книги / Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока
..pdf
|
|
s |
|
|
|
+ д “ - ч “ |
+ £ |
^ |
л ' ] + ( “° + 4 “, х |
||
|
|
k= 1 |
|
|
PJ |
|
X [COS Ô (/) — COS Ôq] y |
YJPu) |
|||
|
|
(4-59) |
|||
|
|
|
к = 1 PkZ' (P*) |
||
Далее найдем в численном виде значения сумм, входя |
|||||
щих в |
выражения |
(4-57) — (4-59): |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
V |
J W . |
= 0,06238 е ~ U75’ ,0_3' + |
е-°’,0°656' х |
||
^Рк2 {Pu)
к= 1
X (— 0,1165 cos 1,025м - 1,С94 sin 1/25/) + |
<TM657if X |
||||
|
X (0,2155 cos 0,9473/ — 0,0992) sia 0,9473;); |
(4-60) |
|||
|
У -IÉ E 1L |
/ * ' = 0,597 M 1,375 • I0_3< + e - 0,100656' |
x |
||
|
ft = i P*Z(pi) |
|
|
|
|
X ( — 1,0612 cos 1,Р25^ — 0 13846 sin 1,025/) -f <ГМ657< X |
|||||
|
X (0,11706C3S 0,9473/+ 0,1875sia 0,9473/); |
/4-61) |
|||
V -J j f c L £ i |
= 0,00885 M 1,375 • 10_3< + M °'10065a X |
||||
|
p*z (P*) |
|
|
|
|
X (— 0,572 cos 1,025/— 0,0955sin 1,0250 + |
M 1'1657' X |
||||
|
X (0,052 cos 0,9473/ + 0,102 sin 0,9473^; |
(4-62) |
|||
2 |
|
|
—0,100656/ |
|
|
Phy-{Pk) |
0,0516 ^—1,375 • 10~3t + e |
X |
|
||
|
|
|
|
|
|
X (— 0,097 cos 1,025/ + |
0,5808 sin 1,025/) + |
<?"U657< X |
|||
|
X (0,11588 cos 0,9473/— 0,05816 sin 0,9473/); |
(4-63) |
|||
|
y - y & |
L - f r |
0,01855 e—1,375 • 10—% + |
|
|
|
kZv р*2,(ао |
|
|
|
|
+ <r°-10065V |
- 0,0628 cos 1,025/ + 0,6064 sin 1,025/) + |
||||||||
+ e~',m7t (0,1195 cos 0,9473/ — 0,0552 sin 0,9473/);. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4-64) |
V |
P* |
— __Л 177 p—'-375 • |
i _—0,100656/ ^ |
||||||
^ |
e |
~ |
0,177 e |
+ e |
|
|
x |
||
к= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (— 0.5876cos 1,025/— 0,0816 sin 1.023/) + |
*TU657< X |
||||||||
X (0,0648 cos 0,9473/ -f 0,1038 sin 0,9473/). |
(4-65) |
||||||||
Выражения |
(4-57) — (4-59) |
легко |
проверить. |
При /= 0 |
|||||
должно быть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1<М’ |
|
lq (i=0)= |
lqü> |
% (f=0)= |
‘Фао- |
|
||
Нетрудно видеть, что в правых частях этих выражений |
|||||||||
члены, содержащие |
разности [sin ô (/)— sin ô0] |
и [cosô(/) — |
|||||||
— cosô0]> обращаются |
в нуль при /= 0 , так как |
ô<= 0 = ô0. |
|||||||
Поэтому при /= 0 |
должны |
обращаться |
в |
нуль |
порознь |
||||
все шесть квадратных |
скобок, |
являющихся |
коэффициента |
||||||
ми при множителях Au sin ô„ и Amcosô0 и находящихся в правых частях тех же выражений (4-57) — (4-59). В са мом деле, так как режим, предшествующий аварии, может
быть любым, то 00 может иметь любое значение. Поэтому |
|
A usinô0 и Au cosô0 также могут иметь |
произвольные и |
различные значения. |
|
Следовательно, именно порознь должны |
при /= 0 обра |
щаться в нуль все шесть вышеуказанных квадратных ско
бок. Легко проверить с |
учетом |
равенств (4-60) — (4-65), |
(4-22) — (4-26) и (4-32), |
(4-33), |
что вышеуказанные квад |
ратные скобки при ( —0 действительно обращаются в нуль.
