Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

585

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.12.2022

Размер:

2.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

можно трактовать как нахождение коор-

cosϕ =	A1A2 + B1B2					.

	A2	+ B2		A2	+ B2

	1	1	2		2

tg ϕ = ± k1 − k2 , где k1, k2 – угловые коэффициенты рассматрива- 1+ k1k2

емых прямых.

Следствие: 1) прямые y = k1x + b1 и y = k2x + b2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1k2 = –1.

2) прямые y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны тогда и только тогда, когда k1 = k2.

2. Определение расстояния от фиксированной точки до прямой

Пусть дана прямая Ax + By + C = 0 и точка M0(x0, y0), тогда искомое расстояние можно вычислить по формуле

d = Ax0 + By0 + C .

A2 + B2

3. Пересечение двух прямых

Линейное уравнение с двумя неизвестными можно рассматривать как уравнение прямой на плоскости, значит, решение си-

стемы a11x + a12 y = b1a21x + a22 y = b2

динат точек, принадлежащих одновременно двум данным прямым. Поэтому, в случае ≠ 0, прямые, задаваемые уравнениями системы, пересекаются; в случае = x = y = 0 – совпадают; и в

случае					= 0, но x ≠ 0 или y ≠ 0 – параллельны.
		Пример. Построить прямые по известным уравнениям
		а) 3x − y + 6 = 0; б) 5x + 7y = 0; в) 5y + 4 = 0.
		Решение: а) перейдем к уравнению пря-
мой «в отрезках»; для этого перенесем сво-
бодный член уравнения в его правую часть и
поделим					уравнение на (–6): 3x − y = −6,
	x	+	y	=1 (рис. 56); б) в уравнении нет сво-
	−2
		6

бодного члена, поэтому нельзя воспользо-
ваться уравнением «в отрезках». Восполь-	Рис. 56. Пример а)
	Рис. 56. Пример а)
	153

зуемся уравнением с угловым коэффициентом: y = − 5 x. Оче- 7

видно, прямая проходит через начало координат.

Рис. 57. Пример б), в)

в) Снова воспользуемся уравнением с угловым коэффициен-

том: y = − 4 = −0,8. Прямая параллельна оси Ox. 5

Пример: определить параметры k,b прямых

а) 2x − 5y −10 = 0; б) 2x + 5y = 0; в) y = 7; г) x + y =1. 5 10

Решение: для нахождения параметров k,b достаточно выразить в уравнении переменную y :

а) 5y = 2x −10; y =

x − 2; значит, k =

, b = −2;

б)

y = −

x; значит, k = −

, b = 0;

в) k = 0, b = 7;

г)

=1−

; y = −2x +10; значит, k = −2, b =10;

(

)

(

6,5

)

Пример. Даны

вершины

треугольника A

0,1 ,

(

)

12,−1

. Составить уравнение высоты треугольника, проведен-

ной из вершины С.

Решение: прямая, отрезок которой является высотой CD тре-

угольника ABC , перпендикулярна прямой AB .

Составим уравнение прямой AB как уравнение прямой, про-

ходящей через две заданные точки:

x − x1

y − y1

x2 − x1

y2 − y1

154

x − 0

y −1

;

y −1

; 4x = 6

(

y −1 ; 6y = 4x + 6; y =

x +1.

6 − 0 5 −1

)

Угловой коэффициент высоты определим из условия k1k2 = −1:

= −1; k2 = −

. Уравнение искомой высоты можно записать в

виде y = − 3 x + b, где коэффициент b пока не определен. 2

Значение этого коэффициента определим из того, что прямая

(

−

)

−1 = −

+ b;

CD проходит через

данную точку C 12,

1 :

b = 17. Уравнение высоты – y = −

x +17 .

Пример. Определить, какие из данных прямых параллель-

ны и какие перпендикулярны:

1) 3x − 2y +17 = 0;

2) 6x − 4y − 9 = 0;

3) 6x + 4y − 5 = 0;

4) 2x + 3y −16 = 0.

Решение: Прямая 1) параллельна прямой 2), так как

−2 ;

−4

прямая 1) не параллельна прямой 3), так как

≠ −2 , по той же

причине прямая 1) не параллельна прямой 4). Прямые 3) и 4) па-

раллельны.						6 +
Прямая	1)	не перпендикулярна прямой 3),	так	как	3	6 +
+(−2) 4 ≠ 0.
Прямая	1)	перпендикулярна прямой 4),	так	как	3 2		+
+(−2) 3 = 0. Прямая 2) перпендикулярна прямой 4), прямые						3)	и

4)не перпендикулярны.

