книги / Теория химических реакторов введение в основной курс

3. ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КАСКАДА РЕАКТОРОВ ИДЕАЛЬНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

Использование единичных реакторов идеального перемешивания или близких к ним по характеристикам не всегда оправдано в практике химической промышленности, поскольку тщательно перемешать большой объем реагентов технически достаточно сложно. Кроме того, степень превращения в одном аппарате не всегда удовлетворяет требованиям процесса. В связи с этим часто применяется способ проведения реакций в нескольких соединенных последовательно реакторах меньшего объема с перемешивающими устройствами. Разработанонесколькоспособоврасчетаподобныхкаскадов.

Примечание. При изучении последующих разделов следует обратить внимание на различия в обозначениях величин, не совпадающих

сиспользованными выше: например, Vsek, Vсек, Vсек; V0 и V0; концентрация на входе в реактор C0 или С1 и др. Эти расхождения связаны

свозможностями доступных версий Mathcad, а также желанием приблизиться к обозначениям величин, принятым в различных литературныхисточниках, приведенныхвспискерекомендуемойлитературы.

3.1. Алгебраический метод

Скорость химической реакции может быть описана обычным кинетическим уравнением:

Последнее выражение может быть представлено приближенным соотношением в конечных приращениях, аналогично выражению (56), распространенному на один реактор целиком:

где τ – длительность протекания реакции в данном реакторе; С1 – конечная концентрация реагента в момент τ; С0 – исходная

42

концентрация реагента. Отсюда для первого реактора в каскаде можно записать приближенное уравнение

гдеCm 1 – концентрация реагента, выходящего из предыдущего, (m–1)-гореактора. Раскрывая(66) сучетом(64), приn = 1 получаем

С1 – концентрация реагента, выходящего из первого реактора. Соответственно для второго реактора

Если время пребывания во всех реакторах, соединенных в последовательный каскад, одинаково, можно получить общее уравнение для m реакторов:

откуда, логарифмируя, можно найти число реакторов в каскаде, необходимое для достижения заданной степени превращения вещества (или его остаточной концентрации Сm):

43

Применение алгебраического метода расчета для других значений n затруднено. В какой-то степени эти затруднения могут быть сняты за счет использования современной вычислительной техники.

Проведем анализ выражений (68) и (69). Общее время нахождения реагента в двух реакторах равно сумме τ1 и τ2 (68); с другой стороны, оно определяется расходом сырья Vсек и общим объемом реакторов:

Сравним остаточные концентрации реагента для двух вариантов проведения процесса:

1) в одном реакторе объемом V1 + V2 (время нахождения сырья в таком реакторе τ1 + τ2)

44

Последняя величина явно меньше 1, так как из единицы вычитается положительное число. Следовательно, разделение большого реактора на два меньших, но равных в сумме ему по объему, приводит к увеличению степени превращения. Далее возникает закономерный вопрос: как должны соотноситься V1 и V2, чтобы глубина превращения была максимальна.

Вернемся к выражению (68): максимум степени превращения, очевидно, достигается при минимуме С2, иначе говоря, при максимальном значении знаменателя дроби. Запишем исходное ограничение: τ1 + τ2 = τ = const. Тогда τ2 = τ – τ1; подставим это значение в знаменатель z:

Следовательно, максимальное превращение (при n = 1) достигается при равенстве объемов (а также и длительности нахождения сырья) длявсехреакторовкаскада.

3.2. Итерационный метод

Для любого реактора в каскаде можно записать уравнение в приближении конечных приращений (см. (56)):

где ∆τ– длительность пребывания реагента в реакционном объеме

m-го реактора, она соответствует выражению (35), т.е. Vr ;

Vсек

45

(здесь Vr – объем реакционной массы в реакторе); величинаCm 1,m соответствует (65) и (66): ∆Сm–1,m = Сm–1 – Сm. Исходя из

этого, разделив обе части уравнения (74) на Сm–1, получим следующее соотношение:

Задача сводится, таким образом, к нахождению корня полинома n-го порядка, находящегося в диапазоне от нуля до единицы. Величина этого корня соответствует степени превращения вещества vm в реакторе с номером m. После нахождения степени

превращения последовательно для каждого реактора в каскаде, остаточная доля непрореагировавшего компонента ν определяется по выражению

Уравнение (76) может быть решено любым способом: подбором, методом дихотомии, методом Ньютона – Рафсона и др. В арсенале современных возможностей – услуги стандартных программ ПК.