Полагая |
Аи = |
— 0,5, |
будем |
иметь ц> 4- Au = 1,164 — |
|||
— 0.5 |
= |
0,664; |
Au si |
ô0 = — 0 5 |
0 ,1 1 7 = —0,0585; |
||
Au cos ô0 = |
— 0,5 • 0,993 = |
— 0,4965. |
|
||||
Выражая |
время |
в |
секундах, а |
переменные углы 1.025/ |
|||
и 0,9473/ — в градусах |
и |
учитывая |
соотношения (4-60) — |
||||
— (4-65), получим окончательные |
формулы для токов id и |
||||||
и потокосцеплений |
и ф,: |
|
|
||||
id = 0,54977 +0,0585 [— 0,06238e- 0 '1323' + 1,0985e-31’6' X
X sin (18457/ — 6,08°) — 0,238e-3665' sin (17 C50i — 65,46°)] —
— 0,664 [—0,06238 e-0,4323' + 1,0985 e-31,6^ (18 457/ —
— 6,08°) — 0,238e-366,s'sin (17 050* — 65,46°)] (sin ô —
— sin ô0) + 0,4935 [0,597e-0,4323' — 1,07e-31,6< sin (18457* +
|
|
+ 82,67°) + 0,22C9e-366’5' sin (17 050 / + 32°)] — |
|
||
|
- |
0,664[ 0,597e-0,4323' - |
1,07e-31,6' sin (18 457* + 32,67°) + |
||
+ |
0,2209 e- 3662 sin (17 050* + 32°)] (cos ô — cos ô0); |
(4-66) |
|||
|
|
/, = 0,15 — 0,0585 [0,0088 e-0,4!i23' — 0,58e-31,6'X |
|
||
X sin (18457/ + 80,4°) + |
0,11445 e -366,5' sin (17 050/ + |
27’)] + |
|||
+ |
0,664 [0,00885e~ °’4323' — 0,58e-31,6'sin |
(18 4 5 7 /+ 80,4°) + |
|||
|
+ 0 ,1 1445e366,5' sin (17 050 / + 27°) ] X |
(sin ô — sin ô0) - |
|||
|
|
— 0,4965[— 0,0516e-0,4323' — 0,5892e-31,6' x |
|
||
|
X sin (18457*— 9,48°) + 0,1296e-366,5' sin (1 7 0 5 0 /— |
||||
|
— 63,38°)] + 0,664 [— 0,0516 e- °’4323' — 0,5892e-31,6' X |
||||
|
X sin (18 457/ — 9,48°) + 0,1296 e~ 366,5<sin (17 050/ — |
||||
|
|
— 63,38°) ] (cos 6 — cos ô„); |
(4-67) |
||
|
^ |
= 0.6787 — 0,0585 [0,01855e- 0 ’4323' + 0,61 e-31’6^ |
|||
|
X sin (18 457 * - 5,91°) — 0,1317e-366,5' sin (17 050* — |
||||
|
|
— 65,38°)] + 0,664 [0,01855e-0,4323< + 0,61e-31,6< x |
|||
|
X si n (18 457 / — 5,91 °) — 0,1317e366,5' sin (17 050/ — |
||||
— 65,38’)] (sin ô - s i n |
ô0) - 0 ,4 6 9 5 [— 0,177e- 0 ’4323' — |
||||
— 0,5928^~31,6tsia (18 4571 + 82,57°) + 0,1224<Гзб6'5' X
X si i (17 o501 + 31,97°) ] + 0,664 [ - 0,177<T°,4323< -
— 0,5928 ё~г ш si.i (18 457/ + 82,57°) + 0,1224 e ~ m,5t X
X Sin |
(17050/ -f- 31,97°) J (cosô — cosô0); |
(4-68) |
|
|
^ = |
- 1 ,2 5 /,. |
(4-69) |
Ниже приведены результаты проверки соотношений |
|||
(4-66) — (4-68) |
при /= 0 : |
|
|
|
Ч<=о> = |
0,368(0,384); |
|
|
= |
0,2159(0,214); |
|
|
|
1.0287(1,0205), |
|
причем в скобках приведены значения тех же величин, по лученные в результате электрического расчета нормального режима.
