книги / Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока

P. A. Лютера {Л. 62—65], С. А. Лебедева [Л. 66, 67], П. С, Жданова [Л. 66—71], Н. Ф. Марголина [Л. 72, 73], Д. А. Го­ родского [Л. 74—80Q, H. Н. Щедрина [Л. 81—85], Л . Н. Гру­ зова [Л. 86—88], А. Г. Иосифьяна [Л. 89—91], Е. Я. Казовского [Л. 92—99], В. А. Веникова [Л. 100— 106], автора [Л. 1, 107, 109— 114, 116— 118, 120, 121], А. А. Янко-Триниц- кого [Л. 122— 124], P. М. Кантор [Л. 67, 125, 126], И. С. Бру­ ка [Л. 127, 128], С. А. Ульянова (Л. 100] и многих других советских ученых.

Целый ряд вышеупомянутых вопросов изложен также в учебниках и монографиях, принадлежащих М. П. Костенко. [Л. 129], Г. Н. Петрову [Л. 130, 131], С. А. Ульянову [Л. 85, 132, 133], И. А. Сыромятникову [Л. 134, 135], В. С. Кулебакину (Л. 136, 137], И. М. Марковичу [Л. 138], М. Г. Чиликину [Л. 139], Л. Г: Мамиконянцу [Л. 140], В. А. Тафту [Л. 141], А. Н. Ларионову [Л. 142], А. А. Эфендизаде [Л. 143], М. И. Алябьеву [Л. 1440, А. И. Долгинову [Л. 157] и др.

Необходимо также отметить, что в последнее время, кроме вышеупомянутых американских и советских работ, появился целый ряд английских и немецких статей и моно­ графий, посвященных теории переходных процессов в син­ хронных и асинхронных машинах и электрических систе­ мах. К числу их относятся работы Лайбля (Laible) [Л. 145, 146], Рейнхардта (Reinhardt) [Л. 147], Адкинса (Adkins) [Л. 148], Вауэлса (Vowels) [Л. 149], Чинга и Адкинса (Ching and Adkins) [Л. 150], Рюденберга [Л. 151] и др.

В своих вышеупомянутых работах [Л. 23, 24] Парк пред­ ложил метод замены переменных в уравнениях переходных электромеханических процессов синхронной машины, назы­ ваемый иначе преобразованием координат. Этот метод сво­ дится к тому, что вместо мгновенных значений фазных ве­ личин токов, напряжений и потокосцеплений вводятся не­ которые мгновенные расчетные величины, представляющие собой определенные комбинации соответствующих мгновен­ ных величин трех фаз и определенным образом выражаю ­

стить уравнения потокосцеплений и электромагнитных мо­ ментов синхронных и асинхронных машин, исключив из них при определенных, обычно принимаемых допущениях пе­ риодические функции угла 0 , каковыми являлись, как мы видели выше, индуктивности и взаимоиндуктивности обмо­ ток машины. Вышеуказанные расчетные величины токов, напряжений и потокосцеплений называют обычно d, q, 0 со­ ставляющими или d, q, 0 координатами. С геометрической точки зрения введение координат d, q, 0 истолковывается как отнесение уравнений синхронной машины к координат­ ным осям, жестко связанным с ее ротором.

В дальнейшем была предложена система координат f, b, О [Л. 47], составляющие которой, например, для токов связаны с составляющими d, q, 0 так:

С геометрической точки зрения составляющие if и it располагаются в плоскости комплексного переменного, так­

ских процессов синхронной машины в системах координат d, q, 0 или /, Ъ, 0 получаем, что периодические коэффициен­ ты (cos 0, cos 2 6) исключаются из уравнений потокосцепле­ ний и электромагнитного момента. Не учитывая влияния на­ сыщения на параметры синхронной машины, получаем, что все потокосцепления станут линейными функциями токов, а электромагнитный момент машины станет суммой парных произведений токов. Этот факт показывает, что вышеука­ занные преобразования существенно упрощают исходные уравнения машины, записанные в фазных координатах.

