книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

CijydVj = ciy0JVj, v

где Xoj и f/oj — координаты центра тяжести эпюры Ny

произведения же biX0j=Ni0 и ct yoj=Ni0 равны между собой и представляют ординату эпюры Ni под центром тяжести эпюры Nj, а а* есть ордината эпюры Nt при х=

= У = 0.

Окончательно получим

j N', N'I dF = Ni VJ + Wi0 Vp. = (№, + 2N n) V (3.40)

У

3.3.Определение частот

иформ колебаний балки

Врасчетной схеме при определении частот и форм колебаний балки ее заменяют осью, т. е. не учитывают влияние нормальных сил. Во многих случаях такое упро­ щение является вполне обоснованным и дает достаточно

точный результат. Использование метода конечных эле­ ментов для расчета балки позволяет этого избежать и сделать расчет без таких допущений. Наиболее естест­ венным является использование в этом случае треуголь­ ных элементов (рис. 5). В этом случае имеем два типа треугольных элементов (рис. 6). Матрицу жесткости для каждого типа элемента подсчитаем по формуле (3.23). Для этого сначала построим матрицу [Я] по формуле

С помощью этих двух матриц представляется воз­ можным построить матрицу жесткости для самых раз­ нообразных систем. Для этого следует каждую систему разбивать на рассмотренные выше треугольные эле­ менты.

Для балки в виде консоли единичные реакции kih, которые образуют матрицу жесткости, вычисляют сум-

мированием реакций, возникающих в вершинах тех

горизонтальному и вертикальному направлениям; эти

вертикальное направление в том же узле). kn представ­ ляет собой горизонтальную реакцию в верхнем узле при смещении его в горизонтальном направлении на едини­ цу; чтобы определить £ц сложим реакции, возникающие в вершинах треугольников, сходящихся в этом узле. В этом узле сходятся два треугольника; для треугольни­ ка типа / это соответствует точке i и реакция равна 0,35, а для типа II эта реакция равна 1. Таким образом, kn = =0,35 + 1 = 1,35; fci2= 0, так как вертикальное смещение на единицу не вызывает горизонтальных реакций. Реак­ ция k\z представляет собой горизонтальную реакцию по направлению 1 от смещения на единицу по направлению 3. Эту реакцию надо брать из матрицы треугольника типа II при смещении его узла k на единицу £!3= —1. Полная матрица жесткости является симметричной и со­ ставлена для одной половины балки, так как при иссле­ довании колебаний балки их всегда можно разложить на симметричные и обратносимметричные.

После определения матрицы жесткости найдем мат­ рицу массы балки, используя матрицу треугольного элемента по формуле (3.38). В отличие от матрицы жест­ кости матрица массы будет одинакова для всех треуголь­ ных элементов, поэтому после вычисления суммарной матрицы масс для узлов будем иметь: т ц = 72Н-!/г = 11 mi2= 0; mi3=V4и т. д.

Чтобы найти частоты и формы колебаний, вычисляем матрицу [/(]. Тогда по уравнению (2.27) найдем

Матрицы перемножают на ЭВМ с использованием стандартной программы. После этого получают значения частот. Число частот для симметричных и обратносим­ метричных форм равно десяти и соответствует числу узлов сетки. Первые пять частот соответствуют изгибным колебаниям и имеют следующие значения:

Y I T * т * *■

Более высокие частоты соответствуют продольным колебаниям, которые при расчете балок не учитывают.

3.4. Колебания арок

Частоты и формы собственных колебаний круговых арок определяют предполагая, что, как указано на рис. 7, криволинейная ось арки заменена ломаной. Рас­ пределенная масса арки заменена сосредоточенными,

Е

приложенными в узлах арки. Конечные элементы, на ко­ торые разбита арка, принимают гибкими, воспринимаю­ щими изгибающие моменты.

На рис. 7 изображена расчетная схема бесшарнирной арки. Ввиду симметрии изучим обратносимметричные и симметричные колебания отдельно.

Для динамического расчета арки принимаем смешан­ ный метод. В качестве основной системы примем шар­ нирную цепь (рис. 8), состоящую из п одинаковых звеньев.

