книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

сательных напряжений, являющихся функциями четырех переменных, три из которых будут координатами точки,

ачетвертое переменное — время.

Взоне упругих деформаций движение частиц будет описано обычными уравнениями теории упругости, в ко­ торые войдут силы инерции. Движение этих частиц вы­ звано системой напряжений, возникающих на границе между пластической и упругой областями. Эти напряже­ ния еще неизвестны; они будут найдены из уравнений, которые составляются по поверхности контакта двух смежных областей.

Для упругой области задача сводится к исследова­ нию вынужденных колебаний, и для ее решения можно использовать известные методы; например, с успехом можно применить разложение внешней нагрузки по соб­ ственным функциям данной краевой задачи и найти ре­ шение в виде бесконечного ряда. Зона пластических деформаций находится между воронкой и областью упругих деформаций; она представляет собой довольно тонкий слой, передающий давление в упругую область. Движение частиц пластической области описывается другими уравнениями, которые должны быть составле­ ны с учетом свойств частиц пластической области.

В пределах первой области (воронки) материал, как известно, разрушается, и отдельные куски неправильной формы выбрасываются. Следствием допущения о мгно­ венном распространении деформаций является то, что части материала, находящиеся в пределах воронки, в мо­ мент приложения импульса находятся в разорванном виде и представляют собой отдельные не связанные меж­ ду собой массы, которые приводятся в движение внеш­ ним импульсом. Их движение можно схематизировать поразному; например, можно считать, что пока действует положительное давление, растрескавшиеся частицы ма­ териала воронки прижимаются этим давлением к пла­ стической зоне и передают ей давление от взрыва. После перемены знака внешнего давления частицы воронки продолжают по инерции двигаться совместно с осталь­ ными элементами системы по тому же направлению. Когда давление изменит знак, то куски воронки отделя­ ются от конструкции и будут двигаться по своим траек­ ториям.

Другая схема получится, если считать, что куски во^ ронки двигаются с самого начала по определенным тра­

екториям и пользуются пластической зоной как смазкой; облегчающей отделение их от конструкции. Разные час­ тицы воронки, конечно, двигаются по особым законам и находятся не только под воздействием внешних сил, нооказывают также взаимное влияние; поэтому, вероятно, каждый кусочек, выделившийся из воронки, имеет само­ стоятельное, присущее ему движение. Но для построения приближенной теории придется найти движение такой частицы воронки, которая находится в средних условиях,, и остальным частицам приписать этот закон. Таким об­ разом, движение частиц в воронке будет описано прибли­ женно, сохраняя для всех элементов воронки общий ха­ рактер движения.

Изучая движения частиц каждой зоны в отдельности,, можно довести решение задачи до конца, если известны начальные и граничные условия, а также закон измене­ ния внешних сил, приложенных к каждой зоне.

Для воронки начальные условия определяются с точ­ ностью до постоянного множителя, исходя из условия,, что скорость частиц воронки в начальный момент одина­ кова; тогда уравнение движения будет определено с точ­ ностью до общего постоянного множителя, зависящегоот начальных условий. Если свойства пластического слояприближаются к свойствам жидкости, то реакция, возни­ кающая между частицами воронки и пластической зоной,, будет постоянна по всей поверхности раздела между во­ ронкой и пластической областью. Эта реакция будет су­ ществовать в течение того отрезка времени, который со­ ответствует действию импульса.

Если продолжительность импульса принять равной нулю и вести расчет на мгновенный импульс, то на гра­ нице раздела воронки и пластической области будет вве­ ден в расчет импульс реакции.

Приравнивая количество движения массы воронкиразности импульсов внешнего и реактивного, найдем начальную скорость частиц воронки.

найти из условия, что напряжения, вызванные реакцией между воронкой и пластической областью, должны соответствовать предельной несущей способности ма­ териала.

В пределах пластической зоны силы инерции выде­ ленного элемента уравновешиваются постоянной силой

взаимодействия, возникающей между частицами, поэто­ му каждая - частица двигается равномерно-замедленно. Граница между пластической и упругой зонами опреде­ ляется условиями перехода материала из одного состоя­ ния в другое. Эти условия можно сформулировать как условия, зависящие от предельной величины напряжений или от предельной величины деформаций. Пластическая область определяется из тех соображений, что она смяг­ чает действие внешнего импульса и передающееся на упругую область давление не вызывает в ней смещений, выходящих за предел упругости. Это непосредственно следует из самого определения упругой области.

Взаимодействие между упругой и пластической об­ ластью сводится к действию на границе этих областей сил, переменных во времени; для упругой области таким образом получаем обычную задачу исследования коле­ баний, вызванных внешними силами. Для целого ряда практически важных случаев эта задача доведена до конца и может быть использована в готовой форме.

Пользуясь намеченной схемой решения, необходимо помнить, что условия для удовлетворения контакта на границе областей будут в данном случае выглядеть зна­ чительно сложнее, чем в статической задаче, так как здесь приходится добиваться эквивалентности не только смещений, но и скоростей и ускорения тех точек, которые расположены на границе двух смежных областей.

