книги / Теория химических реакторов введение в основной курс

Средняя концентрация реагента А получается смешением всех КЧ «разного возраста» выходящих из реактора одновременно (параллельно). Так, например, доля КЧ, характеризующихся длительностью пребывания в реакторе, равной 50 с, составляет 0,17, как это было найдено ранее. Концентрация вещества в них может быть рассчитана по выражению (91) при = 50 с и составляет 1,099 кмоль/м3. Следовательно, вклад этой доли потока в среднюю концентрацию продуктов на выходе из реактора составит

1,099 f 50 1,099 0,17 0,187.

Средняя концентрация на выходе из реактора может быть рассчитана по формуле (88), с заменой на СА (табл. 4).

Таблица 4 Расчет концентрации компонента А на выходе из реактора

= 1,004 кмоль/м3

61

Степень превращения x 100 CА0 CAi f ( i ) ,

CA0

x = 49,8 %.

4.5. Отклик реакторов идеального типа на введение индикатора

Рассмотрим отклик на ввод инертного индикатора для реакторов идеального перемешивания и идеального вытеснения. На рис. 13, 14 процесс прохождения индикатора представлен в виде диаграмм.

а

б

Рис. 13. Прохождение через реактор идеального смешения индикатора: а – поданного на вход в виде

«импульса» ( -функция); б – «ступеньки» ( -функция)

62

На диаграммах выбраны совпадающие по масштабу координаты объемного расхода через реактор Vcек, концентрации индикатора Си, а также объема пропущенного потока V и длительности процесса . V0 – объем реакционной массы. Пунктир – границы реакционного объема.

Импульсный ввод индикатора заключается в том, что в поток, входящий в реактор, за короткое время → 0 вводят известное количество индикатора (может быть определено после ввода, см. подразд. 4.3). Припопаданииэтогоизвестногообъемавреактор, в соответствии с определением реактора идеального перемешивания, происходит мгновенное распределение индикатора по всему объему реакционной зоны V0, в результате чего в реакторе и в выходном трубопроводе появляется исходная концентрация индикатора Си (см. рис. 13, а). При дальнейшем вводе потока сырья, не содержащего индикатор, происходит постепенное разбавление и снижение концентраци Си. Снижение Си происходит также за счет выносачастииндикаторавыходящимпотоком.

4.5.1. Инертный индикатор

Таким образом, эксперимент с импульсным вводом фактически сводится к исследованию процесса простой промывки реакционного объема, содержащего известное количество инертного реагента. Кривая промывки аппарата как раз и соответствует отклику на импульс на входе. Математическое описание кривой промывки аппарата может быть выполнено на основании уравнения (10) при k = 0 (т.е. химическая реакция не происходит):

В этом уравнении баланса член C1VVсек отражает поступле-

ние индикатора в реакционную зону. Однако, как было указано,

63

дальнейшего поступления индикатора нет, следовательно, С1 = 0. Тогда

Удобнее представить эту зависимость в безразмерном виде, как долю от исходной (входной) концентрации:

Поскольку V – среднее время пребывания, уравнение

Vсек

(95) может быть записано полностью в безразмерном виде:

При ступенчатом вводе за бесконечно малый промежуток времени в реактор будет подано Vсек·dτ · Cи (на входе) количество индикатора, которое будет мгновенно распределено во всем объеме реактора V0 (см. рис. 13, б) и будет практически очень близким к нулю. Поэтому нижним пределом интегрирования (94) является ноль. Далее, во входном потоке концентрация индикатора остается постоянной, равной Си. Для вывода уравнения кривой отклика реактора идеального перемешивания на ступенчатое возмущение на входе также используем выражение (92) при С1 = Си:

64

Безразмерное соотношение (при Cвх = Си), называемое функцией отклика:

1 exp .

Рассмотрим реактор идеального вытеснения (рис. 14). Выделим в потоке, поступающем в реакционный объем V, фронтовый слой толщиной dV. Этот слой может рассматриваться независимо от всех остальных. Поведение следующих за ним слоев будет просто повторять поведение первого из них.