Пример. На плоскости дана точка A(1; 2).

а) составить уравнение прямой, проходящей через данную

							r
точку перпендикулярно вектору n = (4; 5);
б) составить уравнение прямой, проходящей через данную
точку параллельно вектору l							= (3; 4);
в) составить					уравнение		прямой, проходящей через точки
A 1; 2	)	и B	(	−2; 3	)	;
(	)		(		)
							155

−4(x −1) + 3( y − 2) = 0.

г) составить уравнение прямой, проходящей через данную точку под углом 45° к положительному направлению оси OX ;

д) составить уравнение прямой, проходящей через данную точку и отсекающей на осях координат треугольник площади 10; Решение: а) Пусть точка M(x, y) лежит на прямой, тогда векторы AM = (x −1; y − 2) и n = (4, 5) взаимно перпендикулярны и,

следовательно, их скалярное произведение равно нулю: 4(x −1) + 5( y − 2) = 0.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим общее уравнение прямой: 4x + 5y −14 = 0.

б) Сведем задачу к предыдущей: для этого надо найти какойлибо вектор, перпендикулярный данной прямой. Но если вектор перпендикулярен искомой прямой, то он будет перпендикулярен и вектору l = (3; 4). Вектор n = (−4; 3) перпендикулярен вектору

l , так как их скалярное произведение равно нулю. Значит, Общее уравнение прямой:

−4x + 3y − 2 = 0.

в) По приведенной выше формуле получим:	x −1	=	y − 2	.

	−2 −1 3− 2

Раскрыв это равенство как пропорцию и приведя подобные слагаемые, получим общее уравнение прямой: x + 3y − 7 = 0.

г) Если речь идет о каких-либо углах, лучше воспользоваться уравнением прямой с угловым коэффициентом y = kx + b.

Поскольку k = tg 45o =1, то y = x + b. Подставим в последнее

(	)	:	2 = 1+ b . Значит, b =1 и
уравнение координаты точки A 1; 2		:	2 = 1+ b . Значит, b =1 и
уравнение прямой: y = x +1.

д) Если речь идет об отрезках, отсекаемых прямой на осях координат, удобно бывает воспользоваться уравнением прямой

«в отрезках» x + y = 1. По условию 1 + 2 =1 и 1 ab = 10.

a b						a	b		2
	1		2		b + 2a			b + 2a
		+		=1			=1			=1
			b			ab			20
Решим систему a					:			;		;
ab = 20					ab = 20			ab = 20

156

b +

2a = 20

b + 2a = 20

;

(20 − 2a)

;

ab =

= 20 a(10 − a) = 10

−10a +10

= 0

b = 20 − 2a

b =10 m 2

10 ± 60

;

a =

a = 5 ±

Задача имеет два решения:

=1 и

5 −

5 + 15

10 − 2

=1.

+ 2

Задачи к разделу 4.10

4.1.1. Дано общее уравнение прямой: 5x − 6y + 30 = 0.

а) составить уравнение этой прямой с угловым коэффициен-

том;

б) составить уравнение этой прямой «в отрезках»;

в) составить параметрические уравнения этой прямой;

г) построить эту прямую в системе координат.

4.1.2. Даны

параметрические уравнения

прямой: x = 2t + 3,

y = 4t − 5;

а) составить общее уравнение этой прямой;

б) составить уравнение этой прямой «в отрезках»;

в) составить уравнение этой прямой с угловым коэффициен-

том;

г) построить эту прямую в систе-

ме координат.

4.1.3. а)

Составить

уравнения

изображенных на рис. 58 прямых L1 и

L2 . б) Найти площади треугольников

OAB и OAC.

4.1.4. Дано уравнение прямой L

на плоскости: 5x − 6y + 30 = 0 и точка

Рис. 58. Задача 4.1.3

(

)

A 1; 2

а) составить уравнение прямой, параллельной L и проходящей через данную точку;

157

б) составить уравнение прямой, перпендикулярной L и проходящей через данную точку;

в) составить уравнение прямой, проходящей через данную точку под углом 45° к прямой L.