Поскольку целью расчета является исследование влия ния на динамическую устойчивость синхронной машины свободных магнитных полей, связанных с обмогкой стато ра, а эти поля затухают весьма быстро, то кривые токов, потокосцеплений и электромагнитного момента, действую щего на ротор, строились только для первой одной деся той доли секунды после возникновения аварии (т. е. после внезапного уменьшения напряжения на шинах бесконечной мощности). Для их построения воспользуемся методом по следовательных приближений. Примем в первом прибли жении, что угол о весьма мало меняется за одну десятую
долю секунды (т. е. остается |
в течение этого времени по |
|
стоянным и равным углу ô0. |
Тогда |
разности (sin ô — sinô0) |
и (co sô — cosô0) будут pa ны |
нулю |
для любого момента |
времени в предела* одной десятой секунды после возникно
вения аварии. |
Поэтому в составе |
id, iq и |
r|>d |
придется |
|
учесть только квадратные скобки, не зазисящия |
от угла ô |
||||
и являющиеся |
функциями времени. Значения |
id, iq, |
и |
||
приведены в табл. 3, а кривые их |
построены |
на |
рис. |
4-5. |
|
Затем был подсчитан по формуле
T = iqb — éd% |
(4-70) |
электромагнитный момент, действующий на ротор синхрон-- ного генератора. Поскольку в этой формуле все величины выражены в относительных единицах, то коэффициент 3/2 в ее правой части отсутствует [см. (2-185)||. Значения его также приведены в табл. 3, и кривая его построена на рис. 4-5.
Для определения угла Ô между э. д. с. генератора и
напряжением на шинах бесконечной мощности в функции времени следует 2 раза проинтегрировать следующее нели нейное дифференциальное уравнение второго порядка:
•/ 1 ? " = г д - :г* |
(4-71) |
|
|
Значение по |
|
Значение по |
|
Знзчение по |
|
|
/, сек |
Ч |
правочных чле |
V |
правочных чле |
+<г, |
правочныхчле |
'V |
|
нов в составе |
нов в составе |
нов в составе |
Т, отн. ед. |
|||||
|
отн. ед. |
зависящих |
отн. ед. |
iqt зависящих |
отн. ед. |
зависящих |
отн. ед. |
|
|
|
от угла о |
|
от угла Ô |
|
от угла 8 |
|
|
0,000 |
0,384 |
0 |
0,214 |
0 |
1,03065 |
0 |
—0,2675 |
0 3195 |
0,005 |
0,87702 |
— |
0,42244 |
— |
0,75270 |
_ |
—0,5274 |
О!8755 |
0,01 |
1,22713 |
—0,000166 |
—0,16250 |
—0,000364 |
0,55182 |
—0,000075 |
—0,2079 |
О’,3456 |
0,015 |
0,80802 |
— |
—0,0165 |
— |
0,78220 |
_ |
0,0206 |
—0,'0305 |
0,02 |
0,56022 |
—0,000036 |
0,19195 |
0,00603 |
0,91920 |
—0,000223 |
—0,2391 |
0,3102 |
0,025 |
0,88532 |
— |
0,31612 |
— |
0,74150 |
__ |
—0,3950 |
О]5835 |
0,03 |
1,03387 |
—0,000828 |
0,15350 |
—0,000814 |
0,65250 |
0,000055 |
—0,1909 |
0,2930 |
0,035 |
0,79117 |
— |
0,07945 |
— |
0,7875 |
_ |
—0,0991 |
0,'1410 |
0,04 |
0,69352 |
—0,000325 |
0,21111 |
0,000709 |
0,8438 |
—0,00044 |
—0,2639 |
0,3608 |
0,045 |
0,85827 |
— |
0,24318 |
--- |
0,74342 |
— |
—0,3200 |
0,4546 |
0,05 |
0,93837 |
—0,001377 |
0,1541 |
—0,000813 |
0,7071 |
0,000059 |
—0,1937 |
0,2911 |
0,055 |
0,80137 |
— |
0,12689 |
— |
0,78080 |
— |
—0,1710 |
012361 |
0,06 |
0,74571 |
—0,000391 |
0,19289 |
0,000524 |
0,8027 |
—0,000577 |
—0,2402 |
0,3400 |
0,065 |
0,86857 |
— |
0,21210 |
— |
0,7443 |
--- |
—0,2659 |
0,3862 |
0,07 |
0,88319 |
—0,000407 |
0,15928 |
—0,000643 |
0,7451 |
—0,00005 |
—0,1992 |
0,2761 |
0,075 |
0,80178 |
— |
0,14872 |
— |
0,7754 |
_ |
—0,1856 |
0,2662 |
0,08 |
0,78679 |
—0,001020 |
0,19064 |
0,000264 |
0,8001 |
—0,000716 |
—0,2380 |
0,3531 |
0,085 |
0 85183 |
— |
0,19065 |
— |
0,7493 |
— |
—0,2380 |
0,3390 |
0,09 |
0,85651 |
—0,000490 |
0,16380 |
—0,000593 |
0,7496 |