Однако в итоге этого преобразования усложняются и становятся нелинейными уравнения второго закона Кирхго­ фа для цепи статора, ибо, кроме э.д.с. трансформации, в них появляются еще э.д.с. вращения, определяемые произ­

Отсюда также видно, что при изучении только электромаг­ нитных переходных процессов, т. е. процессов при постоян­ ной скорости вращения ротора (a = c o n s t), благодаря при­ менению преобразования в системах координат d, q, 0 или

нений переходных процессов синхронной машины, записан­ ных в координатах а, |3, 0, периодические коэффициенты, естественно, не исключаются. Но все же в этой системе они записываются несколько проще, чем в фазных координатах. В некоторых случаях (например, при исследовании динами­ ческих перенапряжений) уравнения второго закона Кирхго­

lo — V

Эти координаты впервые применил Ку [Л. 31] при иссле­ довании переходных процессов в синхронных машинах. Можно показать, что <(+), i{_y i0 могут быть в простей­

шем случае также представлены в форме:

Отсюда следует, что *{+)и *(_)Образуютея двумя попар­

но сопряженными комплексами, вращающимися в разные стороны с частотой со.

Отметим, что с математической точки зрения системы токов, которые ввел Рюденберг, соответствуют токам г(+)

чили в работах Д. А. Городского [Л. 78, 79], который ввел метод так называемых основных и сопровождающих токов, частным случаем которого является метод симметричных составляющих.

Любопытно отметить, что применение систем координат а, Р, 0 и у> 0 весьма целесообразно для машин с трех­ фазной симметричной обмоткой на роторе (асинхронные машины или машины двойного питания), ибо при записи для них уравнений переходных процессов в системах коор­

при расчете двухфазного короткого замыкания [Л. 67]. Она оказалась несколько удобнее в этом случае, чем другие си­ стемы координат. Но, вообще говоря, при несимметричных коротких замыканиях ни одна из вышеуказанных систем координат не может привести к исключению периодических коэффициентов из всей системы уравнений машины.

Вышеуказанные системы координат нашли себе приме­ нение и при анализе переходных электромеханических про­ цессов асинхронной машины, как это следует из работ Стэнли [Л. 51], Е. Я- Казовского (Л. 92—98], А. А. ЯнкоТриницкого [Л. 123], Ку '[Л. 32, 33, 35], автора [Л. 113, 116, 117, 120, 121] и др. Однако наиболее полное преобразование уравнений асинхронной машины было дано А. А. ЯнкоТриницким в его вышеупомянутой работе. Эта работа долж ­ на быть отмечена потому, что она начинается с записи урав­ нений асинхронной машины в фазных координатах и, после­ довательно вводя соответствующие матрицы преобразова­ ний в комплексной форме, сначала рассматривает так назы­ ваемое основное преобразование, а затем преобразование поворота. В результате их автор приходит к системе уравне­

ний, не содержащих периодических коэффициентов. Недо­ статком этого метода преобразований является его слож­ ность. В настоящей работе будет показано, что вместо вы­ шеуказанных двух преобразований можно ввести одно и притом не содержащее комплексных выражений.

Таким образом, применение рассмотренных систем ко­ ординат существенно облегчает анализ переходных электро­ механических и электромагнитных процессов в синхронных и асинхронных машинах не только в смысле упрощения расчетов, но и в смысле создания большей наглядности и ря­ да физических представлений, сопутствующих расчетам.

Необходимо отметить, что изложенные методы расчета применяются не только к крупным и относительно крупным синхронным и асинхронным машинам, входящим в состав энергетических систем, а также электрических систем ко­ раблей и самолетов, но и к малым машинам (микромаши­ нам), входящим в состав всевозможных схем автоматиче­ ского регулирования и управления. Однако для малых ма­ шин, как показано в работах Ю. С. Чечета [Л. 152— 154], нужно подчеркнуть тенденцию более быстрого роста актив­ ных сопротивлений машин по сравнению с их индуктивно­ стями при уменьшении их мощностей и увеличении частоты с 50 до 400—500 гц. Это приводит в свою очередь к умень­ шению электромагнитной постоянной времени Г, по срав­ нению с механической постоянной времени Тм. Например, в среднем для крупных асинхронных двигателей постоянная

0,05 до 1,5 сек). Отсюда видно, что для крупных асинхрон­ ных машин Гр и 7 в среднем соизмеримы. Переходя же, на­

Нужно также отметить, что имеется ряд работ, посвя­ щенных исследованию несимметричных коротких замыка­ ний в одиночной синхронной машине. Однофазным корот­ ким замыканием занимались еще Догэрти и Найкл [Л. 3SJ.

