	9	;	B =	4	5	6	.
	3	9			7	8	10
					7	8	10

Решение: а) Вычислим определитель матрицы: A = 1 2 = 3 9

= 9 − 6 = 3. Вычеркивая первую строку и первый столбец, получим A11 = (−1)1+1 9 = 9. Аналогично, вычеркивая первую строку и

второй столбец,								получим						A12 = (−1)1+2 3 = −3.							Аналогично
A21 = (−1)2+1 2 = −2; A22 = (−1)2+2 1=1. Значит,
																	2
											1	9		−2		3	−
								−1			1	9		−2		3	−	3
						A			=						=		1		.
						A			=						=				.
											3 −3			1		−1

																	3
																	3
					A−1A =				1		9		−2 1		2		1 3		0	1		0
Проверка:												−3	1			=			3	=	0	.
Проверка:																=				=		.
										3				3 9			3 0					1
б) Вычислим определитель матрицы:
			1	2	3		= 50 +84 +96 −105− 48 −80 = −3.
			1	2	3
	B	=	4	5	6
	B	=	4	5	6
			7	8	10

Вычисляем алгебраические дополнения элементов:


B11	= (−1)1+1	5		6		= 2,	B12	= (−1)1+2	4		6	= 2,
		8		10					7		10
B13	= (−1)1+3		4	5	= −3,		B21	= (−1)2+1		2	3		= 4,
B13	= (−1)1+3		4	5	= −3,		B21	= (−1)2+1		2	3		= 4,
			7	8						8	10

B = (−1)2+2									1 3					= −11, B = (−1)2+3														1 2			= 6,
22									7		10							23										7	8
									7		10																	7	8
B = (−1)3+1							2 3					= −3,					B =			(−1)3+2							1 3			= 6,
B = (−1)3+1							2 3					= −3,					B =			(−1)3+2							1 3			= 6,
31							5				6							32									4		6
							5				6																4		6
B = (−1)3+3								1 2				= −3.
B = (−1)3+3								1 2				= −3.
33								4			5
								4			5
																		−	2	−			4			1

															−3				3				3
						2					4				−3				3				3
B−1 = −				1		2					−11 6						=	−	2		11			−2 .
B−1 = −						2					−11 6						=	−						−2 .
			3																3			3
			3			−3					6				−3				3			3
						−3					6				−3			1		−2						1
																		1		−2						1


																2	4			−3					1	2			3
Проверка: B							−1			B = −			1			2	−11			6					4	5			6			=

													3
													3			−3 6				3					7 8				10
																−3 6				3					7 8				10
		−3 0									0				1 0			0
= −	1		0		−3						0		=			0 1		0
																			.
	3																		.
	3		0 0								−3					0 0		1
			0 0								−3					0 0		1

2.3.20. Нахождение обратной матрицы способом элементарных преобразований

Трудоемкость вычисления обратной матрицы с помощью присоединенной (союзной) матрицы резко возрастает при увеличении порядка матрицы. Например, для получения союзной матрицы третьего порядка необходимо вычислить 9 миноров второго порядка, для нахождения союзной матрицы четвертого порядка – уже 16 миноров третьего порядка.

Объем вычислений можно существенно сократить, если использовать специальную матрицу, которую получают, приписывая к квадратной матрице A справа единичную матрицу того же размера. Указанная специальная матрица называется объединен-

рица имеет вид

Матрицу A| E приводят к матрице ментарных преобразований строк:

0	0
1	0
		.
0	1

E | A−1 с помощью эле-

1)умножения всех элементов любой строки на одно и то же

число;

2)прибавления ко всем элементам любой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

3)перестановки строк.

Замечание. Вместо элементарных преобразований строк можно использовать элементарные преобразования столбцов:

1)умножение всех элементов любого столбца на одно и то же число;

2)прибавление ко всем элементам любого столбца соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число;

3)перестановка столбцов.

Пример 1. Методом элементарных преобразований найти матрицы, обратные к данным

	1	2			1	2	3
	1	2		B =
а) A =	3	9	;	B =	4	5	6	.
	3	9			7	8	10
					7	8	10

	1	2	\|	1	0
Решение: а) Рассмотрим матрицу	3	9	\|	0	1	.

Вычтем из второй строки матрицы первую строку, умножен-

ную на 3:	1	2	\|	1	0
	0	3	\|	−3	1	.

														1			1	2	\|	1		0
		Умножим вторую строку на												1	:							1	.
		Умножим вторую строку на											3		:		0	1	\|	−1		1	.