—0,000167 |
—0,2043 |
0,2880 |
0,095 |
0,81197 |
— |
0,16265 |
— |
0,7717 |
_ |
—0,2029 |
0,2716 |
0,1 |
0 81852 |
—0,000357 |
0,18267 |
0,000060 |
0,7708 |
—0,000707 |
-0,2281 |
0,3278 |
где J — постоянная инерции синхронного генератора, при веденная к базисным условиям и равная:
J b ^ = J = |
катал7 ^ 7 = |
6 ^ |
= 2 ,85 |
сек-, |
(4-72) |
Тд = T t=0 механический момент, действующий |
на ротор ге |
||||
нератора |
со стороны |
первичного |
двигателя; |
||
Тд считается постоянным |
в |
течение всего времени - |
|||
рассматриваемого процесса. Как следует из при веденного выше электрического расчета нормаль
ного |
режима, |
|
|
|
|
ГД = |
Р0 = |
0,318. |
(4-73) |
По формуле |
(4-70) Гд |
получает весьма близкое к это |
||
му значение |
|
|
|
|
|
Гд = |
Ти=о = 0,3195. |
(4-74) |
|
Если в соотношениях (4-66) — (4-68) не |
пренебрегать |
|||
членами, зависящими от угла |
ô , то, как было уже сказа |
|||
но выше, уравнение (4-71 ) является нелинейным. Однако, следуя методу последовательных приближений, мы прене
брегли |
в первом приближении членами, |
зависящими |
от |
угла |
ô в соотношениях (4-66) — (4-68). |
При этом |
id, |
и фй оказываются функциями только времени, и уравнение (4-71) становится линейным. Но интеграцию его проще производить графически, поскольку с достаточной точно стью известна кривая Т в функции времени. Для этого на рис. 4-6 построены кривые Т и Т д и произведено дву
кратное графическое интегрирование уравнения (4-71), в результате которого на том же рис. 4-6 построены кривые
dd
<а0 + и о° в функции^ времени.
На основании построенной кривой ô° = /(/) возможно определить влияние членов, зависящих от угла ô в вы ражениях (4-66)—(4-68). Эти поправочные члены, завися
щие от |
угла Ô |
при |
посредстве множителей (sln ô — sin Ô0) и |
|
(cosô — cosô0), |
подсчитаны |
для токов id, iq и потокосцеп- |
||
ления |
согласно |
методике, |
указанной Крэри и Уорингом |
|
[Л. 40]. Значения этих поправочных членов приведены
также в табл. 3. |
|
|
|
|
|
Легко видеть, что за |
время, |
равное 0,1 |
сек |
после воз |
|
никновения аварии, члены, зависящие от угла |
Ь, |
не ока |
|||
зывают почти никакого влияния на величины токов |
id, i, |
||||
и потокосдеплений |
и 4V |
Поэтому |
взятое |
выше |
|
первое приближение для |
id, |
iq, tpd, |
и |
Т является |
|
в пределах 0,1 сек после возникновения аварии вполне достаточным по точности. Иными словами, при учете влия ния свободных магнитных полей, связанных с обмоткой статора и соответствующих им токов на динамическую устойчивость синхронной машины, можно, оставаясь в пре делах достаточно высокой точности, на протяжении первой
десятой доли секунды после возникновения аварии подсчи
тывать токи |
id, |
iq |
и потокосцелления |
без |
|||
учета членов, зависящих от угла |
ô. Правда, в рассматри |
||||||
ваемом случае это влияние особенно мало, |
потому что |
за |
|||||
0,1 сек угол |
меняется |
всего на |
1,15° |
(он |
уменьшается |
с |
|
6,7° при *=0 до 5,55° ко времени *=0,1 |
сек). Однако толь |
||||||
ко в течение этого |
времени и следует считаться с наличием |
||||||
свободных магнитных полей, связанных с обмоткой стато ра. В дальнейшем они практически затухают. Но и в случае более быстрого изменения утла à , судя по тому, насколь ко малы в рассматриваемом случае члены, зависящие от него, можно все же предполагать, что влияние этих членов будет незначительно. Заметим еще, что за первую десятую долю секунды после возникновения аварии особенно значи тельно угол à вообще не может измениться вследствие значительной инерции роторов генератора и турбины. Р а зумеется, нужно иметь в виду, что эти выводы делаются только для схемы станция — шины бесконечной мощности с учетом нагрузки, причем синхронный генератор станции
