книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

дельные гармоники, составляющие спектр вертикаль­ ной составляющей поверхностной волны.

Отдельные гармоники, частоты которых попадают в полосу неустойчивости, изображенную на рис. 82, могут вызвать сдвиги в профиле плотины при дополнительном условии, что амплитуды этих гармоник располагаются выше горизонтальной прямой, соответствующей отно­ шению А* = 1.

Таким образом, если спектр действия сейсмической нагрузки имеет такие амплитуды, которые не попадают в область неустойчивости, построенную для данного профиля плотины, то этот профиль будет надежным.

Для практических целей криволинейные области не­ устойчивости можно заменить ступенчатыми, как это сделано на рис. 82. Заштрихованная область соответст­ вует устойчивому профилю. Чертеж построен в безраз­ мерных координатах, по оси ординат отложена относи­ тельная амплитуда, которая равна отношению ампли­ туды данного члена разложения спектра действия к амплитуде, полученной от этой нагрузки в упругой

стадии.

По осп абсцисс отложено отношение частоты дан­ ного члена спектра действия сейсмической нагрузки к частоте профиля, вычисленной для упругой стадии.

При выполнении' конкретных расчетов придется ог­ раничиться несколькими обертонами, отвечающими выс­ шим частотам вынужденных колебаний, поэтому в ре­ зультате будет получено несколько точек, которые сле­ дует нанести на чертеж и убедиться в том, что они находятся вне области неустойчивости.

Способ расчета изложен нами применительно к си­ стеме с одной степенью свободы, которая является наи­ более простой и вместе с тем, как показывают много­ численные опыты, достаточно хорошо позволяет оце­ нить динамические свойства плотины.

Дальнейшее уточнение расчета можно сделать, если перейти к системе с несколькими степенями свободы. Для этого профиль плотины следует разбить на участ­ ки, связанные между собой нелинейными связями, от­ вечающими физическим свойствам материалов, из ко­ торых сделаны данные участки, и силами (трения и сцеп­ ления), возникающими на границах этих участков. Для такой системы расчет будет значительно сложнее, но принципиальных затруднений для его выполнения не

встретится, особенно если применить электронные вы­ числительные машины.

Увеличение числа степеней свободы вызовет соот­ ветствующее увеличение числа «скелетных кривых» на графиках неустойчивости, которые могут между собой пересекаться.

Точки пересечения «скелетных кривых» обладают ин­ тересным свойством. Для них эффект неустойчивости определяется не только параметрами внешнего динами­ ческого воздействия, но и характеристиками тех вза­ имных связей, которые существуют между отдельными элементами системы. Этот вывод имеет большое прак­ тическое значение. Он говорит о том, что при неудач­ ном сопряжении отдельных частей профиля плотины ее устойчивость к сейсмическим воздействиям может силь­ но понизиться. Таким образом, разработанный метод позволяет оценить общую устойчивость плотины треу­ гольного профиля, выполненной из местных материалов.

7.13. Общий анализ решения

Задача о распространении волн в упругих системах описывается уравнениями § 2.1. При отсутствии зату­ хания

Чтобы решить это уравнение, целесообразно исполь­ зовать шаговый метод, в котором перемещение точки г в конце интервала времени М выражается по формуле

§ 3.1, матрица масс [М] — по формулам § 3.2. Интерва­ лы времени Д£, на которые разбивают весь процесс движения, выбираются достаточно малыми и состав­ ляют доли основного периода свободных колебаний системы.

При использовании метода конечных элементов воз­ никает эффект дисперсии в распространении волн — как результат дискретных свойств расчетной модели метода конечных элементов. Очень часто параметры, получен­ ные расчетом по МКЭ, описываются колебательным графиком, как это показано на рис. 83 для скорости

Применительно к i-му узлу

Для сферических волн конечные элементы будут представлены в виде сферических оболочек толщиной AR (рис. 86). Графики изменения скоростей показаны на рис. 87. Если подвижная нагрузка распространяется по поверхности, а внешняя сила Z приложена в точке на глубине Н

= 1 при t > О,

(7.57)

= 0 при t < О,

то вертикальные и горизонтальные перемещения на по­ верхности вычисляют по формулам:

Коэффициенты k\ и kz приведены в табл. 15.