																						3
		Прибавим к первой строке вторую строку, умноженную на −2:
	1	0	\|	3		−		2

								3
								3		. Слева от черты получили единичную матри-
				−1			1
0		1	\|
0		1	\|
							3
цу, значит справа – матрицу, обратную к матрице A.
					3			−		2

										3
		A−1 =								3	.
					−1				1


									3
												1	2			3		\|	1	0	0
												4	5			6		\|	0	1	0
		б) Рассмотрим матрицу										4	5			6		\|	0	1	0	.
												7	8			10		\|	0	0	1
												7	8			10		\|	0	0	1

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на −4, а к третьей строке – первую, умноженную на −7:

1	2	3 \|	1	0	0
0	−3	−6 \| −4		1	0
						.
0	−6	−11 \|	−7	0	1

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на −2:

1	2	3	\|	1	0	0
0	−3	−6	\| −4		1	0
							.
0	0	1	\|	1	−2	1

Прибавим ко второй строке третью, умноженную на 6, а к первой строке – третью, умноженную на −3:

1 2			0	\| −2		6	−3
	0	−3 0		\|	2	−11 6
								.
	0	0	1	\|	1	−2	1

Поделим вторую строку на −3:

1		2	0	\|	−2 6				−3
						2	11
	0	1	0	\|	−	2	11		−2	.
	0	1	0	\|	−			3	−2	.
					3			3
	0	0	1	\|	1		−2		1

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на −2:

1	0	0	\|	−	2	−		4		1

					3			3

					2		11
0	1	0	\| −						−2		.
					3	3

0	0	1	\|	1		−2				1

При элементарных преобразованиях матрицы A| E для исключения текстовых пояснений целесообразно применять условные обозначения, использованные при «обнулении» элементов определителя (см. 2.10 ). При этом необходимо учитывать следующие отличия:

1)при перестановке двух строк (столбцов) множитель (–1) перед матрицей не ставят;

2)при выносе общего множителя строки (столбца) за знак матрицы его просто отбрасывают;

3)в любую строку (столбец) матрицы можно внести общий множитель, при этом матрицу в целом не нужно умножать на величину, обратную этому множителю.

Замечание. Для контроля правильности вычислений можно использовать контрольный столбец.

ненной матрицы с контрольным столбцом.





				1	−6		17		−10
A		−1	= −	1		7	1		−5		.
A			= −			7	1		−5		.
			25
			25			5	−10		0
						5	−10		0
2.3.30. Решение СЛАУ методом обратной матрицы
a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
Систему уравнений			..........................
			..........................

a	x + a			x	+...+ a			x	= b
n1		1	n2	2			nn	n		n

можно представить в виде матричной формы

a11	a12 ...
a	a	22	...
21		22

...	...	...
an1	an2 ...

a11

Если обозначить A = a21

...

an1

a1n		x1			b1
a		x			b
2n			2		=	2	.
...			...			...
ann		xn			bn
a12		...		a1n
a		...		a
	22	...			2n – матрица коэффи-
...				...
an2		...		ann

x1			b1
x		– матрица-столбец неизвестных,	b		–
циентов, X =	2		B =	2
	...			...
xn			bn

матрица-столбец правой части, то матричное уравнение запишется в краткой форме: AX = B . Умножим обе части этого равенства слева на матрицу A−1 : A−1AX = A−1B. Тогда EX = A−1B и X = A−1B . То есть, для решения системы достаточно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу-столбец правой части.

Пример. Решить неоднородную СЛАУ с помощью обрат-

	x + 2y + 3z =10
ной матрицы:	4x + 5y + 6z = 38 .

7x + 8y +10z = 47

Решение: запишем систему в матричном виде:

1		2	3	x		10
	4	5	6		=		38
	4	5	6	y	=		38	.
	7	8	10				47
	7	8	10	z			47
									1	2	3
Найдем матрицу, обратную к матрице A =									4	5	6	:
Найдем матрицу, обратную к матрице A =									4	5	6	:
									7	8	10
									7	8	10

		= − 1	2	4	−3
	−1	= − 1		−		.
A			2	11	6
A		3	2	11	6
		3	−3	6	−3
			−3	6	−3

Вычислим матричное произведение
				2		4	−3	10			3
A	−1	B = −	1		2	−11	6		38	=		2	,

			3
					−3 6		−3		47			1

значит, x = 3; y = 2; z =1.

