книги / Теория химических реакторов введение в основной курс

3. Образование вихревых застойных зон (с внутренним перемешиванием или без перемешивания), характеризующихся замедленным массообменом с основным потоком реагентов.

Очевидно, что при наличии этих особенностей в реальном реакторе с перемешивающим устройством длительности пребывания отдельных порций реагентов в реакционном объеме будут различаться. В связи с этим вводится понятие так называемой функции распределениявременипребывания, котораябудетописананиже.

Таким образом, реальный реактор с перемешивающим устройством (см. рис. 1) может быть представлен комбинацией идеальных аппаратов, как это показано на рис. 2, а или на рис. 2, б. В принципе, могут быть составлены и другие варианты эквивалентных схем. Только проверка адекватности рассчитанных и измеренных на реальном реакторе параметров процесса позволит отдать предпочтение той или иной эквивалентной схеме.

В структуре потока реального аппарата идеального вытеснения также есть особенности, вносящие существенные поправки в систему математическихуравнений, моделирующих такойреактор.

Прежде всего, это вид реальной поперечной эпюры скоростей, имеющей параболический профиль – у стенок аппарата скорость движения мала, а в центре потока она максимальна. Поэтому длительность пребывания выделенных микрообъемов веществ в реакционной зоне зависит от их расположения: близкие к центру пройдут реактор за минимальное время, а находящиеся у стенок будут проходить его значительно дольше. Следовательно, концентрации веществ при наличии химических процессов уже не будут постоянными для любого выделенного сечения потока. Наличие гранулированного катализатора многократно усложняет характер движения потока, как за счет неравномерного гидродинамического сопротивления по сечению аппарата, так и за счет образования микровихрей (застойных зон) перед каждым зерном катализатора и за ним. Поэтому полная модель реального аппарата должна включать элементы как идеального вытеснения, так и идеального перемешивания (рис. 3, 4).

11

Таким образом, математическое моделирование реакторов сводится к описанию поведения достаточно сложных схем, составленных из аппаратов двух основных идеальных типов.

Однако достаточно часто вышеуказанные особенности потоков приводят к сравнительно небольшим поправкам, и аппарат с достаточной степенью точности может быть описан как идеальный. Так, например, при отношении длины трубы к ее диаметру, равном 20 и более, со значительной степенью достоверности реактор может быть отнесен к типу аппаратов идеального вытеснения.

В любом случае необходимо знать математические выражения, описывающие работу аппаратов идеального типа.

14

2. МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС РЕАКТОРОВ ИДЕАЛЬНОГО ТИПА

Для процессов, протекающих в любых аппаратах проточного типа, материальный и тепловой балансы описываются известным уравнениемМ.В. Ломоносова:

Если это выражение перевести на язык химического реактора, тоонодолжно бытьзаписано следующимобразом:

При этом следует помнить, что накопление в объеме должно учитывать как изменение объема вещества в реакторе, так и изменение его концентрации. Если в процессе происходит не накопление, а, наоборот, расход имеющегося запаса, то это учитывается знаком минус. Понятно, что материальный баланс должен составляться по каждомуотдельному компоненту, участвующему впроцессе.

В объеме реактора только в первый момент содержатся исходные реагенты при их исходной концентрации. Далее, в связи с протеканием реакций, образуется реакционная масса, в которой можно определить только текущие концентрации исходных реагентов и веществ – продуктов химических реакций.

2.1. Реактор идеального перемешивания

Рассмотрим применение этого выражения для вывода уравнения, описывающегоработу аппаратаидеальногоперемешивания.

Пусть объем аппарата Va (м3). В него подается реагент (сырье) с расходом R1 (м3/ч) при его исходной концентрации С1; расход «продуктов», т.е. того, что выходит из аппарата, – R2 (м3/ч). В реакторе проходит химическая реакция, скорость которой для реагентов описывается уравнением

15

За время d «приход», т.е. поступлениереагента, составитС1·R1·d , в то же время расход «продуктов» составит С·R2·d – Wr·V·d . Первый член этого выражения соответствует неизрасходованному реагенту в отводимом потоке, при текущем значении концентрации С, за время d , второй– описывает расход реагента изобъемаV реакционноймассыиз-за

протекания химической реакции за тот же период времени. Знак минус при Wr связан с тем, что описывается баланс продуктов реакции, а не реагентов (см. подразд. 2.4).

