книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

Учитывая, что матрица [С] не зависит от х и у, по­

где Д — площадь треугольника; At, Aj и Am— площади частей этого

треугольника, показанные на рис. 25.

внутри треугольника выразить через координаты вер­ шин:

Истинное перемещение w точки внутри контура состоит из двух слагаемых

Матрица [/(*] определяется по общей формуле

Это обычное дифференциальное уравнение изгиба

пластинки; в него добавлены силы инерции [М2] {ау2} и реакция Ni распределяющего слоя. Сила N\ зависит от прогибов обеих плит и от продольной деформации соот­ ветствующего столбика распределяющего слоя.

Выделим вертикальными сечениями столбик из рас­ пределяющего слоя и рассмотрим условия его движе­ ния. Верхний конец этого столбика смещается на ад2,

нижний его конец— на величину прогиба несущего пе­ рекрытия. Дифференциальное уравнение движения эле­ мента, выделенного из столбика двумя горизонтальны­ ми сечениями, имеет вид

где [0 3] — матрица жесткости на сжатие; ш3 — вертикальное пере­ мещение точек распределяющего слоя; [ЛГ3] — матрица массы рас­ пределяющего слоя.

Для нижней пластинки дифференциальное уравне­ ние будет написано так:

iwoM + IMJ l ^ - ^ J = ВД,

где wt — прогиб; [£>i] — матрица жесткости; \1А(\ — матрица массы.

Силы N\ и AWi выражаем через производную и ин­ теграл от смещения по формулам:

Рассмотрим пластинку, состоящую из двух прямо­ угольных плит, соединенных между собой упругими свя­ зями. Применим для расчета способ деформаций; для

жимый стержень и у верх­ ней и у нижней плиты. Ос­ новным конечным элемен­ том будет являться прямо7 угольник.

На рис. 27, а показана пластинка, а на рис. 27,6— выбранная основная система в ортогональной проекции.

На схемах изображено конечное число связей, добав­ ленных к плитам. Но, вообще говоря, мы предполагаем, что их число может быть бесконечно большим; тогда

получим непрерывное распределение связей по площа­

ди плиты.

За лишние неизвестные принимаем вертикальные смещения по направлению добавленных связей. Для этого задаем изогнутую поверхность в виде ряда. Каж­ дое неизвестное будет представлять собой групповое неизвестное, которое соответствует смещению дополни­ тельных связей по кривой, заданной выражением

(5.38)

Единичные состояния показаны на рис. 28, а—г. Реакции в связях, вызванные этими групповыми сме­

щениями, определяют из известного бигармонического уравнения для изогнутой поверхности плиты. Для каж­ дого единичного состояния изогнутая поверхность пред­ ставляет синусоиду. Для точки с координатами х и у реакция будет равна интенсивности той нагрузки, ко­ торая вызвала бы изгиб плиты по синусоиде

q{x,y) = D { ~ - + 2 т а2й22п2я4

Таким образом, изгиб пластинки по синусоиде вы­ зывается нагрузкой, имеющей также синусоидальный закон изменения. Это можно было бы утверждать сра­ зу, учитывая тот факт, что дифференциальное уравне-' ние изогнутой поверхности пластинки является бигармоническим и что нагрузка выражается через четвер­ тые производные от прогиба. Кроме этой нагрузки в добавленных связях возникают реакции вследствие то­ го, что упругие связи, соединяющие пластинки, дефор­ мируются. Абсолютное удлинение связей-пружин изме­ няется по пролету также по синусоидальному закону. Поэтому реакция, соответствующая этому удлинению, равна:

—- sin— sin —

Л0 а Ь

Таким образом, реакция в связи, расположенной в данной точке нижней плиты, будет равна сумме реак­ ций от изгиба плиты и от растяжения упругих связей. Следует учесть, что при единичном смещении нижней плиты возникают реакции также и в связях, добавлен­ ных к верхней плите. Эти реакции будут равны усилиям в упругих связях, расположенных между плитами. Ре­ акции, вызванные смещениями верхней плиты, опреде­ ляем аналогично.

Перейдем к составлению канонических уравнений для Znm. Подсчитаем полную реакцию в групповых связях 1 от смещений всех групповых связей и от внешней на­