книги / Теория химических реакторов введение в основной курс

Поскольку размерность скорости химической реакции Wr является величиной определенной, размерность константы скорости реакции k зависит от типа протекающей реакции и определяется из уравнения (43) таким образом, чтобы размерность Wr осталась в соответствии с (39), (40).

Определим, например, размерность константы скорости kf гетерогенной реакции 2A kf B. Кинетическое уравнение для этой реакции, в соответствии с уравнением (43), может быть записано в виде

Приравнивая размерности правых частей выражений (40) и (46), получимразмерностьконстантыскоростидляданного случая:

Еслиэтареакциягомогенна, размерностьконстантыскорости:

Введем понятие «сопряженная поверхность катализатора» – это площадь катализатора, участвующая в реакции, приходящаяся на единицу объемареакционной массы, – Sс, имеющуюразмерность (kμ)2/м3: Sс = Sk/V. Такимобразом, можнозаписать: Sk = Sс·V.

Подставив это выражение в уравнение (40), получим

31

Используем последнее выражение для замены Wrs в кинетическом уравнении (46):

Для интегрирования это выражение необходимо представить в иной форме:

Следует отметить, что уравнения (50), (51) основаны на неявном предположении свободного контакта реагентов с поверхностью катализатора, без учета диффузионных затруднений. Более точные соотношения рассмотрены в главе 7.

Для гомогенной реакции 2A k B можно по аналогии за-

писать:

Как уже было указано ранее, следует различать понятия: объем реактора (аппарата) Va, м3, и текущий объем реакционной массы: V, м3, в объеме реактора. Часть объема реактора может быть занята катализатором Vк, м3, поэтому «занятый объем реактора»: Vr = V +Vк. Коэффициент заполнения реактора φ (%)

равен: φ = 100·(V + Vк)/Va.

Величина активной поверхности катализатора, участвующей в химическом процессе, определяется из объема катализатора Vк (м3) по выражению Sk = Sуд · Vк, где Sуд – удельная поверхность катализатора, (kμ)2/м3, являющаяся одной из характеристик этого продукта.

При расчете химического реактора вычисляемым параметром обычно является либо длина пути, либо необходимый «занятый» объем реактора, который проходят реагенты для достижения заданной степени превращения, поэтому следует преобразовать вышеприведенныеуравнениякдлинепутиилиобъемуреактора.

32

Переход от необходимого времени контакта τ к занятому объему Vr или длине пути в реакторе l, м, проводится аналогич-

но процедурам, приводящим к уравнениям (36)–(38).

2.5. Примеры расчета реакторов идеального типа

Рассмотрим расчет реактора идеального вытеснения, представляющего собой полую трубу, внутренним диаметром D = 0,2 м и длиной L = 4,8 м. Внутри реактора в гомогенном режиме про-

текает реакция 2A k D при температуре 650 К. Начальная

концентрация компонента А Са0 = 4 кмоль/м3. Расход сырья Vсек = 5,4 м3/ч. Рассчитать концентрацию компонента на выходе из реактора, глубину превращения сырья и распределение концентрации А по длине реактора. Константа скорости определяется по уравнению Аррениуса:

где Eакт = +31400 Дж/(моль·К); kо – предэкспоненциальный множитель, kо = 2,58·10–3[м3/(моль·с)].

Выполним расчет несколькими способами.

1. Использование формулы (26), которая для данного слу-

чая выглядит следующим образом:

При использовании этого выражения следует обратить внимание на то, что последовательное использование операторов логарифмирования и возведения числа «e» в степень в данном случае оставляют неизменной размерность вычисляемой величины. Таким образом, основное свойство логарифма действует не только в отношении числа, но и в отношении его размерности.

Для того чтобы определить концентрацию компонента А на выходе из реактора, необходимо определить длительность пре-

33

бывания вещества внутри реактора, или, что то же самое, время прохождения любой порции А от момента ввода в реактор, до выхода из него, т.е. «реакторное время», описанное ранее:

Подставляя в уравнение (54) это значение, получим Ca(100) = = 977,6 моль/м3.

На рис. 9 верхняя сплошная линия показывает изменение концентрации реагентов во времени в период нахождения их внутри реактора.

Рис. 9. Влияние величины интервала суммирования на точность при численном расчете реактора идеального вытеснения

Вычислим глубину превращения сырья α:

Ранее было показано, что текущее время τ связано с длиной пути, пройденной порцией вещества в реакторе, по выражению

34

l F / Vсек. Отсюда может быть вычислена длина пути в реакторе за время τ: l( ) Vсек/F. Это преобразование позво-

ляет решить задачу о распределении концентрации компонента

Апо длине реактора.

2.Решение задачи численно, с использованием Mathcad.

Полное время пребывания вещества в реакторе составляет 100 с. Запишем уравнение (24) приближенно, с использованием конечных приращений:

Для численного решения можно условно разделить реактор по длине на несколько одинаковых секций, например, N = 10. Тогда длительность пребывания сырья в каждой секции Δτ = 100 с/N = 10 с. Подставляя в выражение (56) значения параметров для первой секции: k – рассчитанное по выражению (53); входную концентрацию в первую секцию С = Са0 = 4000; n = 2; Δτ = 10, получим величину изменения концентрации компонента А: С = –1237 моль/м3. Следовательно, на выходе из первой секции концентрация А будет равна: С = Са0 + С = 2763 моль/м3 и она же является входной концентрацией А во вторую секцию. Расчет второй секции проводится аналогично. При выполнении расчета в Mathcad, процедуру рекомендуетсяоформитьследующимобразом.

В общей части программы необходимо задать начальные значения общих параметров:

(57)

Необходимо помнить, что Mathcad читает все выражения последовательно слева направо и сверху вниз, поэтому вычисления по цепочке должны быть расположены на экране соответствующим образом.

