585

Пример 2. Определим, какая линия на плоскости задается

Поделим первое уравнение на a, второе – на b, возведем в квадрат каждое из поделенных уравнений и сложим:

т.е. параметрические уравнения задают эллипс с полуосями a и b. В частности, параметрическими уравнениями окружности будут уравнения

Пример 3. По прямой катится без скольжения окружность радиуса a. Составить параметрические уравнения линии, которую описывает произвольная точка окружности.

Пусть в начальном положении окружности нижняя точка окружности совпадает с началом прямоугольной системы координат, N – центр окружности через некоторое время, M – положение, в которое перешла нижняя точка начального положения окружности, S – основание перпен-

дикуляра, опущенного из точки N на ось OX, Р – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ту же ось, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую NS. Пусть t = MNQ – радианная мера угла, на который повернулась окружность, перейдя в новое положение (рис. 84).

Из рисунка определим координаты точки М:

x = OP = OS − PS = SM − MQ = at − asin t ;

y = MP = QS = NS − NQ = a − acost ;

193

4.5.7. Составить каноническое уравнение параболы, если а) известно уравнение директрисы x = 2;

б) парабола проходит через точки M1 (1; − 3), M2 (−2; −12).

4.5.8.Составить уравнение окружности, радиуса 1, касающейся осей координат.

4.5.9.Найти координаты центра и радиусы окружностей

4.5.10. Привести уравнения кривых к почти канонической форме. Построить кривые и проверить правильность построения, используя характеристические свойства кривых:

а) x2 − 4y2 + 4x + 8y − 4 = 0; б) x2 + 4y2 + 4x − 8y + 4 = 0; в) x2 − 4y − 2x − 7 = 0;

г) y2 − 4x − 2y − 7 = 0.

Рис. 87. Задача 4.5.11

4.5.11. Составить уравнения эллипса и параболы, изображенных на рис. 87.

4.5.12.Составить уравнение окружности, проходящей через точки M1 (1; − 3), M2 (−2; −12) и начало координат.

4.5.13.Какому условию должны удовлетворять координаты трех данных точек, чтобы через них можно было провести окружность?

4.5.14.Составить каноническое уравнение линии второго по-

рядка, проходящей через точки M1 (4; 4), M2 (6; 2).

4.5.15. Составить уравнение эллипса, оси которого параллельны осям координат и касающегося осей OX и OY в точках M1 (7; 0), M2 (0; 4).

4.5.16. По уравнению эллипса x2 + 4y2 + 4x − 8y + 4 = 0 определить полуоси эллипса, фокусное расстояние, эксцентриситет и уравнения директрис.

4.5.17. По уравнению гиперболы x2 − 4y2 + 4x + 8y − 4 = 0 определить ее полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот.

195

4.5.27. Проведя краткое исследование уравнения линии, проверив периодичность, симметрию и определив область существования, построить заданную линию в полярной системе координат а) ρ = ϕ; ρ = 2ϕ; ρ = −2ϕ; б) ρ = 4cosϕ; ρ = 2sin ϕ; ρ = −6sin ϕ;

в) ρ = cos2ϕ; ρ = cos3ϕ; г) ρ = sin 2ϕ; ρ = sin3ϕ;

д) ρ =1+ cosϕ; ρ =1− cosϕ; ρ =1+ sin ϕ; ρ =1− sin ϕ;

е) ρ =1+ 2cosϕ; ρ =1+ 0,5cosϕ; ж) ρ = cos2ϕ ; ρ = sin 2ϕ . 4.5.28. Построить линии второго порядка в полярной системе

координат:

4.5.29. Даны уравнения линий в прямоугольной системе координат.

Составить уравнения этих же линий в полярной системе. а) x2 + y2 = 25; б) y2 = 16 + 8x; в) x2 + y2 + 4y = 4x2 + y2 .

4.90. Алгебраические поверхности второго порядка

Поверхностью будем называть множество всех таких точек трехмерного пространства, которые в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению F (x, y, z) = 0. Если это урав-

нение является алгебраическим уравнением второй степени и этому уравнению соответствует какая-либо поверхность, то она называется алгебраической поверхностью второго порядка.

В общем случае в прямоугольной системе координат уравнение алгебраической поверхности второго порядка записывается в виде

A1x2 + A2 y2 + A3z 2 + B1xy + B2 xz + B3 yz + +C1x + C2 y + C3z + D = 0,

где A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3 – некоторые действительные числа, не все равные нулю.

197

В координатной плоскости xOy сечение эллипсоида – эллипс с полуосями a и b.

Вкоординатной плоскости xOz сечение эллипсоида – эллипс с полуосями a и c .

Вкоординатной плоскости yOz

сечение эллипсоида – эллипс с полуосями b и c .

При a = b ≠ c или a = c ≠ b или

b = c ≠ a получим эллипсоид вращения, у которого одно из сечений в соответствующей координатной плоскости является окружностью.

называется однополостным гиперболоидом (рис. 89).

Рис. 89. Гиперболоиды

В координатной плоскости xOy и параллельных ей плоскостях сечения однополостного гиперболоида – эллипсы или окружности.

называется двуполостным гиперболоидом (рис. 89). При a = b получаем гиперболоид вращения.

199

Поверхность второго порядка, определяемая уравнением

4.9.50. Конусы второго порядка

Поверхность второго порядка, определяемая уравнением

чим круговой конус.

Рис. 92. Параболический цилиндр и конус

4.9.60. Приведение уравнений поверхностей второго порядка в параллельно смещенных осях к каноническому виду

Уравнения поверхностей второго порядка в параллельно смещенных осях приводятся к каноническому виду по общей методике, являющейся аналогом аналогичной методики для кривых второго порядка.

Пример 1. Построить поверхность 4x2 – y2 – z2 + 32x –12z +

+44 = 0.

Решение:

4x2 + 32x – y2 – (z2 + 12z) + 44 = 0; 4(x2 + 8x) – y2 – (z2 + 12z) + 44 = 0;

4(x2 + 8x + 16 – 16) – y2 – (z2 + 12z + 36 – 36) + 44 = 0; 4(x2 + 8x + 16) – 64 – y2 – (z2 + 12z + 36) + 36 + 44 = 0; 4(x + 4)2 – y2 – (z + 6)2 = –16;

201