4.1.5. На плоскости задан треугольник с вершинами в точках A(2; 3); B(−3;4); C (0; − 5);

а) составить уравнение его медианы AM ; б) составить уравнение его высоты AH .

4.1.6. Даны три вершины параллелограмма A(2; 3); B(−3;4);

C (0; − 5);

а) какие координаты могут быть у его четвертой вершины? б) какие координаты могут быть у центра параллелограмма? в) доказать, что площадь параллелограмма не зависит от ко-

ординат его четвертой вершины.

4.1.7. Определить взаимное положение пар прямых на плоскости:

а) 6y − 2x −10 = 0 и 3x − 9y +15 = 0;

б) 5x − 6y + 30 = 0 и x = −6t + 3, y = 5t − 2;

в) x = −6t + 3, y = 5t − 2 и x = 6t − 3, y = −5t + 2.

4.1.8.Составить уравнения прямых, от которых равноудалены три данные точки A(2; 3); B(−3;4); C (0; − 5).

4.1.9.Найти взаимное расположение трех прямых:

а) y = logx 3, 2x + 3y + 6 = 0 и 2x − 6y − 3 = 0; б) y = logx 3, 6x + y −11 = 0 и x + y −1 = 0;

в) 6y − 2x −10 = 0, y = logx 3 и 3x − 9y +15 = 0.

4.1.10.Составить уравнения прямых, параллельных прямой x + y −1 = 0 и отстоящих от нее на расстояние 2.

4.20. Плоскость в пространстве

Теорема (об общем уравнение плоскости)

1)Любая плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, В, С, D – некоторые действительные числа.

2)Любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 при условии

A2 + B2 + С2 ≠ 0 задает в пространстве некоторую плоскость.

158

О п р е д е л е н и е:	вектор
n(A, B, C) называется	нормальным

вектором плоскости Ax + By + Cz + D

= 0. В качестве нормального вектора можно использовать любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Теорема (о совпадении плоскостей)

Уравнения A1x + B1y + C1z + D1 = 0

иA2x + B2y + C2z + D2 = 0 задают одну

иту же плоскость тогда и только то-

гда, когда A2 = B2 = C2 = D2 .

A1 B1 C1 D1

Рис. 59. Нормальный вектор плоскости

Следствие: Плоскости A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + + C2z + D2 = 0 параллельны тогда и только тогда, когда

A2 = B2 = C2 ≠ D2 .

A1 B1 C1 D1

Очевидно, что если D = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 проходит через начало координат.

Пусть A = 0, тогда нормальный вектор плоскости Ax + By + + Cz + D = 0 лежит в координатной плоскости YOZ и, следовательно, перпендикулярен оси ОХ. Значит, плоскость Ax + By + Cz + D = = 0 параллельна оси ОХ.

Аналогично показывается, что если B = 0, то плоскость параллельна оси OY, а если C = 0, то плоскость параллельна оси OZ.

Из вышесказанного следует:

–если A = 0 и B = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости XOY;

–если A = 0 и С = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости XOZ;

–если B = 0 и С = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости YOZ;

–если A = 0 и D = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 проходит через координатную ось OX;

–если B = 0 и D = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 проходит через координатную ось OY;

–если С = 0 и D = 0, то плоскость Ax + By + Cz + D = 0 проходит через координатную ось OZ.

159

Пусть A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0. Преобразуем уравнение

Ax + By + Cz = –D:	x		+	y	+	z		=1. Переобозначив по-
	− D			− D		− D
		A					C
				B
стоянные, получим		уравнение				плоскости «в отрезках»

x + y + z =1. При x = 0, y = 0 из последнего уравнения следует, a b c

что z = c, при x = 0, z = 0 следует, что y = b и при z = 0, y = 0 следует: x = a. Значит, a, b, c – взятые с соответствующим знаком

длины отрезков, отсекаемых плоскостью x + y + z =1 от осей ко- a b c

ординат, поэтому уравнение x + y + z =1 называется уравнением a b c

плоскости «в отрезках».

Уравнение плоскости, проходящей через данную фиксированную точку M0 (x0 , y0, z0 ) перпендикулярно заданной нормали

r	= (A,B,C), можно записать в виде
n	= (A,B,C), можно записать в виде
	A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: M1 (x1 , y1, z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ) и M3 (x3 , y3, z3 ).