4.2.Задача одного измерения

Как первое приложение этой схемы рассуждений рас­ смотрим простейший случай одномерного напряженного состояния, например тон­ кий длинный стержень, в котором смещения и на­ пряжения являются функ­ цией только одной коорди­ наты и времени. По пло­ щади же поперечного се­ чения стержня напряжения и деформации распределя­ ются равномерно. Из на­

пряжений поэтому остаются только нормальные, кото­ рые можно заменить равнодействующими. Схема рас­ положения зон дана на рис. 12.

Разделим стержень параллельными сечениями на слои толщиной Д*. Тогда дифференциальное уравнение движения в пределах этого слоя будет записано так:

где Е — модуль упругости материала и F — площадь поперечного се­ чения входят в матрицу [/С]; тп— масса выделенного элемента, об­ разуют диагональную матрицу массы.

Этим уравнением можно воспользоваться для обеих частей стержня, если считать модуль упругости пере­ менным, зависящим от координаты точки. Е(х) должно быть подобрано так, чтобы по возможности ближе подой­ ти к действительному. В этом случае не будет резкого перехода от пластической к упругой зоне; граница между ними стирается; так и бывает в действительности.

Таким образом уравнение (4.1) становится уравнени­ ем с переменным коэффициентом вида

в котором

№*)] = E(x)F'

Однако, принимая ступенчатое изменение f(x), полу­ чим дифференциальное уравнение для определения соб­ ственных функций

где фп(*) — суть собственные функции; А,„— собственные числа.

Собственные функции будут найдены из уравнения (4.3). Тогда решение данной задачи, т. е. уравнения (4.2), можно записать

Постоянные ап и Ьп будут найдены из начальных условий.

Полученное таким образом решение задачи будет определено с точностью до трех постоянных, поэтому необходимо добавить еще три уравнения, позволяющие определить глубину воронки, длину того участка стерж­ ня, который находится в пластическом состоянии, и на­ чальную скорость кусочков, отделяющихся от стержня в зону разрушения.

Первое уравнение получим, приравняв кинетическую энергию системы работе внешнего импульса 5. В общем виде это уравнение имеет вид

U+U

Q

где т\ — масса воронки; 0| — скорость частиц воронки.

Второе уравнение получим из (4.4), если поставим условие, что пластические деформации начинаются при относительном удлинении

ду

- г - = е0; тогда

дх

Наконец, последнее уравнение найдем, используя экс­ периментальные данные, относящиеся к динамической прочности материала; это уравнение запишем так:

* - “(£)• <47>

где а — численный коэффициент.

Это уравнение имеет тот смысл, что разрушение ма­ териала происходит при вполнеопределенной ско­ рости V.

Для описания движения в пределах каждого участка получим дифференциальное уравнение с постоянным ко­ эффициентом и найдем собственные функции и собствен­ ные числа. Дифференциальное уравнение движения по­ лучается в виде

Для определения собственных функций получим урав­ нение

Левый конец стержня, соответствующий упругой зоне, заделан, поэтому при х=0 у=0, т. е. <рп= 0, значит, Ci = 0.

следовательно, C2A,n cos Хп /з= 0.

Но это уравнение возможно, если cosXn/3= 0. Поль­ зуясь этим условием, находим собственные числа

Собственные функции принимают вид

ф„м = sin- f - - ^

иполучаем уравнение движения

п=1,3,5... 3

Частота связана с собственными числами формулой

где Si — внешний импульс.

Импульс Si (х) определен пока с точностью до посто­ янного множителя, и закон его распределения по стерж­ ню соответствует закону распределения заданного им­ пульса, поэтому можно сделать такую подстановку

где К — численный коэффициент, меньший единицы.

Раскрывая это условие, получим

В данном случае коэффициенты Вп являются коэф­ фициентами ряда Фурье, в который надо разложить внешний заданный импульс. Таким образом, решение уравнения движения найдено с точностью до двух пара­ метров К и /3.

Для их определения составим два дополнительных уравнения. Первое уравнение получим, если начальную скорость кусков разрушенного материала приравняем максимальной скорости правого свободного конца стерж­ ня, принимая а=1 в уравнении (4.7) и полагая х = /3.

Второе уравнение получим, подсчитывая кинетиче­

скую энергию, сообщенную той части стержня, которая совершает упругие колебания:

о

и прибавим к ней живую силу кусков, выброшенных из воронки. Тогда получим полную кинетическую энергию системы; ее следует приравнять работе внешнего им­ пульса. Работа внешнего заданного импульса 5(х)

(4.14)

После составления и совместного решения двух полу­ ченных уравнений, определим /3 и К.

