книги / Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока

Как увидим ниже, при несимметричных коммутациях или в системе с несимметричными параметрами уравнения для нулевых составляющих будут связаны со всеми осталь­ ными уравнениями.

Таким образом, мы получили систему из 23 уравнений (2-1), (2-3). аналогичных двух уравнений для СГ2 (2-5) — (2-7), (2-13) - (2-16). (2-18) и (2-19) с 23 неизвестными иы,

любые симметричные переходные электромеханические про­ цессы, могущие возникнуть в схеме рис. 2-1.

Подобным же образом можно было бы записать все вышеприведенные уравнения, если относить уравнения ли­ нии электропередачи к осям, жестко связанным с ротором второго синхронного генератора. Легко видеть, что в итоге проведения означенных преобразований уравнения для ли­ нии и обеих нагрузок, а также уравнения первого закона Кирхгофа в узле 2 усложнились. Действительно, будучи от­ несены к неподвижным осям, уравнения первого закона Кирхгофа в точке 2 были проще, чем после их преобразо­

преобразования.

В уравнениях второго закона Кирхгофа для статических элементов цепи (линия электропередачи и обе нагрузки)

появились нелинейности типа произведений Mgj cos 8, iig sin 8,

ротором, линия электропередачи представляется элементом,

годы примененного преобразования по сравнению с записью всех уравнений в фазных координатах совершенно ясны, ибо упрощение уравнений второго закона Кирхгофа и элек­ тромагнитных моментов обоих генераторов получилось го­ раздо более значительным, чем усложнение уравнений первого закона Кирхгофа и уравнений второго закона Кирхгофа для статических элементов цепи.

Нужно отметить, что примененное преобразование,, ко­ гда уравнения каждой из машин отнесены к осям, жестко

рассматриваемой схемы наиболее рациональным в смысле наибольшего упрощения всей системы уравнений. В самом деле, если относить всю систему уравнений к осям, жестко овязанным с ротором одной из синхронных машин, то без нужды будут усложнены уравнения другой синхронной ма­ шины (и в общем случае всех остальных). Если же отно­ сить всю систему уравнений к синхронной системе осей, то проще, чем в предыдущих двух способах выбора осей, будут уравнения линии электропередачи, «о без нужды услож­ нятся уравнения всех оинхронных машин.

Если положить, что у синхронных генераторов отсут­ ствуют успокоительные обмотки, то в вышеприведенных уравнениях нужно принять:

(2-22)

Число неизвестных и суммарный порядок уравнений при этом уменьшаются на четыре.

Полученные уравнения дают возможность исследовать ряд практически интересных случаев. Так, рассмотрим ра­ боту системы рис. 2-1 в режиме установившегося асинхрон­ ного хода, когда

v a

Поскольку роторы синхронных машин вращаются с по­ стоянными, хотя и различными скоростями, то движение их задано. Поэтому отпадает необходимость в рассмотрении уравнений движения роторов и уравнений электромагнит­ ных моментов, т. е., иначе говоря, отпадает необходимость в рассмотрении механических переходных процессов. Сле­ дует рассмотреть только электромагнитные переходные процессы, которые, если к тому же полагать оба генера­ тора лишенными успокоительных обмоток, определяются следующей системой уравнений:

Заменив индекс 1 на 2, получим аналогичные уравнения для СГ2.

Уравнения линии Л:

Уравнения первого закона Кирхгофа в точке 2:

8 — 02 9i — 02о — 0j. (2-39)

Сопротивления и индуктивности синхронного генератора, СГ2, эквивалентного шинам бесконечной мощности, считаем, как обычно, равными нулю.

Так как теперь токи генератора СГ1 и линии Л одинако­ вы, т. е. i\d = i*d' h , — h r объединим уравнения (2-27) и (2-28), переписанные с учетом успокоительных обмоток, с уравнениями (2-6) и (2-7) для линии электропередачи, ис­

поперечной составляющих напряжения на шинах бесконеч­ ной мощности, отнесенные к осям, жестко связанным с ро­ тором генератора, эквивалентного системе бесконечной мощности, т. е. к синхронным осям, и являющиеся задан­

Добавив сюда уравнение (2-29) обмотки возбуждения, получим, что поведение генератора конечной мощности бу­ дет определяться в этом случае системой трех нелинейных уравнений (2-40), (2-41), (2-44) и трех линейных уравнений цепей его ротора (2-29), (2-42) и (2-43).

