книги / Теория химических реакторов введение в основной курс

нескольких реакторов. В частности, последовательный каскад m реакторовидеальногоперемешиванияприразныхобъемахаппаратов:

Последовательное включение реакторов идеального перемешивания и идеального вытеснения:

По этим же правилам могут быть рассчитаны передаточные функцииболеесложных, комбинированныхреакторов(см. рис. 4).

Эксперимент по установлению структуры потока в реакторе может быть организован не только с инертным индикатором, но, как уже было указано, и путем изменения входной концентрации реагента. Эти изменения также могут быть организованы в форме δ-функции, σ-функции или в форме гармонических колебаний. В этом случае передаточная функция рассчитывается с учетом кинетики процесса (130)–(133). Результат таких исследований может точнее отражать структуру потоков в реакторе, поскольку в этом случае полностью учитываются все его параметры, в том числе и молекулярная диффузия.

Приведем без вывода передаточные функции некоторых моделей, представленных на рис. 19–22 [12]. (На рис. 19–22 параметр V0 соответствуетобъемуреакционнойзоныV.)

Рис. 19. Каскад реакторов идеального перемешивания

81

В модели на рис. 20 представлены три зоны вытеснения с соответствующими долями b1, b2 , b3 , зона смешения с долей m и

две застойные зоны с соответствующими долями d1, d2. Суммирование ведется по двум отдельным контурам [12].

где ε – фазовый сдвиг системы в единицах τ; η – коэффициент перемешивания, для идеального перемешивания η = 1; τL – запаздывание.

82

то же для ступенчатой σ-функции Хевисайда:

6.2. Функции отклика некоторых типов реакторов

Выражения (135) и (136) позволяют найти функции отклика на возмущения различного типа для любого реактора, для которого установлен вид передаточной функции W(p).

Рассмотрим реактор идеального перемешивания, описываемый передаточной функцией W ( p) 1 1 p . В соответствии с уравнени-

ем (135) относительная концентрация на выходе при подаче на вход реактора импульсного концентрационного возбуждения может быть представлена в пространстве изображений в виде

c( p) 1 1 p (рис. 23). Проводя обратное преобразование Лапла-

са (L–1) с помощью таблиц перехода [3, 4], можно сразу полу-

ный импульс) полностью соответствует полученному ранее (96). Реакция на ступенчатое повышение концентрации (рис. 24), в соответствии с уравнением (136), может быть найдена при об-

ратном преобразовании Лапласа для выражения

W ( p) 1p 1 1 p .

Таблица переходов позволяет сразу найти решение:

c2( ) 1 exp , которое соответствует полученному ранее (98).

84

Исследование структуры потоков в реакторах может проводиться не только с помощью импульсного или ступенчатого сигнала на входе, но и с помощью сигналов другой формы, например синусоидального. Все преобразования операционным методом выполним в Mathcad. Для этого зададим функцию изменения концентрации С1SIN (τ) на входе в реактор в виде уравнения

. (137)

Для выполнения операций запишем в Mathcad только правую часть этого уравнения:

Выделим параметр τ при нажатой левой клавише «мыши». Обратимся к процедуре «символьные операции» на верхней панели программы, где выберем операторы «Преобразование» и «Лапласа». В результате последовательного применения этих операторов появится изображение этой функции в комплексном пространстве (в Mathcad вместо комплексной переменной p используется обозначение s):

. (139)

85

Умножим это изображение на передаточную функцию реактора идеального перемешивания:

где значком θ обозначено среднее время пребывания компонентов в реакторе ( ). Далее можно провести умножение и упростить полученное выражение. Или сразу провести обратное преобразование Лапласа, для чего также выделим в любом месте выражения (140) букву s (без степени!) и вызовем процедуры «Преобразование»; «Обратное Лапласа», в результате чего появится выражение

. (141)

Это и есть искомый отклик реактора в реальном пространстве. В Mathcad время обозначается буквой t, поэтому, заменив ее на ранее использованную букву τ и проведя несложные алгебраические преобразования, получим уравнение для С2SIN (τ), описывающее изменение концентрации на выходе из реактора во времени:

Оба эти уравнения (для C1SIN(τ) и C2SIN(τ)) представлены на рис. 25. Обращает на себя внимание тот факт, что функция отклика (сплошная линия) не только отличается по амплитуде от исходного сигнала (пунктир), но наблюдается и фазовый сдвиг

86

между ними, также несущий определенную информацию о процессах, протекающих в реакторе.