Неизвестными будут (/г/2—1) перемещения Лп узлов цепи. Перемещения всех узлов при обратносимметрич­ ных или симметричных колебаниях арки и изгибающие моменты Xi в узлах цепи можно выразить через эти пе­ ремещения.

Например, для арки, изображенной на рис. 9, за не­ зависимые перемещения узлов цепи примем перемеще­ ния узлов В и С по направлению се звеньев ВС н СД.

На рис. 9 показаны два опорных стержня, превраща­ ющие цепь в геометрически неизменяемую систему. На­ правления перемещений опорных стержней 1 и 2 пред­ ставляют собой два неизвестных Ai и Аг. При изучении симметричных колебаний бесшарнирной арки мы будем иметь наибольшее число неизвестных моментов. Четыре

неизвестных момента: ХА\ Хв; Хс н X DB узлах А, В , С, D. При изучении других колебаний нужно считать XD= 0 (обратносимметричные колебания бесшарнирной арки) или Яа = 0 (симметричные колебания двухшарнирной арки), или, наконец, XA —XD= 0 (оба вида колебаний трехшарнирной арки и обратносимметричные колебания двухшарнирной арки).

Дифференциальные уравнения собственных колеба­ ний арки имеют вид:

нения -входят силы инерции, представленные в каждом уравнении первыми двумя членами. Остальные уравне­ ния выражают условия того, что перемещения по на­ правлению неизвестных моментов в основной системе равны нулю. Силы инерции не входят в эти уравнения. Число условий равновесия равно числу неизвестных пе­ ремещений. Число условий деформаций равно числу не­ известных моментов.

Если в .уравнении (3.41) мы отбросим члены, которы­ ми представлены силы инерции, то получим канонические уравнения (без свободных членов) для статической за­ дачи, решаемой смешанным методом. Таким образом, рассматриваемая задача отличается от статической уче­ том инерционных сил; канонические уравнения статиче­ ской задачи превращаются в динамической задаче в уравнения движения.

Чтобы вычислить частоты, сделаем подстановку:

где (i)— частота собственных колебаний арки.

Дифференциальные уравнения (3.41) переходят в сле­ дующие алгебраические уравнения собственных коле­ баний:

- г а О)2{4;} + га] Хк = 0 и а д {4,} + ад ] Х„ = 0.

(3.43)

Решим уравнения метода сил, входящие в уравнения (3.43), относительно неизвестных Х{. Получим формулы, связывающие изгрбающие моменты и перемещения;

где at, b{, a — безразмерные, величины, вычисляемые отдельно для обратносимметричных и симметричных колебаний данной арки.

После подстановки (3.44) в уравнения (3.41), полу­ чим систему уравнений, в которую входят только Ai:

Эти уравнения представляют собой условия равнове­ сия в основной системе с дополнительными связями 1, 2 (рис. 9). Коэффициенты уравнений (3.45) представляют

р и с . ю

собой реакции в этих связях. Коэффициенты rik должны быть определены решением статической задачи, сводя­

2...), то они, как это следует из изложенного, ничем не отличаются от обозначенных теми же буквами коэффици­ ентов уравнений (3.43).

Из уравнения свободных колебаний (3.43) получаем

Располагая частотами собственных колебаний, из уравнения (3.45) можно определить отвечающие каж­ дой из этих частот перемещения узлов арки, форму коле­ баний, а также изгибающие моменты [см. формулу (3.44)].

Формулы коэффициентов рассмотренных выше урав­ нений собственных колебаний арки как системы с двумя степенями свободы были получены доцентом Б. М. Тере­ ниным и опубликованы в 1953 г.

В основной системе перемещения каждого конечного элемента представляются линейными функциями от координат узлов.

Для состояния Ai = 1 перемещения узлов показаны на рис. 10. Узел В переместился по нормали к звену АВ, узел С — по нормали к звену CD. Перемещение узла D при симметричных колебаниях равно нулю.

Для единичного состояния Д2=1 перемещения всех узлов получены при обратносимметричных и симметрич­ ных перемещениях цепи. Перемещения даны в функции угла ф, образованного двумя соседними звеньями цепи.