В дальнейшем H. Н. Щедриным был предложен точный ме­ тод решения задачи расчета двухфазного короткого замы­ кания {Л. 83]. Базируясь на теории двух реакций, он приме­ нил для решения задачи эквивалентную схему, состоящую из бесконечного числа звеньев. Как всегда в подобных слу­ чаях, точность решения задачи определяется числом вы­ бранных элементов цепной схемы.

Исследованием двухфазного и однофазного короткого замыкания занимался Д. А. Городский [Л. 77, 79]. Предло­ женный им метод позволяет получить точное решение зада­ чи для любого вида короткого замыкания, причем основан он на использовании как метода вращающихся полей, так и метода симметричных составляющих.

Однофазным коротким замыканием занимался также В. С. Горохов [Л. 79]. Из зарубежных последних работ от­ метим исследования Чинга и Адкинса [Л. 150], посвященные анализу переходных процессов в синхронном генераторе при несимметричных коротких замыканиях.

Из изложенного следует и, кроме того, будет видно из данной работы, что в области исследования переходных сим­ метричных и несимметричных электромагнитных и электро­ механических переходных процессов в одиночных синхрон­ ных и асинхронных машинах сделано очень многое. Есте­ ственно поэтому, что литература по этим вопросам чрезвы­ чайно богата и многочисленна.

Иначе обстоит дело с системой машин или, с точки зре­ ния теоретической электротехники, с исследованием пере­ ходных электромеханических процессов в электрических цепях, содержащих ряд машин переменного тока. Отме­ тим, что объем настоящей работы не позволил рассмотреть наличие в электрических цепях также машин постоянного тока и электронно-ионных приборов, хотя это вполне воз­ можно. Так, например, переходные электромеханические процессы в машинах постоянного тока на базе теории двух реакций рассматривались Кроном [Л. 25, 27], А. Г. Иосифьяном [Л. 91] и др., а цепи с электронно-ионными приборами

сприменением тензоров рассматривались Кроном [Л. 26, 3Ü]

идругими исследователями.

Подчеркнем, возвращаясь к цепи со многими синхрон­ ными машинами, что метод расчета установившегося режи­ ма электрических систем со многими генераторами был дан Д. А. Городским [Л. 74]. Еще в одной из первых работ Пар­ ка [Л. 23J были даны уравнения переходных электромехани­ ческих процессов для синхронной машины, включенной иа

шины бесконечной мощности, и для двух машин, включен­ ных на общие шины. Затем Е. Я. Казовский [Л. 97] рассмат­ ривал переходные электромагнитные процессы в схеме син­ хронный генератор—статическое сопротивление—асинхрон­ ный двигатель. Вопрос о точном аналитическом расчете не­ симметричных электромагнитных переходных процессов в одиночной синхронной машине и возможность проведения его для системы, содержащей несколько синхронных ма­ шин, рассмотрены также в работе В. А. Тафта [Л. 141]. В одной из работ Ку [Л. 34] рассмотрен метод составления уравнений переходных электромагнитных процессов в мат­ ричной форме для системы из 2,3 и п синхронных машин. В этой работе рассмотрены только электромагнитные пере­ ходные процессы, не приводящие к возникновению нулевых составляющих. Уравнения для них даны независимо, а не как частный случай уравнений переходных электромехани* ческих процессов, что было бы наиболее естественным. В качестве элементов сети рассмотрены емкость, статиче­ ская нагрузка и некомпенсированная' линия. Отсутствуют такие элементы сети, как линия, компенсированная про­ дольной емкостью, трансформатор и асинхронный двига­ тель. Матричные уравнения в этой работе записаны в такой форме, что инженеру-электрику, который пожелал бы вос­ пользоваться ими для расчета какого-либо симметричного электромагнитного переходного процесса на машине непре­ рывного или дискретного счета, нужно было бы предвари­ тельно проделать для этого еще очень большую работу.

Изложенное выше определяет задачи, которые предстоя­ ло решить автору при написании настоящей книги.

Книга посвящена применению метода, оперирующего с мгновенными значениями величин токов, напряжений, потокосцеплений, мощностей, моментов и угловых скоростей к расчету переходных электромеханических и электромагнит­ ных процессов в электрических цепях. Этот метод, как бу­ дет видно из дальнейшего, позволяет учесть ряд таких фак­ торов, установить влияние которых сколько-нибудь точно другими методами невозможно или очень трудно. Однако в силу этого он является и наиболее трудоемким.