предполагается лишенным успокоительной |
обмотки. |
|||
Вернемся теперь |
к учету влияния угла |
Ô (точнее его |
||
производной |
dS \ |
в исходных уравнениях Парка. Здесь |
||
I |
||||
возможны два |
пути. |
Первый — это |
аппроксимация кривой |
|
ô = /(/) некоторым |
аналитическим |
выражением, после че- |
||
|
d 8 |
можно найти аналитически. При этом |
||
го производную-^ ' |
||||
46dS
=1 + представится в вышеуказанных исходных
уравнениях некоторой известной функцией времени. После
этого вышеуказанные уравнения будут содержать перемен- d 0
ные коэффициенты |
и интегрировать их операторным |
методом или вообще нельзя, или весьма затруднительно. Поэтому следует проинтегрировать их одним из численных методов и в результате получить второе приближение для кривой ô = /(* ) . Кривую à = /(/) в первом приближении можно будет аппроксимировать некоторой параболой, как
это следует из рис. 4-6. Второй путь — это учет выражения dfl
= 1 + 0 прямо в числовом виде, поскольку из перво-
го расчета значение |
rfe |
известно в числовом виде для |
каждого момента времени. Следуя этому пути, тоже можно найти второе приближение для кривой о = /(/). Заметим, од-
de
нако, что подробная методика учета выражения |
= |
db
— — 1 4-~^“ при решении исходных уравнений здесь нами
не рассматривается и должна быть освещена особо.
На рис. 4-5 построены кривые |
электромагнитного мо |
||
мента, полученные путем решения уравнений Парка |
(Г) и |
||
по методу Лонгли (7Л ). Легко видеть, что кривая |
Тл |
яв |
|
ляется! почти криволинейной осью |
(т. е. средней |
линией) |
|
для кривой Т. Разумеется, кривая |
Т л> являющаяся аперио |
||
дической функцией времени, совершенно не позволяет су дить о колебаниях электромагнитного момента, обусловлен ных учетом свободных магнитных полей, связанных с обмоткой статора. Зато эти колебания в полной мере от ражены в кривой 7V Кривая Т относительно своей криво линейной оси, т. е. кривой Тл , является затухающей сину
соидальной функцией времени с периодом, почти в точности равным 0,02 сек, т. е. периоду стационарного режима. Это является следствием взаимодействия токов в статоре, обус ловленных полями, связанными со статором, и тока в рото ре, обусловленного полем, связанным с ротором, с одной стороны, и тока в статоре, обусловленного полем, связан ным с ротором, и током в роторе, обусловленных полями, связанными со статором, — с другой. Кривая показывает, что в первом полупериоде после наступления1 аварии ее максимальная амплитуда почти в 2,5 раза превышает зна
чения ординат кривой |
Тл . Однако кривая Т очень быстро |
|||||||||
затухает, так |
что ко времени t = 0,1" ординаты кривых Т и |
|||||||||
Тл |
различаются очень мало. Из кривых рис. 4-6 |
следует, |
||||||||
что за рассматриваемое |
|
|
|
db |
отрица |
|||||
время производная |
||||||||||
тельна, скорость |
|
ло |
стремится |
к синхронной, |
оста |
|||||
со0 -f- |
|
|||||||||
ваясь |
меньше |
последней |
(величина ее |
за |
время |
процесса |
||||
меняется чрезвычайно мало, оставаясь в |
пределах |
между |
||||||||
(о0 |
и 0,999 |
<»о) |
и угол |
à уменьшается. Однако умень |
||||||
шение угла |
ô |
за |
время, |
равное 0,1 сек, |
весьма |
невелико |
||||
(всего 1,15°). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|