35

После этого вводится алгоритм расчета секции:

(58)

После сверки результата компьютерного расчета с выполненным ранее вручную и устранения ошибок можно копировать весь фрагмент (58) и ввести его на страницу Mathcad необходимое количество раз ниже записи (58) для расчета всех остальных секций:

и т.д. вплоть до последнего фрагмента при τ = 0:

Концентрация С = 866,043 соответствует остаточной концентрации компонента А на выходе из последней секции реактора. Это значение отличается от ранее полученного по формуле (54) точного значения Ca(100) = 977,6 из-за исходной погрешности выражения (56), в котором использовано приближенное равенство. Погрешность численного метода может быть снижена за счет уменьшения интервала суммирования, т.е. величины Δτ (см. рис. 9).

3. Решение задачи численно, с использованием языка про-

граммирования. Для того чтобы не переписывать алгоритм расчета секций многократно, Mathcad предоставляет возможность составления компактной программы за счет использования встроенного языка программирования. При использовании программы, предварительно, как и ранее, необходимо подготовить начальные и исходные значения параметров и выражения для вычислений в виде фрагмента (59):

36

(59)

После исходных данных вводится программа. Для этого необходимо выбрать обозначение переменной и набрать на экране, например, Ca:=■; Затем на панели инструментов «Программирование» в меню Mathcad выбрать оператор «Add Line» и ввести его необходимое число раз. Внутреннее присвоение в программе проводится обратной стрелкой, расположенной там же. Пределы изменения параметра цикла for i 1...N вводятся с помощью оператора «переменная-диапазон» m…n , находящегося на панели «вектор и матрица». Число «a» в программе вводится для сохранения возможности внесения изменений в программу при необходимости.

(60)

Результаты работы программы выводятся через параметр С (в нижней части программы) и присваиваются в виде матричного

37

массива величине Ca. При запросе «Ca=» ниже программы вычисления выводятся все значения Cai. Эта же программа позволяет вывести любой другой параметр, вычисляемый в цикле «for». Так, например, при замене в нижней части программы знаков С на С, при запросе «Ca=» под этим идентификатором будут выведены все вычисленные значения Сi.

4. Решение задачи численно, с использованием встроенной стандартной процедуры. Уравнение (24) или (56) необходимо представитьвиномвиде:

В программе численного интегрирования величина dτ выбирается автоматически, исходя из достаточной точности вычисления, поэтому функцией, вводимой в блок интегрирования стандартной процедуры, является выражение в круглых скобках представленного выше уравнения (61). Для вычисления по процедуре Рунге – Кутты «rkfixed» также необходимы начальные и исходные значения параметров и выражения для их вычисления в виде набора предварительных данных, аналогично блоку (59):

После этого необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1)задать начальные условия интегрирования « x:= »;

2)задать функцию интегрирования « F(t,x):= »;

3)вызвать и указать параметры стандартной процедуры

«Z:=rkfixed »;

4)создать блок вывода результатов расчета «V:= »

5)вывести результаты расчета «VN = »:

38

(62)

Переменной интегрирования выбран x; он замещает обозначение концентрации С. В выбранной функции интегрирования время (τ) замещается идентификатором t. Вызов стандартной процедуры осуществляется через меню Mathcad: в верхней части экрана через клавишу f(x) (голубого цвета) необходимо вызвать процедуру rkfixed(■,■,■,■,■), которая должна быть присвоена матрице «Z:= rkfixed(x,0,τ,N,F)». В скобках параметров процедуры последовательно указываются: переменная интегрирования (x); начальное (0) и конечное (τ) время интегрирования; количество отрезков (N), на которые необходимо разбить весь временной интервал (0-τ) для вывода промежуточных результатов вычислений; наименование функции интегрирования (F). Результат вычисления выводится в виде матрицы Z, первый столбец которой перечисляет отрезки интегрирования. Второй столбец отражает результаты вычисления x через заданные отрезки времени. Поскольку счет строк и столбцов матрицы Z ведется с нуля, результаты находятся в столбце с индексом 1. «Идентификатор» V, таким образом, представляет собой второй вертикальный столбец матрицы Z. Фигурная скобка, задающая индекс этого столбца, находится в составе операторов панели инструментов «вектор и матрицы». Поскольку основной интерес при расчете представляет концентрация реагента на выходе из реактора, индекс для V задается последний, т.е. N.

5. Расчет реактора идеального вытеснения с гетероген-

ным катализатором. Как и ранее, рассмотрим расчет реактора

39

идеального вытеснения, представляющего собой полую трубу, внутренним диаметром D = 0,2 м и длиной L = 10 м. Внутри реак-

тора на катализаторе протекает реакция 2A ks D при температуре 650 К. Начальная концентрация компонента А, Са0 = 4 кмоль /м3. Расход сырья Q = 5,4 м3/ч. Катализатор нанесен на поверхность керамических шариков диаметром 5 мм, которые полностью заполняют все сечение реактора на длине 10 м. Рассчитать концентрацию компонента на выходе из реактора, глубину превращения сырья и распределение концентрации вещества А по длине реактора. Константа скорости химической реакции описывается уравнением Аррениуса:

Eакт = 31400 Дж/(моль·К); предэкспоненциальный множитель kоs = 1,8·10–6 м4/(моль·с).

Полезной особенностью Mathcad является его способность оперировать размерными величинами. Для ввода размерности необходимо поместить курсор сразу за числовым значением выбранного параметра, на верхней панели программы вызвать процедуру «вставить единицу измерения», имеющую обозначение кружки с делениями, и в открывшемся поле выбрать необходимую размерность. Размерность может быть введена и вручную, однако обозначения должны строго соответствовать установленным в Mathcad:

40