Электрические цепи, которые рассмотрены в настоящей книге, содержат, кроме синхронных и асинхронных машин, еще ряд статических элементов — компенсированные и не­ компенсированные линии электропередачи, поперечные емкости, статические нагрузки и компенсирующие попереч­ ные реакторы.

В книге подавлен и решен вопрос о разработке рацио­ нального метода составления дифференциальных уравнений переходных электромеханических и электромагнитных про­ цессов в электрической цепи, содержащей все вышеуказан­ ные элементы. Этот вопрос сеодится прежде всего к установ­ лению наизыгоднейшего метода выбора вращающихся ко­ ординатных осей с целью максимального упрощения всей системы дифференциальных уравнений исследуемой цепи, т. е. получения минимума нелинейных членов и возможно более простой структуры оставшихся нелинейных членов.

Вкниге показано, что уравнения переходных процессов

васинхронных машинах и е статических элементах цепи также нужно относить к какой-либо вращающейся системе координат.

Все это потребовало разработки единообразного метода преобразования уравнений переходных процессов синхрон­ ных и асинхронных машин и статических элементов цепи. Он заключается в отнесении их уравнений к координатным

осям, вращающимся с произвольной и переменной уголовой

скоростью «>к , так что

t

Соответствующую ей систему координат /, b, 0 мы назы­ ваем системой /*, bk, 0. Разумеется все эти преобразования мы проводим в матричной форме, что Еесьма упрощает вы­ воды, делает их более изящными и в ряде случаев как бы автоматизирует их, исключая возможность появления оши­ бок. Мы не пользовались в этой работе тензорным анали­ зом, ибо, как справедливо отмечает Э. А. Меерович [Л. 30, 157], для решения подавляющего большинства практических задач можно вполне обойтись матричным исчислением, хо­ тя оно является и менее общим, чем тензорное.

При этом были получены уравнения переходных элек­ тромеханических процессов синхронной машины, из которых уравнения Парка получаются как частный случай (лрио>й= = « ), и были установлены необходимые и достаточные ус­ ловия исключения периодических коэффициентов из ее уравнений. Для асинхронных машин был дан весьма про­ стой метод преобразования уравнений, не прибегающий к комплексным числам.

Разумеется, уравнения переходных электромагнитных

процессов для синхронных и асинхронных машин и статиче­ ских элементов получаются соответственно как частный слу­ чай из их уравнений для переходных электромеханических процессов и могут быть записаны в наиболее компактном виде, а именно, в комплексной операторной форме.

В работе показано, как подготовить в наиболее простой форме систему дифференциальных уравнений переходных электромеханических процессов для сложной электрической цепи, содержащей все вышеуказанные элементы, с целью последующего их решения на машинах непрерывного или дискретного счета или аналитически — одним из численных методов.

Разработанный метод составления дифференциальных уравнений переходных электромеханических процессов применим не только для расчета симметричных коммутаций (включение и отключение ветвей, потеря возбуждения у синхронных машин, внезапное прекращение доступа пара, воды или горючего в первичные двигатели генераторов, сброс или наброс момента на валу асинхронных двигате­ лей), но и любых несимметричных, приводящих к появле­ нию поперечной или продольной несимметрии (короткие за­ мыкания разного вида или обрывы в одной или одновремен­ но в различных точках цепи).

Далее как частный случай метода составления уравне­ ний переходных электромеханических процессов дан метод составления уравнений переходных электромагнитных про­ цессов (w = const) для любой цепи, включающей все вышеуказанные элементы. С нашей точки зрения такой путь является наиболее естественным и требует наимень­ шей затраты труда на его освоение.

Отметим особо, что основная практическая цель, кото­ рую преследовал автор при написании книги, заключается в том, что данным в ней рациональным методом составле­ ния дифференциальных уравнений переходных электроме­ ханических и электромагнитных процессов смогут восполь­ зоваться работники научно-исследовательских институтов, вузов, энергообъединений, проектных организаций и ОКБ, в которых имеются счетные машины непрерывного и дис­ кретного счета. Не производя каких-либо дополнительных выводов, они смогут, учитывая результаты проделанной ра­ боты, быстро составить уравнения переходных процессов для цепей, подлежащих исследованию. Вместе с тем, проде­ ланная работа значительно упростит программирование, столь существенное при пользовании машинами дискретно­ го счета.