книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

Zb учитывая что при f=0 Zi=0. Значит, Апт= 0, кроме того, при f=0 скорости верхней и нижней плит

и для Впт обычным порядком получим выражение

^/2 • ВпТп©nm = ^ (2р + р0h0) ndx:

учитывая, что

sx= -^-sin —

2 i

i nm = s i n - ^ ,

все Bnm= 0, кроме

(2|х + /t0ро) 2©!

В данном случае из бесконечного ряда сохранился один первый член, так как внешний импульс распределен по длине пролета по закону синуса, т. е. по одной из форм собственных колебаний. Это внешнее воздействие вызывает колебания, соответствующие этой форме:

Частоту вычисляем по формуле (5.54).

Для второй формы колебаний, соответствующей противоположным фазам, используя формулу (5.53), получим

sincM sin-

Частоту, соответствующую этой форме колебаний, вычислим по формуле (5.55), учитывая, что t'= l, *= 0

и а=1.

Прогиб несущего перекрытия

Из формулы видно, что отношение частот собствен­ ных колебаний представляет собой правильную дробь.

=0 ,4 5 - ^ - sin -5*-

с’ 2ц©! I

Если бы это же перекрытие мы рассчитывали по приближенным формулам, по которым учитывают только первую группу частот, допуская, что верхняя и нижняя плита двигаются в одной фазе, тогда получили бы формулу

"...„« = 0 , 6 6 7 - ^ 3 ^ ,

т. е. вычисленный таким приближенным способом про­

гиб больше истинного на 0,667 0,45 -100=30%.

0,667

Мы рассмотрели случай, когда 1/а — четное число, при этом наибольший прогиб в нижней плите возника­ ет позже четверти периода основного тона колебаний.

Если же 1/а нечетное число, график движения ниж­ ней плиты будет иметь вид, показанный на рис. 33, б, а верхней — на рис. 33, а.

Верхняя плита двигается по другому закону, нежели нижняя. Метод конечных элементов позволяет решить задачи при других более сложных способах опирания контура пластинки.

5.8. Колебания цилиндрических оболочек

Метод расчета цилиндрических оболочек с гибким контуром поперечного сечения создан проф. В. 3. Вла­

Цилиндрическая оболочка заменена вписанной в нее пластинчатой системой, состоящей из узких прямо­ угольных пластинок (рис. 34), каждая из которых пред­ ставляет собой конечный элемент. По ширине пластин­

ки нормальные напряжения изменяются по линейному закону.

Масса каждого конечного элемента сосредоточена по ребрам системы и распределена равномерно вдоль этих ребер.

Дифференциальные уравнения (5.65) и (5.66) со­ ставлены для ребра i пластинчатой системы. Уравнение (5.65) представляет собой уравнение равновесия, в ко­ торое, кроме сил упругости вошли силы инерции; урав-

нение (5.66) — уравнение деформации. Индекс жен принять различные значения.

При помощи поперечных сечений свод можно раз­ бить на ряд двухшарнирных арок шириной, равной единице. Прямолинейные элементы этих арок (рис. 34). приняты нерастяжимыми (несжимаемыми). Но они рас­ сматриваются как гибкие и способные воспринимать, кроме осевых сил, изгибающие моменты, действующие в плоскости арки.

Рассмотрим граничные условия свода. Свод в торцах опирается на диафрагмы, которые обеспечивают свобод­

( « о = 0 ) .

2. Каждая точка продольного края неподвижно при­ креплена лишь в плоскости поперечного сечения свода двумя опорными стержнями, расположенными в той же плоскости.

Точки края могут иметь перемещения в продольном направлении. Сдвигающие силы в точках продольного края равны нулю (5о= 0 ).

Ввиду симметрии контура поперечного сечения свода относительно центральной вертикальной оси собствен­ ные колебания свода'состоят из двух видов колебаний:

симметричных и обратносимметричных в плоскости его поперечного сечения.

Рассмотрим свод, основная система которого изобра­ жена на рис. 35. Она получена введением в шестигран­ ную оболочку по ребрам 1—3 продольных связей и цилиндрических шарниров.

Неизвестными являются: Gi(x, t), <J2(X, t), Сз(я, t) — нормальные напряжения в точках 1—3 поперечного се­ чения свода (продольные нормальные напряжения) и G1(лг, 0 , G2(X, t), G3(x, t)—поперечные изгибающие мо­ менты. Индексы 1—3 обозначают номера ребер свода.

Неизвестные, отмеченные индексами 1 и 2, отнесем к ребрам У, 2 левой половины свода. В ребрах правой половины свода будут действовать те же условия, что

ив соответствующих ребрах левой половины свода, с теми же знаками при симметричных колебаниях свода

ис обратными знаками при обратносимметричных коле­ баниях.

Неизвестные, отмеченные индексом 3, о3(я, t) и G3 (х, t), относящиеся к среднему ребру свода, сохраняют­ ся лишь при симметричных колебаниях; при обратно­ симметричных колебаниях они, очевидно, равны нулю.

Неизвестные й0(х, t) и Go(x, t), относящиеся к реб­ ру 0 свода, в. состав основных неизвестных не входят. Нужно иметь в виду, что о0(х, t ) = 0 при первом вари­ анте условий на продольных краях (т. е. при «0= 0) и сто (л:, t)=G\{xt t) при втором варианте тех же условий (т. е. при 5о= 0 ). При свободном опирании продольных краев свода на опоры поперечные изгибающие моменты G0(x, t) равны нулю.

В соответствии с указанными шестью неизвестными функциями мы располагаем шестью однородными диф­ ференциальными уравнениями (5.65) собственных ко­ лебаний. Эти уравнения приведены в табл. 5 в матрич­ ной форме. Уравнения граф 3—5 являются уравнениями равновесия; в них входят силы инерции: QJK /E’frjdt2

оц(х, t).

Уравнения граф 6—8 являются уравнениями нераз­ рывности, в них силы инерции не входят.

При рассмотрении симметричных колебаний данные табл. 5 должны быть сохранены полностью; при рас­ смотрении обратносимметричных колебаний в ней нуж­

Дифференциальные уравнения табл. 5 переходят в алгебраические уравнения после следующей подста­ новки:

°h (*>0 = СТЛХп (х) sin ш/,

Gk (x,t) = GhX n (х) sin cof,

где Oh н Gu (Л — 1, 2, 3) — неизвестные постоянные величины, ха­ рактеризующие изменения соответствующих усилии в плоскости по­

Х п (х) = sin ~~j~ при п = 1,2,...,оо.

где х — координата (см. рис. 34); L — пролет свода.

Однородные алгебраические уравнения собственных колебаний даны в табл. 6. Если решить три последних уравнения табл. 6, не содержащих сил инерции, отно­ сительно неизвестных G/t, то получим следующую зави­ симость между изгибающими моментами Gh и нормаль­ ными напряжениями

После подстановки (5.67) в уравнение табл. 6 (в первые три уравнения, содержащие силы инерции) по­ лучим три уравнения с тремя неизвестными:

(5.68)

Далее уравнение частот составляется обычны рядком.

где он— соответствует изменению продольных нормальных напряже­ ний по поперечному сечению свода:

Эти формулы позволяют вычислить продольные нормальные напряжения, отвечающие главным формам ко­ лебаний свода.

Поперечные изгибающие моменты

Gk (x) = GhX x. (5.77)

Gu представляют собой поперечные изгибающие моменты в сечении сво­ да при х=1/2 и опреде­ ляются по формуле

ных колебаниях

(ft =1,2,3);

(5.78)