книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

Подставляя значение производной смещения из фор-

'мулы (7.35) в формулу (7.36) и разрешая это уравнение относительно АХК, найдем АХК и вычислим

Аналогичные формулы можно получить для АХК, но выраженные через напряжения или моменты. Напри­ мер, для трехэтажиой рамы будем варьировать два па­

нием ограничений на на­ пряжения в нижнем ригеле; 4 — кривая при смещении

7.7. Взаимодействие волн с сооружением

Задача об исследовании сооружений на действие сейсмических волн является очень сложной и комплекс­ ной по своей физической природе. Эффект действия сей­ смических сил на фундамент сооружения, как известно, зависит не только от величины внешних сил, но также йот динамических свойств сооружения. Внутренние кон­ структивные элементы, размещенные в сооружении, по­ лучают перегрузки, которые зависят от параметров внешнего воздействия и от соотношения динамических свойств сооружения и данного конструктивного элемен­ та. Существенное влияние на результат оказывают кон­ структивные особенности взаимного крепления элемен­ тов! Чтобы решить задачу о выборе наиболее рацио­

нального типа сооружения, необходимо установить параметры внешнего воздействия. В данном случае внешние силы относятся к так называемым случайным воздействиям, эффект которых лучше всего оценивает­ ся методами теории вероятности.

Влияют на величину сейсмического эффекта инже­ нерно-геологические условия строительной площадки, на которой расположено сооружение. Эти факторы тео­ ретически могут быть оценены только приближенно. Ин­ женерно-геологические условия уточняются при прове­ дении специальных исследований по определению дина­ мических свойств грунтов на той строительной площадке, где размещается сооружение. Таким образом, колеба­ ния элементов сооружения существенно отличаются от тех колебаний, которые совершает грунт, расположен­ ный под фундаментом сооружения.

Точное теоретическое решение задачи о расчете со­ оружений на действие сейсмических волн сложно и по­ этому на практике применяют приближенные инженер­ ные способы. При использовании приближенных расче­ тов необходимо установить границы их применимости и экстраполяцию за их пределы следует делать весьма осторожно.

Чтобы правильно применять результаты теоретичес­ ких расчетов, большое значение имеет их эксперимен­ тальная проверка. По инженерной сейсмологии накоп­ лен большой экспериментальный материал, но его ис­ пользование затрудняется отсутствием единообразия в применяемых измерительных приборах и методах про­ ведения измерений.

Важен и выбор расчетных параметров для оценки сейсмического эффекта. Следует выделять специфичес­ кие параметры, зависящие от динамических свойств со­ оружения, от более общих, присущих волновому процес­ су. К числу таких общих параметров относятся динами­ ческие модули деформативности и плотность грунтов, скорость распространения сейсмических волн, а также смещения, скорость и ускорения частиц грунта, возни­ кающие в процессе передачи сооружению внешнего вол­ нового эффекта.

Для более правильного использования карт сейсми­ ческого микрорайонирования необходимо учитывать ме­ ханизм передачи эффекта динамической сейсмической нагрузки фундаментам сооружений. Можно предвидеть,

что будет разница при рассмотрении стационарного волнового процесса и при действии бегущей волны. При сильных землетрясениях происходит образование зон пластических деформаций в грунте, которые оказыва­ ют влияние на сейсмостойкость сооружения; в этом слу­ чае возникают неустойчивые колебания. Параметры сейсмических волн изменяются в процессе прохождения волн под сооружением.

Теория расчета на действие сейсмических воздейст­ вий детально разработана в трудах советских ученых (Завриев — 1946 г., Корчинский — 1954 г., Медведев — 1962 г., Назаров — 1959 г., Синицын— 1967 г.). Было установлено, что в результате взаимодействия между сейсмической волной и сооружением происходит пере­ распределение реакций по подошве сооружения, благо­ даря чему возникают дополнительные усилия, изменяю­ щие коэффициенты запаса прочности и устойчивости сооружения.

Рассмотрим простейший случай абсолютно жесткого фундамента сооружения, расположенного на упругом полупространстве. Пусть упругое полупространство при­ ведено в движение и на его поверхности возникает про­ стая гармоническая стационарная волна.

Под сооружением происходит выравнивание поверх­ ности упругого полупространства, и по площади кон­ такта возникают силы взаимодействия между сооруже­ нием и упругим полупространством. Если отделить со­ оружение от основания, то по площади контакта необходимо будет приложить реакции.

При симметричном расположении сооружения отно­ сительно гребня волны сооружение получает вертикаль­ ное поступательное перемещение. Нагрузка, приложен­ ная к упругому полупространству, изменяется во време­ ни и деформирует его так, чтобы был обеспечен контакт между сооружением и основанием. Поверхность осно­ вания должна иметь прямолинейное очертание в преде­ лах участка, на котором расположено сооружение; по­ этому на концах фундамента может произойти отделе­ ние упругого полупространства от сооружения и нарушится контакт между ними.