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ, ТЕОРИЯ РИСКА И РЕГУЛИРОВАНИЕ УСИЛИЙ

8.1. Динамическая устойчивость склонов и откосов

Задача об устойчивости склонов и откосов является одной из наиболее трудных в механике грунтов и дина­ мике сооружений. Эта задача детально изучалась в ра­ ботах Н. Н. Маслова [10], Н. А. Цытовича [25] и дру­ гих отечественных и зарубежных ученых. Однако при землетрясениях устойчивость откосов зависит от силы инерции, возникающей в элементах откоса в результате тех ускорений, которые передаются откосу от проходя­ щих сейсмических волн. В этом случае необходимо оценить динамическую устойчивость откоса на основе общих методов динамики сооружений.

В предыдущей работе автора [20] был разработан общий метод оценки динамической устойчивости камне­ набросных плотин. Теперь можно применить его для изучения динамической устойчивости откоса.

Рассматривается откос, сложенный из мягкого грун­ та, расположенного на скальном основании. Чтобы оп­ ределить сейсмические силы инерции, которые могут вызвать обрушение откоса, решается волновая задача соответствующей модификацией МКЭ й включением в основные уравнения сил инерции, возникающих при зем­ летрясении. Это приводит к существенному усложнению систем линейных уравнений, которые решаются на ЭВМ.

При выходе упругих сейсмических волн из скального основания в поверхностный слой, имеющий откос, воз­ никают упругие и пластические волны, имеющие пони­ женную скорость распространения. В каждой точке от­ коса таким образом силы инерции сначала имеют небольшую интенсивность, зависящую от упругих волн, которые приходят раньше пластических волн большой интенсивности. Размеры высокого откоса или склона будут соизмеримы с длиной пластической сейсмической волны, и поле ускорений внутри откоса определяется для бегущей волны. Внутри откоса поле ускорений за­ висит от скорости распространения внешней сейсмиче­ ской волны, поэтому поле ускорений внутри откоса опре­ деляется для трех возможных скоростей внешних сей­ смических волн: дозвуковой, звуковой и сверхзвуковой.

Так удается установить влияние свойств подстилающего слоя на величину ускорений, передающихся откосу.

Рассмотрены два критерия динамической устойчиво­ сти. Сделана оценка потери устойчивости откоса по ци­ линдрическим поверхностям скольжения с учетом уско­ рений, возникающих от внешних сейсмических волн и подвижной нагрузки; возникновение динамической не­ устойчивости откоса определено по общим математиче­ ским критериям неустойчивости движения нелинейных механических систем, сформулированных Ляпуновым. Сделано сравнение результатов, полученных по обоим методам, с имеющимися экспериментальными данными. Установлены области динамической неустойчивости в зависимости от соотношения физических параметров грунта откоса и скального основания, а также от скоро­ стей распространения сейсмических волн. Установлены также критические скорости распространения подвиж­ ной нагрузки, при которой возникает эффект резонанса и потеря устойчивости откоса.

Хорошим методом для расчета на сейсмостойкость откосов является метод конечных элементов, который с успехом используется для расчета плотин на гидроста­ тические нагрузки [18]. Этот метод теперь применяют и для динамических расчетов. На рис. 88 показана схе­ ма сетки, нанесенной на профиль откоса.

Динамическая устойчивость откоса зависит от пара­ метров сейсмических волн и количественных характери­ стик землетрясения, которые определяются путем обра­ ботки сейсмограмм. Чтобы уточнить параметры сейсми­ ческих волн и выделить влияние отражений и других помех, которые зависят от местных условий, использует­ ся линейный фильтр, обеспечивающий наилучшее при­ ближение преобразованной записи к основному сигналу. Фильтр подбирают решением матрицы уравнений, со­ ставленной по способу наименьших квадратов. Чтобы вычислить коэффициенты матрицы, составляют корреля­ ционные функции.

Упругоплстический слой, в котором распространяют­ ся сейсмические волны, подчиняется билинейному зако­ ну, связывающему напряжения и деформации. Рассмат­ риваются условия, при которых волна Р выходит из скального основания в осадочный слой. Если напряже­ ния в волне Р будут больше предела упругости, то в осадочном слое возникают две волны — упругая и пла-

стическая. Эти волны имеют разные скорости распрост­ ранения, поэтому в данную точку поверхности сначала придет упругая волна сравнительно малой интенсивно­ сти, затем будут подходить упругие волны, отраженные от поверхности и от скального основания, и, наконец, спустя некоторый промежуток времени, подойдут пла­ стические волны. Основной сигнал выделяется на фоне помех при помощи корре­ ляционного анализа. По­ ток энергии определяется по корреляционным функ­ циям.

Исследование распро­ странения сейсмических волн Р в упругопластичес­ ком слое представляет со­ бой трудную задачу, для ее решения будет исполь­ зован приближенный спо­ соб. Сейсмическая волна

распространяется из скального основания в поверхност­ ный слой и образует сложную волновую сетку в этом слое. Наиболее простой случай соответствует упругим волнам.