Коэффициенты б,ь второй группы уравнений (3.34) представляют собой перемещения по направлению мо­ ментов Х{, вызванные единичными смещениями узлов, т. е. это будут взаимные углы поворота двух смежных звеньев в каждом узле цепи. Эти коэффициенты вычис­ ляются из геометрических соотношений, например:

ставляют собой реакции в связи К, вызванные моментом Xi= 1; их можно вычислить, используя теорему о взаим­ ности г'ы =б'и посредством указанных выше коэффици­

ентов. Кроме того, в уравнениях (3.43) имеются коэффи­ циенты 6/ti, представляющие собой взаимные углы пово­ рота сечений в шарнире k от Хг= \. Нетрудно убедиться в том, что эпюра моментов от Xi= 1 в основной системе будет распространяться только на два смежных звена (как в неразрезных балках), поэтому, например:

Наконец, необходимо вычислить реакции гм по на­ правлению связи k от смещения связи i на единицу. Фор­ мулы для этих реакций получаются более сложными. Так,

гц = - J EJ (1 + 2cos ф)2 и т. д. d3sin ф

Коэффициенты r\t , зависящие от сил инерции, пред­

ставляют собой реакцию связи k от силы инерции, во­ зникающей при смещении связи i с единичным ускорени­ ем. Эти реакции можно определить, как для формулы (3.34), вычислением работы сил инерции единичного

'состояния k (Ал=1) на перемещения другого единичного состояния £ (Д*=1):

где iji и ук — полные перемещения узла i и узла к; w и v — верти­ кальные и соответственно горизонтальные перемещения узлов.

Частоты колебаний двухшарнирных арок кругового очертания ///=0,5 указаны ниже:

К= 86,47.

ГЛАВ А 4

КОЛЕБАНИЯ БАЛОК ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ

4.1.Общая схема рассуждений

При колебаниях балки за пределом упругости возни­ кают местные разрушения и общие деформации, создаю­ щие напряженное состояние в неповрежденных участках •балки. Местные разрушения и общие деформации связады между собой и оказывают взаимное влияние. Для упрощения решения задачи расчет обычно выполняют раздельно, определяя местные разрушения, независимо от общего действия. Использование МКЭ позволяет ста­ вить задачу в общем виде и искать ее точное решение. Однако если внешние силы известны только приближен­ но и физические процессы, происходящие в упругих те­ лах после образования трещин, недостаточно выяснены, то можно получить приближенное решение.

Приступая к решению задачи об учете влияния мест­ ных разрушений, следует выбрать соответствующую мо­ дель, схематизирующую явление. Таких моделей можно наметить несколько; вероятно, характер модели будет зависеть от физических свойств материала, из которого сделана конструкция. В дальнейшем наши рассуждения

буДём относить к конструкциям, выполненным из мате­ риала, имеющего свойства бетона.

Опыты, проведенные над бетонными образцами1, по­ казали, что в толще балки получаются следующие зоны: во-первых, область разрушения, во-вторых, зона пласти­ ческих деформаций и, наконец, зона упругих деформа­ ций. Расчетная модель поэтому будет содержать эти три

зоны (рис. 11).

В каждой из областей движение частиц будет связа­

то, чтобы одна область переходила в другую без нару­ шения цельности тела. Такой переход должен существо­ вать в любой момент времени. В данном случае будет весьма удобен пошаговый метод.

Указанные три области возникают в теле не сразу. Строгое решение требует того, чтобы было учтено рас­ пространение деформаций с течением времени, но, как мы уже сказали, для приближенного решения задачи этим можно пренебречь и считать распространение де­ формаций мгновенным, т. е. в данном случае изображен­ ные на рис. 11 три зоны возникают одновременно и суще­ ствуют до конца процесса движения. Движение частиц каждой зоны можно изучить отдельно, если сделать раз­ рез по линии контакта двух смежных зон и заменить дей­ ствие одной зоны на другую системой нормальных и ка­

1 Постановка излагаемой в настоящей главе задачи и ее при­ ближенное решение было дано А. П. Синицыным, доложено на на­ учно-технической конференции ВИА в 1944 г. и опубликовано в Вест­ нике ВИА № 49 в 1946 г. под названием «Экспериментальное изу­ чение зон разрушения в бетоне» и в Трудах ВИА № 2 за 1946 г. в статье «О влиянии местных разрушений на напряженное состояние системы».