Наконец, при рассмотрении режима установившегося асинхронного хода генератора конечной мощности в той же

(2-24) и (2-23) и подставить их значения в (2-40) и (2-41),

(2-43), получим систему пяти линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами, частное реше­ ние которых определяет переходные электромагнитные процессы в режиме установившегося асинхронного хода для системы генератор— лини»— шины бёсконечной мощно­ сти.

Выше уравнения линии электропередачи и уравнения первого закона Кирхгофа (2-9) и (2-10) мы относили к осям, жестко связанным с ротором первой синхронной ма­ шины [см. уравнения (2-6) — (2-8), (2-11) и (2-12)]. Но,

разумеется, с такими же основаниями их можно относить к осям, жестко связанным с ротором второй машины. Резуль­ таты расчета должны быть одинаковыми в обоих случаях, ибо очевидно, что они не должны зависеть от того, к какой системе координат относить вышеуказанные уравнения.

Уравнения линии, отнесенные к осям, жестко связанным

Перепишем теперь равенства (1-2а), относя фазные токи линии гл„, 1лЬ, 1ЛС один раз к осям, жестко связанным с ротором СГ1 а другой раз — с ротором СГ2:

носительно «jo, получим (2-49).

Отсюда заключаем, что, относя исходные уравнения ли­ нии, выраженные через ее фазные токи, — см., например, (1-1), к координатным осям, жестко связанным с ротором С П , мы получили уравнения (2-6) — (2-8), которые оказа­ лись решенными относительно ии , и1ч, и10. Относя те же самые уравнения линии к осям, жестко связанным с рото­

Покажем, что они верны и в' отношении уравнений пер­ вого закона Кирхгофа в любых узлах цепи.

Относя, например, уравнения первого закона Кирхгофа в узле 2 рис. 2-1 к осям, жестко связанным с ротором СГ1, умножим слева (2-10) на матрицу [Лi], получающуюся из (1-3) при /г=1:

Здесь мы снабдили составляющие токов нагрузки Н2 ин­ дексом б1( чтобы отличить их от тех же составляющих в (2-14), отнесенных к осям, жестко связанным с ротором СГ2. Записав выражения, аналогичные (2-50), для тока на­ грузки:

(2-50а)

и выразив из двух любых уравнений (2-50а) iH2d{9i) и;'н2г(9) через iu2d и iv2g, учтя (2-5), получим:

(2-56)

Представим полученное равенство в развернутом виде и решим его относительно iid, <2,, ^о:

*2*» *'го> получим соотношения (2-57).

Стало быть, аналогично выводу, сделанному выше для уравнений линии и статических нагрузок, заключаем, что, относя записанные для фазных токов, т. е. исходные урав­ нения первого закона Кирхгофа в любых узлах цепи к осям, жестко связанным с ротором СГ2, и решая их отно­ сительно соответствующих составляющих токов, будем иметь те же самые уравнения, которые получим, относя ис­ ходные уравнения первого закона Кирхгофа к осям, жест­ ко связанным с ротором СГ1.

Из теории линейных алгебраических уравнений извест­ но, что если некоторая их система содержит такую подгруп­ пу уравнений, которая может быть представлена решенной как относительно одних, так и других неизвестных, то в си­ лу того, что этот процесс решения является суммой опера­ ций сложения, вычитания, умножения и деления, произво­ димых тождественно над обеими частями каждого из урав­ нений, входящих в вышеуказанную подгруппу, решение ис­ ходной системы уравнений будет тем же самым, относи­ тельно каких бы неизвестных мы ни представили решенны­ ми уравнения вышеуказанной подгруппы, входящей в ис­ ходную систему уравнений.

Поэтому, получив при отнесении исходных уравнений линии и первого закона Кирхгофа в узле 2 к осям, жестко связанным с ротором второй синхронной машины, уравне­ ния (2-47) — (2-49) и (2-55) или вытекающие из них урав­ нения (2-53), (2-54), (2-49) и (2-57), можно с таким же правом решать их совместно с остальными уравнениями системы, как и уравнения (2-6) — (2-8) и (2-14), получен­ ные при отнесении тех же самых исходных уравнений к осям, жестко связанным с ротором первой синхронной ма­ шины.

При решении вопроса о том, к каким осям относить уравнения статических элементов сети и уравнения первого закона Кирхгофа, следует руководствоваться простотой по­ лучаемых после преобразования уравнений.

В качестве примера неизменности решений исходной си­ стемы уравнений, относительно каких бы неизвестных ни была решена подгруппа уравнений, входящая в эту систе­ му, рассмотрим систему следующих четырех уравнений с

o%h d + Ьг iîq + cz = 0.