Рис. 25. Отклик реактора на синусоидальное возбуждение на входе. Принято значение 1

Основной задачей исследования реакторов является нахождение численных значений параметров вышеприведенных уравнений, которые и определяют их характеристики. Этого можно достичь двумя способами: либо подбирать параметры теоретического уравнения таким образом, чтобы добиться наименьшего уклонения теоретической кривой от экспериментальных значений, либо провести инструментальные замеры характерных параметров экспериментальной кривой, по величине которых могут быть вычислены параметры теоретического уравнения.

Практически всегда реальные реакторы не могут быть полностью отнесены к тому или иному идеальному типу, поэтому при исследовании реакторов необходимо также подбирать и эквивалентную схему (см. главу 1).

Рассмотрим в связи с этим реактор вытеснения с рециркуляцией части реакционной массы, которая может как проходить самопроизвольно, так и быть организованной специально.

В соответствии с уравнением (124) передаточная функция такого реактора может быть записана и преобразована в следующем виде:

87

здесь a – доля возвращаемого потока. Черта сверху над индексом а символизирует задержку по времени для введенного на вход импульсного возмущения, которое появляется на выходе из реактора через время . Выражение (143) не может быть непосредственно подвергнуто обратному преобразованию Лапласа, поэтому переведем его в другой вид, для чего проведем простое деление «уголком» единицы на знаменатель, который представим в виде разложения в ряд Маклорена (символ заменен на Т):

88

Получившееся при делении выражение может быть легко подвергнуто обратному преобразованию Лапласа, в результате чего получится формула, описывающая реакцию реактора идеального вытеснениясобратнойсвязьюнаимпульсныйсигналнавходе:

Получается, что сначала с задержкой 1Т появляется единичный импульс размера а0, затем с задержкой 2Т появляется единичный импульс размера а1, далее с задержкой 3Т – импульс размера а2 и т.д. Иначе говоря, реакция системы представляет собой бесконечный цуг равноудаленных импульсов, уменьшающихся по размеру в геометрической прогрессии.

Используя выражение (136), можно вычислить реакцию реактора идеального вытеснения с рециркуляцией на возбуждение в виде единичной ступеньки. Эта возможность предоставляется читателю.

6.3. Функция отклика произвольного реактора

Наибольший интерес вызывает реакция на стандартные типы возбуждений для реактора, не относящегося ни к одному из идеальных типов, т.е. к реактору с известным критерием Пекле.

В примере 19 в приложении 3 приведено математическое выражение, позволяющее в принципе описать эту реакцию, однако во всех случаях неопределенными являются граничные условия А и В для решения дифференциального уравнения. Поэтому для решения этой задачи воспользуемся замечанием, резюмирующим поведение δ-импульса в реакторе идеального вытеснения, зафиксированном после уравнения (98): «поведение следующих за фронтовым слоем будет просто повторять его поведение».

Вначале рассмотрим поведение одиночного δ-импульса в реакторе, характеризующемсясобственнымзначениемкритерияПекле.

Поведение порции индикатора, попавшей внутрь реактора, может быть описано двумя процессами: во-первых, она пере-

89

носится потоком в сторону выхода из реактора со средней скоростью w, м/с, во-вторых, она постепенно размывается по объему реактора за счет диффузии. В случае реального реактора следует говорить, что это «размывание» связано с коэффициентом эффективной диффузии (Def), включающей в себя как истинную молекулярную диффузию, так и перемешивание за счет микроконвекционного движения в жидкости. В некоторых пределах можно считать, что такое перемешивание описывается уравнением типа Фика для молекулярной диффузии, в связи с чем для анализа можно воспользоваться классическим решением для обычной диффузии:

где С(z) – концентрация инертной метки на расстоянии (x – z) от точки центра масс метки; τ – время от начала процесса «размывания»; x – координатанахождения центра масс метки; С1 – начальная концентрация метки. Величина c(z), где с – строчная, является безразмернойконцентрацией, связаннойскоординатойz.

Обязательным условием является сохранение количества вещества в системе, что описывается уравнением нормировки:

Если длина реакционной зоны равна L, то расстояние от точки нахождения метки (для входа в реактор x = 0), точнее, от ее движущегося центра масс, до выхода из реактора соответствует значению (x – z) в формуле (145): (x – z) = L – wτ. Следовательно, концентрациянавыходе изреактораможетбытьзаписанаввиде

90