книги / Теория химических реакторов введение в основной курс

2 22x 22y 22z – оператор Лапласа.

Упрощение внешнего вида уравнения достигается при переходе к цилиндрическим координатам. Этот переход целесообразен и с точки зрения приближения теоретических уравнений к реальным условиямработыпромышленныхреакторовпроточноготипа.

В цилиндрических координатах оператор Лапласа имеет следующийвид, которыйупрощаетсяприкруговойсимметриипотока:

В этом случае уравнение (103) может быть записано в следующем виде:

где DL и DR – коэффициенты продольного и радиального переме-

шивания (эффективной диффузии). Таким образом, для математического моделирования любого микрообъема (или всего объема реактора) можно использовать общее уравнение (105) при условии, что процессы внутреннего переноса подчиняются уравнениям типа Фика и могут быть описаны коэффициентами эффективной диффузии, включающей как чисто диффузионный перенос вещества, так и его переносзасчетвихревыхиликонвекционныхпотоков.

В целом уравнение (105) дает достаточно хорошее приближение для большинства практических случаев. Оно применимо для описания реальных реакторов любого типа.

71

Приведем уравнение (105) к безразмерному виду. Для этого введем следующие обозначения и произведем замену:

безразмерная длина z Lx ; L – определяющий линейный размер

реактора (например, длина пути основного потока от входа до выходного патрубка реактора).

dx2 L2dz2 ; 0 const.

Ограничимся упрощенным вариантом стационарного (не зависящего от времени) уравнения (105), не учитывающим радиальную составляющую диффузии:

В результате несложных преобразований получено двухпараметрическое дифференциальное уравнение второго порядка, частные решения которого описывают химические реакторы, работающие в различных условиях. В этом уравнении параметр Pe = u·L/D. Подставляя в общее решение этого уравнения значение параметра Пекле и постоянного члена перед слагаемым Цn, можно получить желаемое частное решение, т.е. выражение, описывающее величину концентрации от расстояния z до входного патрубка реактора. При z = L вычисляется концентрация вещества А на выходе из реактора.

72

Как уже было указано выше, уравнение (106) описывает любой реактор. В частности, при DL 0 PeL оно переходит в

модель идеального вытеснения; при DL PeL 0 – в модель

идеального перемешивания.

Считается, что левая часть уравнения (106), так же как и часть уравнения (105) без членов dCd и Wr , относится к описа-

нию процесса внутреннего массопереноса, или структуре потока. Основными параметрами структуры потока, таким образом, являются безразмерные критерии Пекле РеL и РеR.

Главной особенностью критерия Пекле является существование зависимости его величины от гидродинамических параметров движущегося потока жидкости или газа. Это позволяет определить предварительное значение Ре без проведения специальных исследований кривых отклика. В подавляющем числе случаев это чисто эмпирические зависимости, найденные путем математической обработки больших массивов экспериментальных данных. Некоторые из них приведены ниже.

Полая труба, ламинарная область:

где Re – критерий Рейнольдса; Рr – критерий Прандтля. Турбулентная область

где λ = ε/d – относительная шероховатость трубы. Для переходной зоны

где d – диаметр; L – длина трубы.

73

Проведены достаточно детальные и обширные исследования критерия Пекле для аппаратов различных типов. Эмпирические зависимости, аналогичные приведенным выше, можно найти в специальной литературе.

5.2. Оценка критерия Пекле по экспериментальной кривой отклика

Для трубчатых реакторов часто наблюдается близость f

(см. формулу (84), рис. 12) к нормальному гауссову распределению. Для этого случая выявлена связь между безразмерной дисперсиейσ2 икритериемПекле:

В то же время для дисперсии σ2 известны соотношения:

В связи с этим вернемся к примеру расчета функции распределения f (подразд. 4.3). На основе табл. 3 и в соответствии с уравнением (111) составим табл. 5.

74

Используя данные расчета, вычислим критерий Ре для представленного случая ( Cиi 50, см. выражение (83); 63,26 с,

2 337,3 0,0843,

63,26 2

Если принять за условное равноудаленное от того или иного идеального типа реакторов значение критерия Пекле, равное единице, то можно сделать заключение, что реактор, рассмотренный в подразд. 5.2, по структуре потока ближе к реактору идеального вытеснения, однако влияние внутреннего перемешивания достаточно хорошо заметно – отклик на импульсное возмущение существенно растянут по оси времени (см. рис. 12).

В литературе представлены варианты расчета критерия Пекле по экспериментальной кривой отклика при различных вариантах организации потока в реакторе [11].

75

6. РАСЧЕТ РЕАКТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Существование единого уравнения, позволяющего описать работу химического реактора, а также возможность представления реальных реакторов в виде эквивалентной схемы (см. рис. 4) приводят к мысли о существовании обобщенного оператора – процедуры, которая могла бы в виде одного действия преобразовать входные данные реактора в его выходные данные:

И действительно, такая процедура существует, но только в комплексном р-пространстве. Оператором является так называемая передаточная функция реактора W(p), определяемая как отношение выходного сигнала к входному сигналу, выраженных также в комплексном виде:

Для каждого вида идеальных реакторов, а также комбинированных схем из них существует собственная оригинальная передаточная функция.

Рассмотрим вычисление передаточной функции при включении нескольких реакторов в элементарные комбинированные схемы (рис. 16–18).

Рис. 16. Последовательное включение реакторов

76

Выходная концентрация может быть представлена в виде выражения

В связи с этим можно записать выражение для передаточной функции системы параллельных реакторов:

Умноживправуюилевуючастиуравнения(118) наαi, получим

i 1

Схема включения реакторов с рециркуляцией части продуктов представленана рис. 18, гдеа– долявозвращающегосяпотока.

Рис. 18. Включение реакторов в схему с обратной связью

Сложение потока обратной связи с основным потоком может привести как к уменьшению, так и к увеличению концентрации на входе в первый реактор. Если принять, что концентрация на входе в первый реактор С 0 = C0±C0C, то система уравнений, описываю-

78

щих работу реактора с рециклом может быть представлена следующим образом:

C W1 ( p) (C0 C0C ),

C0C a W2 ( p) C.

Исключая C0C , получим

В выражении (124) знак минус соответствует положительной обратной связи.

Существует процедура составления передаточных функций сложных технологических схем, охваченных многими обратными связями (формула Мейсона). Она описана в учебниках по теории автоматического управления.

6.1.Передаточные функции идеальных

икомбинированных реакторов

Рассмотрим передаточные функции идеальных реакторов.

Реактор идеального перемешивания. Вернемся к уравне-

нию баланса (92):

V dCd C1 Vсек C Vсек ,

где С1 – входная концентрация, С – выходная. Проводя преобразование Лапласа с учетом формулы (5) приложения 3 и считая, что C(+0) = 0 (в первый момент из реактора индикатор не выходит), получим

79

Реактор идеального вытеснения. Определим передаточ-

ную функцию при δ-импульсе на входе в реактор. Концентрация на входеC1 , концентрация на выходе в

соответствии с рис. 14 не изменяется, но появляется с задержкой

Учитывая правила комбинирования (117), (122), (124), можно вычислить переходные функции для различных схем включения

80