	Проверка: подставим найденные корни в уравнения систе-
мы:	3 + 2 2 + 3 1 =10 – верно, 4 3+ 5 2 + 6 1= 38 – верно,
7 3	+ 8 2 +10 1= 47 – верно.

Задачи к разделу 2.30

2.3.1. Для данных матриц найти обратные матрицы двумя различными способами и убедиться, что результаты совпадают

2		0		1	2			1		2
а)	0	;		б)		;		в)	7 15		;
	0	5		0	1				7 15
i		0		i	2i			2 + 3i			3 + 4i
г)	0		;	д)	−i		;	е)	4	+ 5i	.
	0	−i		3i	−i				4	+ 5i	5 + 6i

2.3.2. Для данных матриц найти обратные матрицы двумя различными способами и убедиться, что результаты совпадают


2		0		0		1 2			3		1			0		0			1 5			0
	0	3		0	;		0	5	6	;		4		5		0				0 2		0
а)						б)					в)						;		г)				;
	0	0		4			0	0	2			7		8		2				0 0		3

2			1	1		1		2	3		2				1	3				3 2		−4
	1		2	1	;		4 5		6	;			5		3	2		;	з)		4 1	−2
д)						е)					ж)													.
	1		1	2			7	8	0				1		4	3					5 2		−3

2.3.3. Для данных матриц найти обратные матрицы двумя различными способами и убедиться, что результаты совпадают

1− 2i		0	0			2i 1			i
	0	2 − 3i	0		;		0	3i	2
а)						б)				.
	0	0	3−				0	0
				4i					4i

2.3.4. Для данных матриц найти обратные матрицы наиболее рациональным способом

1 0 0				0		1 2 −3						4		3		2	1	0
	0 1		5	0			0		1		5	−1	;		0	3	2	1	;
а)	0 0		1	0	;	б)	0		0		1	0		в)	0	0	3
																		2
	0 0		0	1			0		0		0	1			0	0	0
																		3
1		1	1		1			0		1	1	1		2		−5 1			2
1		−1 1			1	; д)			1	0 1		1	;		−3		7 −1 4
г)		1	−1		1				1	1	0	1		е)	5	−9 2			7	.
1
		1	1						1	1	1	0			4	−6		1	2
1					−1

2.3.5.По результатам задач 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.2.4 убедиться, что определитель обратной матрицы равен числу, обратному к определителю матрицы.

2.3.6.Решить системы уравнений матричным способом

	2x + y = 9	2x + 3y = 9		0,5x + 3,5y = 9,1
а)		; б)	; в)	;
3x − 2y = 7		3x − 2y = 7	1,2x − 2,4y = 7,8

		(	)		(	)
г)	ix + y =1		i −1	x +		2i +1	y =1+ i
г)	3x − iy = 2i	; д)					.
	3x − iy = 2i		(3+ i)x − 2y = 5 − 2i

2.3.7. Решить системы уравнений матричным способом

x + y + 3z = −1	3x1 + 4x2 − 2x3 =11
а) 2x − y + 2z = −4;	б)	2x1 + 4x2 − 2x3 = 4 ;

4x + y + 4z = −2	3x1 − 2x2 + 4x3 =11
		ix + y + 3z = −1
3x + 4y =17		ix + y + 3z = −1
в) 5y + 4z =14;	г) 2x − iy + 2z = −4.

3z + 5x =18	4x + y + 4iz = −2

2.3.8. Решить системы уравнений матричным способом

x + y + z + t =10	y + z + t =1
x − y + z + t = 6	x + z + t = 2	.
а)	; б)	.
x + y − z + t = 4	x + y + t = 3
x + y + z − t = 2	x + y + z = 4

2.40. Ранг матрицы: вычисление и применение

При решении СЛАУ возможны три случая:

1)СЛАУ имеет единственное решение;

2)СЛАУ имеет бесконечное множество решений;

3)СЛАУ не имеет решений.

Для определения того, к какому случаю относится рассматриваемая система, используют числовые характеристики матриц, которые называются рангами.

Определе ние: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20222.21 Mб1580.pdf
#
06.12.20222.21 Mб4581.pdf
#
06.12.20222.21 Mб1582.pdf
#
06.12.20222.22 Mб0583.pdf
#
06.12.20222.23 Mб17584.pdf
#
06.12.20222.25 Mб0585.pdf
#
06.12.20222.26 Mб4586.pdf
#
06.12.20222.29 Mб2587.pdf
#
06.12.20222.31 Mб2588.pdf
#
06.12.20222.32 Mб3589.pdf
#
06.12.20222.33 Mб2590.pdf