Решение: Допустим сначала, что данные три точки не лежат на одной прямой и, следовательно, задача имеет единственное

решение. Пусть точка M (x, y, z)			принадлежит искомой плоско-
сти, тогда векторы M1M2 , M1M3			и M1M компланарны. Условие
компланарности для этих векторов имеет вид
	x − x1	y − y1	z − z1

	x2 − x1	y2 − y1 z2 − z1		= 0.
	x3 − x1	y3 − y1	z3 − z1

Раскрыв определитель в левой части равенства и приведя подобные слагаемые, получим уравнение искомой плоскости.

Если точки M1 (x1, y1, z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ) и M3 (x3, y3, z3 ) лежат на одной прямой, то после раскрытия определителя вместо уравнения получим тождество 0 = 0.

160

4.2.10. Основные задачи для плоскости в пространстве

Большинство математических задач для плоскости в пространстве решается при совместном использовании решений основных задач:

0.Построение плоскости в пространстве по заданному уравнению.

1.Определение уравнения плоскости по заданным условиям.

2.Определение угла между плоскостями. Определение параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3.Определение расстояния от заданной точки до заданной плоскости.

Рассмотрим примеры решения указанных задач.

Пример 1. Построить плоскости в пространстве по уравнениям: а) 5x − 2y + 3z −10 = 0; б) 3x + 2y + z = 0; в) 3x + 2y = 6;

г) 2z − 7 = 0.

Решение: а) перейдем к уравнению

плоскости в

отрезках:

−

=1.

Откладываем на координатных осях от-

резки длин

2, − 5,

соответственно.

3 Соединяем эти точки отрезками (рис.

60);

Рис. 60

б) плоскость проходит через начало координат. В системе координат от ее начала строим нормаль к

плоскости r ( ), а плоскость изображаем перпендикулярно

нормали;

Рис. 61

в) перейдем к уравнению плоскости в отрезках: x + z =1. 2 3

161

Поскольку нет слагаемого с координатой y, то плоскость будет параллельна оси Oy;

г) плоскость отсекает на оси Oz отрезок длины 7 , две другие 2

оси координат она не пересекает.

Пример 2. Дано общее уравнение плоскости 5x − 6y − 2z + + 30 = 0; составить уравнение плоскости, параллельной данной и проходящей через точку A(3; 4; 5).

Решение: Если две плоскости параллельны, то нормальный вектор первой плоскости является нормальным вектором и для второй плоскости. Значит, уравнение искомой плоскости имеет вид 5x − 6y − 2z + D = 0,где D – некоторая, пока неизвестная, постоянная. Для определения этой постоянной подставим в уравнение 5x − 6y − 2z + D = 0 координаты точки A(3; 4; 5): 15 − 24 − −10 + D = 0. Следовательно, D =19 и искомая плоскость задается общим уравнением 5x − 6y − 2z +19 = 0.

Пример 3. Найти угол между плоскостями A1x + B1y + C1z +

+D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Решение: угол между плоскостями, очевидно, равен углу между их нормальными векторами. По формуле вычисления косинуса угла между векторами получим формулу косинуса угла между плоскостями:

cosα =		A1A2	+ B1B2 + C1C2					.


	A2	+ B2	+ C2		A2	+ B2	+ C2
1		1	1	2		2	2

Из этой формулы, в частности, следует: Условие перпендикулярности прямых:

A1A2 + B1B2 + Ñ1Ñ2 = 0.

Пример 4. Найти расстояние от точки M0 (4,3,0) до плоскости, проходящей через точки M1 (1,3,0), M2 (4,−1,2), M3 (3,0,1).

Решение: составляем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

x −1	y − 3	z − 0
x −1	y − 3	z − 0
4 −1	−1− 3 2 − 0		= 0.
3−1	0 − 3	1− 0

162

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20222.21 Mб1580.pdf
#
06.12.20222.21 Mб4581.pdf
#
06.12.20222.21 Mб1582.pdf
#
06.12.20222.22 Mб0583.pdf
#
06.12.20222.23 Mб17584.pdf
#
06.12.20222.25 Mб0585.pdf
#
06.12.20222.26 Mб4586.pdf
#
06.12.20222.29 Mб2587.pdf
#
06.12.20222.31 Mб2588.pdf
#
06.12.20222.32 Mб3589.pdf
#
06.12.20222.33 Mб2590.pdf