Рис. 14. Прохождение через реактор идеального вытеснения импульсного и ступенчатого возмущения

65

Длительности прохождения каждым слоем раствора инертного индикатора всего реакционного объема соответствует вели-

чина V . Математическое описание поведения фронтового и

Vсек

всех последующих слоев может быть основано на уравнении (24) при k = 0 (отсутствие реакции):

dC 0 dC 0 d 0, d

т.е. изменения концентрации не происходит. Следовательно, если рассмотреть поведение только фронтового слоя, представляющего, по сути, -функцию импульсного возмущения на входе в реактор, то можно сделать заключение, что этот импульс в неизменном виде появляется на выходе из реактора через время после его входа в реактор. Ступенчатый σ-сигнал, представляющий собой сложенные в единый пакет -импульсы, также через τ = V/Vсек появляется на выходе из аппарата в неизменном виде.

4.5.2. Кривая отклика при протекании химической реакции

Исследование структуры потока способом введения инертного индикатора требует определенной подготовки оборудования и в силу ряда обстоятельств не всегда является возможным. Чаще всего это связано с условиями производства, исключающими возможность выведения реактора из технологического процесса для проведения испытаний, или с опасением загрязнений реакционного объема либо катализатора посторонними веществами. В этих случаях исследование структуры потока может быть проведено при протекании основного процесса. В качестве возбуждающего воздействия может служить ступенчатое или разовое («мгновенное», в виде импульса) изменение концентрации компонента на входе в реактор. Анализ динамики изменения концентрации компонентов на выходе из реактора с учетом погрешно-

66

сти проведения анализа также позволяет получить переходную кривую и оценить структуру потока и степень приближения реактора к одному из идеальных типов.

Понятно, что в этом случае константа скорости реакции k не равна нулю, а уравнение, описывающее отклик реактора на ступенчатое возбуждение для химической реакции первого порядка (10), выглядит следующим образом:

В качестве полезного упражнения читателю предлагается вывести уравнение кривой отклика для случая импульсного ввода индикатора в реактор идеального перемешивания при условии протекания химической реакции (k ≠ 0).

67

5.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАКТОРОВ

5.1.Моделирование реактора неидеального типа

Вотличие от метода «крупных частиц» математическое моделирование основано на рассмотрении материального баланса выделенного неподвижного микрообъема химического реактора. Рассмотрим отдельный незамкнутый микрообъем dv реактора, через

который протекает векторный поток вещества L сечением dF. Баланс вещества, допустим А, складывается из входящего и выходящего потоков, протекания химической реакции, диффузионных потоков компонентов через границы, а также изменения концентрации компонентавмикрообъеме.

Балансовое уравнение (1) для этого случая может быть составлено следующим образом (рис. 15).

Рис. 15. Схема к расчету баланса микрообъема

Концентрация вещества в потоке L изменяется на расстоянии dl в связи с протекающими химическими реакциями и диффузией по кривойC C . В процессе комплексного массообмена плотность реакционной массы также может измениться, поэтому выходная (линейная) скорость потока u (м/с) может отличаться от входной u. Расчет проводится для интервала времени d .

1. Линейные потоки.

На входе: C (u dF) d ; здесь (u dF) имеет размерность мс м2 ; С – концентрация, моль/м3.

68

На выходе: в результате протекания химических и физических процессов, концентрация по векторной координате l изменяется, поэтому на выходе из микрообъема она соста-

обратить внимание на обозначение приращения концентрации

C

l

интервале dl частная производная первого порядка для СА по длине потока обозначена дробью, а конечное приращение координаты L обозначено как dl.

2. Диффузионные потоки. Из-за градиентов концентрации на входе и выходе возникнут диффузионные потоки от соседних микрообъемов.

На входной границе: D Cl dF d .

На выходной границе: градиент концентрации Cl будет другой, так как концентрация по длине dl изменяется:

Дифференцирование выражения в круглых скобках выполнено по правилу дифференцирования произведения двух переменных, при этом dl = const.

Диффузионный поток на выходной границе микрообъема:

69

3. Химическая реакция Wr dv dτ. При протекании химиче-

ской реакции вещество расходуется.

4. В результате протекания процессов 1, 2, 3 в микрообъеме dv за время d происходит изменение концентрации и коли-

чества вещества. В уравнении баланса (2) это относится к «на-

коплению»:

При подстановке всех слагаемых баланса, полученных в пунктах 1–4 в общее балансовое уравнение (2), после раскрытия скобок и сокращения подобных получим

u C dl dF d D 22C dl dF dl l

Wr dv d C dv d 0.

Учитывая, чтоdv dF dl, выделим dCd :

Векторный поток L имеет три декартовые координаты, в связи с этим обобщенная координата dl может быть заменена ее декартовыми составляющими:

70