Предел упругости скального основания значительно выше предела упругости поверхностного слоя, и поэтому волны Р в скальном основании распространяются как упругие, а при выходе в поверхностный слой они превра­ щаются в пластические. В этом случае в поверхностном слое будут возникать и упругие и пластические волны. Пластические волны распространяются с меньшей ско­ ростью по сравнению со скоростью распространения упругих волн.

Эти волны будут взаимодействовать между собой, и упругие волны после отражения от скального основания могут переходить в пластические.

Рассмотрение волновых сеток для упругопластиче­ ского слоя и анализ выбора оптимальных фильтров по­ казывает, что для выделения потока основной энергии сейсмических волн целесообразно использовать корреля­ ционные функции, применяемые при изучении случай­ ных процессов. Для упругих волн можно учесть только два первых отражения: от свободно# поверхности и от спального основания.

Которое характеризуется эффектом внутреннего отраже­ ния. Внутреннее отражение вызывает уменьшение ампли­ туды сигнала и увеличивает процесс рассеивания энергии.

Как известно, энергия землетрясения пропорциональ­ на квадрату амплитуды сигнала, поэтому, вычислив амплитуды при помощи коэффициентов отражения, можно получить приближенное значение энергии.

Коэффициенты отражения как от свободной поверх­ ности, так и от скального основания вычисляются по корреляционным функциям. Ожидаемое среднее значе­ ние этих коэффициентов получают сравнением ординат корреляционных функций. В соответствии с этим коэф­ фициент отражения от свободной поверхности получен равным 0,6, а от скального основания —0,7. Эти коэф­ фициенты можно использовать для оценки энергии зем­ летрясения, распространяющейся внутри осадочного слоя.

Энергия отраженных волн составляет около 70% энергии, передающейся в осадочный слой из скального основания. Эту величину можно уточнить построением функций взаимной корреляции, составленных для ан­ самбля сейсмограмм, записанных в разных пунктах во время одного и того же землетрясения. Анализ показы­ вает, что 20—30% энергии землетрясения, передающей­ ся в осадочный слой, рассеивается в результате свойств отражающих границ этого слоя.

Для упругопластического слоя этот процент будет несколько выше ввиду разделения во времени упругих и пластических волн.

Приведенные расчеты показывают, что для определе­ ния интегральных энергетических параметров сильных землетрясений можно использовать корреляционные функции, построенные по общим принципам теории слу­ чайных процессов. Эти функции позволяют уточнить ко­ личественные характеристики потока энергии землятрясения, передающиеся внутри осадочного слоя.

Поток энергии, поступающей в оеадочный слой, имею­ щий откос, создает то внешнее воздействие, которое при­ ложено к массам, расположенным в узлах сетки на границе скального основания и осадочного слоя, и будет входить в матрицу {Р} уравнения (6.8). Это поз­ воляет решить уравнение (6.8) в численном виде и полу­ чить векторы ускорения всех масс, расположенных в узлах сетки.

Чтобы получить коэффициент запаса на устойчивость откоса, назначается несколько возможных цилиндриче­ ских поверхностей скольжения, и для каждой из них определяют обычным порядком коэффициент запаса с учетом горизонтальных и вертикальных сил инерции.

Чтобы определить области динамической устойчиво­ сти откоса, который рассматривается как упругопласти­ ческая система, состоящая из связанных сосредоточен­ ных масс с большим числом степеней свободы, используем общий принцип устойчивости движения Ляпунова. В предыдущей работе автора [18] были получены урав­ нения, описывающие колебания осадочного слоя, если по скальному основанию распространяется монохрома­ тическая сейсмическая волна. Было установлено, что гравитационное поле оказывает существенное влияние на возникновение неустойчивого движения. Для двух­ слойного основания получим систему двух уравнений, описывающих движение, вызванное сейсмической вол­ ной. Составим условие неустойчивости, приравнивая нулю детерминант этой системы. Вычислив корни урав­ нения (8.4), получим те значения параметров, при кото­ рых возникает эффект неустойчивости,

Входящие в уравнение (8.4) величины имеют зна­ чения:

Параметр

1Н

Относительно параметра Р уравнение (8.4) является квадратным. Положительный корень этого уравнения будет соответствовать нарастанию амплитуд по экспо­ ненциальному закону во времени и характеризует эф­ фект неустойчивости.

Изменение Р зависит от длины сейсмической волны и соотношений толщин слоев при постоянном значении изменения плотности слоев.