585

ры базиса параллельным переносом приведем к общему началу (полюсу).

Определе ние: Совокупность трех базисных векторов e1,e2,e3 и общей начальной точки (полюса) называется репером

Если с линиями действия векторов репера совместим координатные оси с общей начальной точкой, то получим общую декартову (аффинную) систему координат. В общем случае такие системы являются косоугольными с разными масштабами для разных координатных осей. Указанные системы координат широко используют при описании свойств кристаллических структур и анизотропных материалов (анизотропными называют материалы, которые имеют различные физические свойства в разных направлениях. Например, дерево имеет различную прочность вдоль и поперек волокон).

Если в качестве базиса выбрать взаимно ортогональные векторы единичной длины (i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)), то

получим ортонормированный репер. Реперы разделяют на правосторон-

ние и левосторонние. Правосторонним

r r r} (правым) называют репер {O,i , j,k , в

котором векторы расположены друг относительно друга так, что глядя с конца третьего вектора, поворот от первого вектора ко второму на наименьший угол

виден против часовой стрелки. В противном случае репер называется левосто- Рис. 24. Репер

ронним (левым) (рис. 24).

Замечание. Если в правом репере поменять местами два вектора, то репер станет левым. И наоборот: если в левом репере поменять местами два вектора, то репер станет правым.

Если координатные оси совместить с линиями действия пра-

r r r}

вого ортонормированного репера {O,i , j,k , то получим правую

113

Операция разложения вектора на составляющие неоднозначна.

Рис. 27. Разложение вектора

Рис. 28. Вычитание векторов

на составляющие

3. Вычитание (разность) векторов.

Определе ние: Если векторы a и b приложены к одному началу, то вектор c с началом в конце вектора a и с концом в конце вектора b называется разностью c = b – a (рис. 29).

Определе ние: После умножения вектора a на скаляр λ

r

получаем новый вектор b с модулем λa , коллинеарный векто-

ру a.

r b = λa .

При λ > 0 векторы a и b сонаправлены.

При λ < 0 векторы a и b противоположно направлены. При λ = 0 вектор b = 0.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

Если использовать единичный вектор l 0 , сонаправленный с вектором l , то этот вектор можно представить в виде l = l l 0 .

Пример 1. Выразить вектор

b + c = a или, по правилу вычита-

Рис. 29. Пример 1

115

Линейная зависимость геометрических векторов имеет следующий геометрический смысл:

Теорема 1. Два ненулевых геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Следствие: Два любых неколлинеарных вектора на плоскости образуют базис на плоскости.

Теорема (О пропорциональности коллинеарных векторов)

Если векторы a и b коллинеарны, то найдется число λ такое,

r

что a = λb .

Теорема 2. Три ненулевых геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Следствие 1. Три любых некомпланарных вектора в трехмерном векторном пространстве образуют базис.

Следствие 2. Четыре геометрических вектора в трехмерном векторном пространстве всегда линейно зависимы.

Теорема (о разложении вектора по базису)

1) Пусть a1, a2 – базис на плоскости, b – вектор на этой плос-

117

в) Обобщить результат на случай произвольного правильного многоугольника. Дать физическую интерпретацию результата

3.1.9. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка O является серединой диагонали AC1, а точка M – серединой грани ABCD. Разложить вектор OM по базе AB , AD, AA1 . Разложить тот же вектор по базе AB , AC , AC1 .

3.1.10. В тетраэдре ABCD точки M и N являются серединами ребер AB и CD соответственно. Разложить вектор MN по базе

AB , AC , AD.

3.50. Проекции геометрического вектора в прямоугольной системе координат

Геометрический подход к векторам как направленным отрезкам реализуется в аналитической форме через проекции векторов в прямоугольных системах координат. В данном разделе показано, что проекции геометрических векторов на оси координат можно рассматривать как координаты векторов. Это позволяет использовать методы линейной алгебры и геометрии при изучении геометрических векторов.

Рассмотрим основные виды проекций векторов в прямоугольной системе координат.

3.5.10. Векторная проекция вектора на ось или плоскость (составляющая вектора)

или плоскости. Точки начала и конца вектора A′B′ совпадают с

119

Рис. 35. Векторная проекция вектора

Замечание 2. В приложениях векторные проекции вектора обычно называют составляющими вектора, а числовые проекции – просто проекциями вектора на ось или плоскость.

3.5.30. Проекции вектора на вектор

Определе ние: векторная проекция вектора a на вектор b равна векторной проекции вектора a на ось, совпадающую с линией действия и направлением вектора b. Обозначение:

r

Πpbr a = ab .

Определе ние: Числовая проекция вектора a на вектор b равна числовой проекции вектора a на ось, совпадающую с ли-

нией действия и направлением вектора b . Обозначение:

Πpbra = ±ab .

щий по направлению с вектором b.

3.5.40. Правило двойного проектирования вектора

В общем случае при определении числовых и векторных проекций на ось (вектор) используют правило двойного проектирования, суть которого следует из рис. 37.

Рис. 37. Правило двойного проектирования

Пусть необходимо вектор AB спроектировать на направление оси l. Выбираем плоскость π, в которой лежит ось l, проектируем вектор AB на плоскость π и получаем векторную проекцию Πpπ AB = A′B′. Затем векторную составляющую A′B′ проектиру-

121