Общее количество реагента в реакторе соответствует произведению С·V, где V – текущее значение объема реакционной массы в объеме реактора, которая, в общем случае, меньше Va. Прирост (или уменьшение) количества реагента соответствует полному дифференциалу произведения С·V:

Следовательно, изменение количества накопленного реагента в объеме реактора связано как с изменением концентрации при данном объеме, так и с изменением объема жидкости при данной концентрации.

Текущее значение объема V может быть вычислено по выражению

где V0 – исходный объем реагента в реакторе (при = 0); например 0 м3, если аппарат изначально был пустым; – время, прошедшее с начала проведения процесса (следует отметить, что в химии и химической технологии принято обозначать длительность именно этой буквой, чтобы не путать с температурой, которую традиционно обозначают как t). Следовательно,

16

Подставляя все составленные выше выражения в (2), получаем уравнение материального баланса в явном виде:

C1R1d CR2 kVCn dτ

(7)

V 0 R1 R2 τ dC C R1 R2 dτ.

Для разделения переменных перенесем все члены, содержащие dC, в левую часть уравнения, а содержащие d – в его правую часть:

Отсюда, с учетом (5), может быть получено общее дифференциальное уравнение, описывающее реактор идеального перемешивания:

Это уравнение не может быть решено в общем виде. В то же время возможности современной вычислительной техники позволяют решать подобное уравнение численным способом для любого показателя порядка реакции n.

Рассмотрим первый частный случай уравнения (9) при R2 = R1 и n = 1. В этом случае оно может быть преобразовано к виду

17

Введем следующие обозначения:

введем знаменатель дроби под знак дифференциала следующим

18

Разность логарифмов соответствует логарифму дроби:

Обращает на себя внимание результат проверки приτ : это установившийся режим работы реактора, и концентрация реагента никогда не сможет стать меньше найденной предельной

ваемый в проточный реактор идеального перемешивания, всегда будет частично присутствовать и в выходящем потоке, но, естественно, в меньшей концентрации, поскольку величина kV 0 > 0. Тем не менее это обстоятельство является основным недостатком реакторов идеального перемешивания.

Если k = 0 (т.е. реакция не идет), концентрация на выходе из реакторабудетравнаC1.

В то же время, если аппарат замкнут (т.е. величина R1 = 0), он представляет собой реактор периодического действия, предельное значениеконцентрацииреагентапри равнонулю, еслиk 0.

19

Дляпоследнегослучаяуравнение(14) существенноупрощается:

Если в этом случае и величина k = 0, то концентрация C будет всегда равна C1.

Рассмотрим второй частный случай решения общего уравнения (9) при R2 = R1 = R и n = 2. В этом случае оно может быть представлено в виде

здесь параметры а и b соответствуют вышеуказанным. Рассмотрим решение этого уравнения при n = 2, хотя оно

может быть получено и для других целых значений n. Решение в данном случае и везде далее проводим непосредственно в сис-

теме Mathcad.

Для решения уравнения (16) приведем его к следующему виду, предварительно выполнив процедуру разделения переменных (при этом, для удобства дальнейших вычислений, заменим переменную C на наиболее привычную x):

Интегрирование по dx и dτ проводится раздельно. Поставим курсор системы Mathcad на удобное место экрана

компьютера. Вызовем на панели инструментов, с помощью общей панели Math, вспомогательную, более детальную панель процедур нахождения интегралов и сумм, на которой, в свою очередь, вызовем значок неопределенного интеграла, который появится на месте курсора. Введем под знак интеграла необходимое математическое выражение, пользуясь соответствующими клавишами, в качестве шаблона используем математические операции и обозначения, взятые на панели «Калькулятор», которая

20