Чтобы восстановить контакт, надо увеличить допол­ нительную уравновешенную нагрузку. Такая нагрузка выровняет поверхность упругого полупространства и восстановит контакт по всей площади фундамента.

Таким образом, при стационарных колебаниях для каждого фиксированного момента времени эпюра на­ грузки, передающаяся сооружению, будет иметь увели­ чивающиеся к краю фундамента ординаты.

Тщательное рассмотрение этой задачи показывает, что если длина сейсмической волны в два раза больше длины сооружения, то при стационарных колебаниях синусоидальная эпюра реакций будет иметь нулевые ординаты на краю фундамента, поэтому дополнитель­ ная уравновешенная нагрузка будет иметь двузначную эпюру. По мере того как длина волны по отношению к длине сооружения возрастает, уменьшаются ординаты дополнительной эпюры реакции, так как соответственно уменьшается длина криволинейного участка поверхности упругого основания, которое выравнивается под подош­ вой сооружения.

При симметричном расположении сооружения отно­ сительно гребня волны вертикальная составляющая равнодействующей сил инерции будет передавать со­ оружению поступательное смещение; ее величина будет пропорциональна массе сооружения и квадрату часто­ ты вертикальных колебаний сооружения.

Горизонтальная же составляющая равнодействую­ щей будет пропорциональна квадрату частоты горизон­ тальных колебаний. На некотором расстоянии от соору­ жения концентрация реакции к краю сооружения не бу­ дет оказывать существенного влияния на волновой про­ цесс, поэтому можно будет для первого приближения ограничиться учетом влияния равнодействующей, соот­ ветствующей синусоидальному распределению реакций в пределах фундамента.

Рассмотрим теперь более сложный случай, соответ­ ствующий бегущей волне. Подошедшая к сооружению волна будет постепенно деформировать упругое основа­ ние, сооружение же мешает этому и стремится выпра­ вить этот эффект. Весь процесс придется рассмотреть по отдельным интервалам времени. Пусть волна про­ никла под сооружение на одну четверть своей длины. Отделим сооружение от основания и приложим к со­ оружению и к упругому полупространству нагрузку, которая заменяет силы взаимодействия между ними. От этой нагрузки упругое полупространство будет иметь эпюру перемещений, распространяющуюся за пределы нагрузки.

Между тем в пределах участка, занятого фундамен­ том, до которого еще не дошла сейсмическая волна, пе­ ремещения равны нулю; поэтому к сооружению и к уп­ ругому основанию следует приложить дополнительную нагрузку, которая бы выравнивала осадки упругого по­ лупространства. Можно предвидеть, что суммарная эпюра нагрузки будет двузначной.

Дополнительная нагрузка поэтому будет приводить­ ся к моменту и равнодействующей, которые выравнива­ ют поверхность упругого полупространства. Таким об­ разом, эпюра давлений, передающаяся полупространст­ ву, будет иметь такой вид, при котором на вступитель­ ной фазе впереди фронта волны создается участок от­ рицательных давлений. На краю же фундамента, сзади прошедшей волны напряжения концентрируются и уве­ личиваются ординаты эпюры давлений. В процессе про­ движения поверхностной волны под фундаментом про­ исходит изменение величины равнодействующей сил взаимодействия между сооружением и упругим полу­ пространством, меняется также и точка ее приложения, поэтому теперь следует рассмотреть волновую картину, которая создается подвижной нагрузкой. В отличие от стацинарного случая при внезапном приложении равно­ действующей с эксцентрицитетом будут возникать вол­ ны от внезапного приложения момента.

7.8. Влияние пластических деформаций и отражения

При сильных сейсмических воздействиях деформа­ ции сооружения выходят за предел упругости. В эле­ ментах сооружения образуются упругопластические об­ ласти, жесткость сооружения изменяется, а это вызыва­ ет перераспределение реакций основания. Интересной особенностью этой задачи является то, что обыч­ ное понятие предельная нагрузка принимает здесь несколько иной смысл, так как образование в соору­ жении одной или даже нескольких пластических обла­ стей еще не превращает всю систему в изменяемую в си­ лу того, что сооружение поддерживается упругим осно­ ванием.

Предельная несущая способность может быть опре­ делена нормированием величин наибольших смещений. У жестких сооружений после образования пластических областей наблюдается интенсивное увеличение прогн-

бов, которое зависит от соотношения и упругих харак­ теристик сооружения и основания.

Упругий слой, расположенный между сооружением и полупространством, оказывает влияние на распреде­ ление реакций упругого основания; в результате этого снижаются концентрации реакций и при переходе со­ оружения за предел упругости увеличиваются его про­ гибы из-за деформирования слоя. Распределение реак­ ций зависит не только от соотношения жесткостей со­ оружения и упругого основания, а также от величины внешней сейсмической нагрузки — задача становится нелинейной.