46

Например, по методу Ньютона первая производная f v

nR2 vn 1 1, и итерационная формула Ньютона принимает вид

где α – номер итерации; n – порядок реакции.

Метод не имеет ограничений по числу реакторов, их объему или порядку реакции. Использование уравнения (78) рекомендуется начинать с первого приближения ν1 = 1 и далее проводить расчет до тех пор, пока να+1 не приблизится к να с отклонением, меньшим заданной погрешности вычисления.

Пример использования итерационного метода. В двух аппа-

ратах с перемешивающими устройствами, включенных последова-

тельно, проводится химическая реакция, кинетика которой описываетсяследующимуравнением: –Wr = 2,2·С0,75 моль·л–1·мин–1.

Скоростьподачи смеси Q = 500 л/мин, начальная концентрация С0 = 1,8 моль/л. Объем первого реактора 200 л, второго – 400 л. После первого реактора 20 % сырья (0,2 от Q) подается мимо второго реактора и смешивается с его продуктами. Рассчитать концентрациюреагентанавыходеизкаскадаспогрешностьюнеболее5 %.

1. Определим значение R1 по соотношению (75):

R1 2 2,2 1,80,75 1 500200 1,519 .

2. Определим значение ν1 по итерационной формуле (47) при

ν0 = 1:

47

3. Уточним ν2 при повторной итерации:

4.Оценка точности вычисления:

0,529 0,516 100 % 2,5 % 5 % . 0,516

Принимаем = 0,529; остаточная концентрация на выходе:

C1 C0 1,8 0,529 0,9522 моль/л.

С такой концентрацией реагент входит во второй реактор. 5. Расчет второго реактора:

48

Оценка точности вычисления:

0,2389 0,2364 100 % 1% 5 %. 0,2364

Принимаем ν = 0,239.

6. Остаточная концентрация реагента на выходе из второго реактора:

С2 = С1ν = 0,9522 · 0,239 = 0,2276 моль/л.

7. Расчет остаточной концентрации реагента на выходе из каскада:

7.1.Байпасный поток: 20 % от Q = 0,20·500 = 100 л/мин при концентрации, соответствующей потоку из первого реактора,

т.е. 0,9522 моль/л.

7.2.Поток из второго реактора: 80 % от Q = 400 л/мин при концентрации 0,2276 моль/л.

7.3.Смешение потоков.

Общий расход 100 + 400 = 500 л/мин.

Содержаниереагента: 100 ·0,9522 + 400 ·0,2276 = 186,26 моль.

Концентрация реагента в суммарном потоке

3.3. Графический метод расчета каскада реакторов идеального перемешивания

Еще раз вернемся к выражению (64) для m-го реактора кас-

49

В этом уравнении Сm–1 – концентрация реагента на входе в m-й реактор каскада; τm – время нахождения реагента в нем; Сm – концентрация на выходе из реактора, являющаяся параметром, поскольку она постепенно снижается, пока сырье находится в реакционном объеме.

Правая часть соотношения (79) представляет собой уравне-

ние прямой линии типа y = Ах + В. Величина 1 соответствует

τm

тангенсу угла наклона А, а Cm 1 является постоянной величи-

τm

ной, соответствующей В. В качестве параметра х выступает текущая концентрация Сm.

Решением уравнения (64), графически представленного на рис. 10, является точка пересечения прямой линии и кривой

Wr kCn (см. (64)):

Рис. 10. Графическое решение уравнения (79)

Для следующего реактора каскада m+1 логика решения будет аналогична (представлено пунктиром на рис. 10).

50