4.3. Балка, заделанная одним концом

Рассмотрим другой важный для практики случай рас­ чета балки, заделанной одним концом, и учтем взаимное влияние местных и общих деформаций. Этот случай будет несколько отличаться от задачи одного измерения тем, что по длине балки в результате местных разрушений бу­ дет меняться момент инер­ ции и масса единицы дли­ ны балки. Обе эти величи­ ны являются функциями одной, т. е. высоты сечения балки. Схема распределе­ ния зон в балке показана на рис. 13. Если отбросить зону пластических дефор-

маций, которая в данном случае имеет второстепенное влияние, и считать, что непосредственно за воронкой следует зона упругих колебаний, то задача значитель­ но упрощается и сводится к изучению колебаний балки переменного сечения. Для решения такой задачи можно использовать обычный метод, составляя дифференци­ альное уравнение движения для элемента, выделенного из балки. Интеграл этого уравнения ищем в виде бес­ конечного ряда разложением внешней нагрузки по соб­ ственным функциям. Объем воронки может быть опре­ делен, если форму воронки задать, исходя из данных опыта, с точностью до постоянного множителя.

Систему дифференциальных уравнений свободных колебаний балки переменного сечения в матричной фор­ ме запишем так:

Матрица массы [М] вычисляется по формуле (3.37) сложением матриц отдельных элементов.

Частоту колебаний найдем по формуле

ша = Ш Ш К

Амплитуду колебаний найдем, приравнивая работу внешнего импульса кинетической энергии балки в на­ чальный момент.

В кинетическую энергию системы необходимо вклю­ чить живую силу, сообщенную осколкам зоны разру­ шения.

Работа внешнего импульса

- у j s (х) »Жс= - J | -dfflXS(*) dx.

Матрицу жесткости балки переменного сечения вы­ числяют суммированием матриц соответствующих тре­ угольных элементов, вычисленных по формуле (3.23).

Кинетическая энергия системы

//

оо

Наибольшая скорость будет соответствовать той точ­ ке балки, для которой X имеет наибольшее значение

(Ямакс); эту скорость принимаем равной скорости оскол­ ков V\ = Омане= ^(й-^макс.

Массу воронки т\ найдем как разность между перво­ начальной массой балки т и оставшейся массой упругой зоны. Тогда после преобразования кинетической энергии получаем амплитуду колебаний

о 4

Стоящие в знаменателе интегралы вычисляют обыч­ ным путем, и если р(х) меняется по аналитической кри­ вой, то интегралы могут быть получены в замкнутой фор­ ме; в противном случае интегрирование придется заме­ нить суммированием и решить задачу в численном виде.

Дальнейшее уточнение задачи можно вести в разных направлениях: например, частоту собственных колебаний можно искать, приравнивая кинетическую и потенциаль­ ную энергии упругой зоны. При подсчете потенциальной энергии придется учесть переменный момент инерции балки. В кинетическую энергию войдет переменная мас­ са. Собственную функцию не обязательно брать того ви­ да, который отвечает цилиндрическому стержню, имею­ щему постоянный момент инерции и постоянную массу единицы длины; можно от этого отойти в дальнейшем и вычислить собственную функцию последовательными приближениями, хотя бы в численном виде. Влияние зоны пластических деформаций также можно включить в общую схему рассуждений без изменения принципиаль­ ной стороны задачи.

В пределах пластической зоны поперечное сечение будет состоять из двух частей: та часть его, которая осталась в упругой зоне, будет следовать законам упру-

гости, другая же часть, попавшая в зону пластических деформаций, будет иметь другой модуль упругости. По­ этому в уравнении движения станет переменным не толь­ ко момент инерции, но и модуль упругости.

Чтобы определить границы зоны разрушения и пла­ стической зоны, нужно составить дополнительные уравне­ ния, как это было сделано в п. 4.2 для случая задачи од­ ного измерения.

Изложенный порядок расчета балки с учетом местных разрушений показывает, что эта задача может быть до­ ведена до конца в приближенной форме. Степень при­ ближения при этом соответствует общей точности расче­ та с применением конечных элементов.

4.4. Построение линий наибольших нормальных напряжений

Сделаем оценку влияния местных разрушений на об­ щее напряженное состояние системы построением харак­ теристических линий. Идея, положенная в основу по­ строения таких линий, заключается в следующем.

Как было указано ранее, при расчете на общее дейст­ вие импульса обычно не учитывают местные разрушения, но при определении напряжений в пределах поврежден­ ной части стержня вводят в расчет уменьшенное на глу­ бину воронки поперечное' сечение. При таком расчете объем разрушенной части считается малым, т. е. повреж­ дение принимается в виде узкой трещины. В действи­ тельности же воронка, получающаяся при импульсе, имеет довольно большую ширину (в 3—4 раза больше глубины). Учтем влияние ширины воронки на напряжен­ ное состояние системы. Для этого изучим изменение на­ пряжений в каком-либо сечении стержня в зависимости от размеров воронки. Кривую, которая будет изображать закон изменения напряжения в данной точке в функции от размеров воронки, назовем характеристической кри­ вой для данной точки сечения. Каждая точка любого по­ перечного сечения будет иметь в общем случае свою ха­ рактеристическую линию.

Одинаковые точки, расположенные в разных попереч­ ных сечениях, также будут иметь разные характеристи­ ческие кривые. Напряженное состояние будет описано достаточно подробно, если построить семейство таких линий, относящихся к разным поперечным сечениям, и