Предельную несущую способность сооружения в за­ висимости от наибольшего прогиба можно получить, ес­ ли эти величины выразить в безразмерной форме в до­ лях прогиба и силы, соответствующих концу упругой стадии работы сооружения.

Зависимость между нагрузкой и осадкой фундамен­ та получается нелинейной с учетом соотношения физи­ ческих постоянных сооружения и упругого основания.

За пределом упругости интенсивно нарастают реак­ ции основания и прогибы. Для жестких сооружений за пределом упругости происходит значительное увеличе­ ние прогибов без заметного роста силы.

Интересно отметить, что уменьшение жесткости со­ оружения или увеличение модуля деформации основа­ ния может привести к возрастанию предельной несущей способности сооружения.

Упругая система, состоящая из сооружения и грун­ тового упругого основания, имеет односторонние связи по плоскости контакта между фундаментом и основани­ ем. Выключение их происходит на тех участках, где растягивающие напряжения, вызванные проходящей волной, будут больше сжимающих напряжений, кото­ рые возникают от собственной массы сооружения.

Выключение связей по площади контакта влечет за собой изменение жесткости системы, причем центр жест­ кости системы и центр массы даже для симметричного сооружения не будут находиться на одной вертикали. Дифференциальные уравнения, описывающие явление, становятся нелинейными или имеют переменные коэф­ фициенты.

При известных условиях движение нелинейной сис­ темы сооружение — основание может быть неустойчи­

ва

вым, поэтому целесообразно выяснить эти условия на простой модели абсолютно жесткого сооружения, распо­ ложенного на упругом слое конечной толщины.

Эта задача была исследована благодаря применению функций влияния и изучению динамических поверхно­ стей, характеризующих изменение эпюры реакции упру­ гого основания в процессе движения сооружения, а так­ же в результате выяснения условий, при которых воз­ никают области неустойчивого движения. Биения при

1962 г.

Виброграммы горизонтальных смещений точек, рас­ положенных на разных этажах, имеют очертание, ха­ рактерное для системы с нелинейными характеристи­ ками.

На рис. 70 показаны осциллограммы горизонталь­ ных колебаний, полученные для пятиэтажного дома; биения в них наблюдаются после того, как горизонталь­ ные смещения грунта прекратились, поэтому можно счи­ тать, что они были вызваны свободными колебаниями здания или вертикальными колебаниями грунта, кото­ рые приводят к поворотам здания и соответствующему горизонтальному смещению этажей.

Чтобы определить амплитуды волн, вызванных си­ лами взаимодействия между фундаментом и упругим основанием, необходимо рассмотреть эффект отраже­ ния волны от податливой преграды. Ограничимся слу­ чаем прямого падения на преграду единичной волны по­

стоянной интенсивности, тогда дифференциальное урав­ нение движения преграды можно будет записать так:

где т — масса единицы площади преграды; г ц — единичная реакция, т. е. сила, соответствующая единичному смещению преграды; у — смещение преграды в процессе движения; Р\ — давление в падающей волне; Р2— давление в отраженной волне.

Запишем условие равенства скоростей преграды и

Подсчитаем теперь коэффициент отражения, выра­ жая Р2 через Pi по формуле (7.40) и учитывая форму­ лу (7.43):

k = Pt + Pa = 2 ( l - 2 - ^ - е~°-‘ sin a j J . (7.44)

Для абсолютно жесткой преграды k= 2, для подат­ ливой преграды коэффициент отражения в процессе движения изменяется; сначала он уменьшается, затем sinai* будет отрицательным и начинается увеличение k.

График изменения хмаКо показан на рис. 72 в зависимос­ ти от значения частоты 0 — основного тона колебаний здания. Из этого графика видно, что смещения отдель­

дамент); т0=т+тъ — суммарная масса здания и фундамента; За­ горизонтальные перемещения вследствие гибкости здания.

Перемещение хь центра тяжести верхней конструк­

Для сравнения на рис. 73 показаны спектры ускоре­ ний для центра тяжести здания с учетом и без учета податливости основания. Из графиков видно, что влия­ ние податливости основания снижает ускорения элемен­ тов здания благодаря эффекту затухания колебаний. Вычисление жесткости здания дано в работе [11].

Заглубление фундамента в грунт оказывает влияние на размеры ускорений и перемещений точек здания. Ес­ ли перемещения грунта без учета влияния здания будут больше перемещений здания, то грунт будет усиливать горизонтальные нагрузки на заглубленный фундамент; в противном случае происходит торможение движения здания. Как правило, движение фундамента ближе под­ ходит к движению поверхностного слоя грунта, чем к колебаниям грунта на уровне подошвы фундамента. Что­ бы получить экспериментальные данные о соотношениях