книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

Выданные на печать цифры расшифровываются слв’ дующим образом:

следовательно, получим: и8= —0,00185 см.

Значения напряжений сг*,-, avj, rXVj, кгс/см2, отнесен­

Определяем разницу <7i—с2 и сравниваем с 2 k, при­ нятой для данного грунтового основания. Заметим, что треугольник 145 при данной нагрузке первым переходит в пластическую стадию. .Затем переходит в пластичес­ кое состояние треугольник 125 и т. д. По данным этой схемы определяются границы пластической области, ко­ торая возникает в упругом основании, однако это будет лишь первым приближением, так как при определении поля напряжений для всех треугольников принимался одинаковый модуль упругой деформации.

Для пластической области модуль деформации сни­ жается, поэтому при определении реакций в узлах, воз­ никающих от единичных смещений, следует это учесть и в формулы (6.3) —(6.6) вместо упругого модуля Е подставить модуль деформации Ev =$Е, который соот­ ветствует пластическому участку билинейной диаграм-. мы. Тогда реакции /га.и/ , возникающие в узле i от

смещения узла / на единицу, будут в р раз меньше; поэтому для треугольников, находящихся в пластичес­ кой стадии, значения реакций будут также в р раз меньше по сравнению с упругими треугольниками; их можно вычислить по формуле

(^ы/а/)пл = Р [ ^ u t t t j ) упр*

Для нашего примера в пластическое состояние пере­ ходят треугольники 145 и 125, пластическая область заштрихована (см. рис. 43).

6.5. Решение контактной задачи

Образование пластических областей в основании приводит к перераспределению реакций, возникающих между балкой и основанием. Наметим ход решения для этой задачи, используя результаты, полученные ранее. Но для упрощения решения прикрепим балку к упруго­ му_основанию несколькими стержнями, как на рис. 40.

Сначала получим решение в упругой стадии. Однако в отличие от задач, решенных выше, коэффициенты матрицы жесткости вычисляем с учетом результатов, полученных в п. 6.3. Так, от Хй = \ коэффициент

а = с4£ 0я/6 (1 — fig) EJ

t»22 представляет собой прогиб высокой консольной бал­ ки от силы Х2= 1, приложенной на ее конце. Этот про­

рассматривать как тонкий стержень и использовать обычные формулы, указанные в [12], то получим пре­ увеличенный прогиб. Для высокой балки прогиб будет несколько меньше.

Вычислим отношение этих прогибов и получим пе­ реходный коэффициент kik, с помощью которого можно

аги = 16-0,731 = 9 ,5 9 6 .

Следует отметить, что Л»л зависит от положения точ­ ки i по отношению к точке k. Для всех перемещений, входящих в матрицу жесткости, эти коэффициенты бы­ ли вычислены. Определение реакций основания в упру­ гой стадии является первым приближением при реше­ нии упругопластической задачи, поэтому можно учесть тот факт, что %ik изменяется мало. При переходе от одной точки к другой этот параметр можно считать по­ стоянным для всех точек, тогда учет влияния высоты балки сводится к замене во всех вычислениях а на а'=аЯ , и формула для вычисления б,-ь будет иметь вид

Увеличение а приводит к уменьшению концентрации реакции к краю балки, а уменьшение а — к ее возрас­ танию.

6.6. Предельная нагрузка балки

Образование пластических областей в основании приводит к перераспределению реакций, возникающих между балкой и основанием. Изменение эпюры реак-

Ций влечет за собой изменение предельной нагрузки. Для определения границ пластической области в осно­ вании применим способ последовательных приближений. Первым приближением будет расчет в упругой стадии. Выполняя этот расчет с использованием конечных эле­ ментов, получим следующие значения сил Хц

2Х0= 0,ЮР/Р0; Х г = 0,2QPJPq) Х 2= 0,25Р/Р0.

Силы Xt представлены в безразмерной форме для удобства дальнейших сравнительных подсчетов. Отме­ тим, что концентрация реакций к краю балки получи­ лась меньше, чем для бесконечно жесткой балки. МКЭ позволяет более точно определить концентрацию реак­ ций к краю балки для высоких массивных фундамент­ ных балок, которые обычно рассматриваются как бес­ конечно жесткие.

С помощью МКЭ в результате решения системы ли­ нейных уравнений определяются перемещения узлов сетки. По этим перемещениям вычисляются напряже­ ния, относящиеся к треугольным элементам. Однако к каждой узловой точке сетки примыкает несколько тре­ угольников, поэтому для получения напряжений в узлах сетки приходится усреднять полученные для треуголь­ ников напряжения.

Применяются разные способы усреднения в зависи­ мости от желательной степени точности расчета. Для инженерных расчетов, связанных с грунтовыми основа­ ниями, высокая степень точности вряд ли будет оправ­ дана, так как реальные грунты имеют неоднородные свойства, что снижает теоретическую точность. Очень часто оказывается вполне достаточно использовать среднее арифметическое значение напряжений треуголь­ ников, сходящихся в узле.

Таким образом, полученное в упругой стадии реше­ ние является первым приближением для выявления по­ следовательности образования пластических областей в упругом основании. Построим эпюры напряжений в упругом основании от сил Xt , приложенных на поверх­ ности упругого основания. Рассматривается упругопла­ стический слой конечной толщины, поэтому используем решение, полученное для одиночной силы P Q в п. 6.4. Напомним, что решение выполнено для упругой стадии

Увеличение одного столбца матрицы жесткости, как в настоящем случае, приведет к соответствующему уменьшению силы Х0 и увеличению сил Х\ и Х2. Теперь силы будут такими: 2-ЛГо=0,04Р/Ро; Х х=0,22Р/Р0 и Х2= = 0,26 Р/Р0. Эти цифры показывают, что силы, прило­ женные к упругому основанию с учетом образования в нем пластической области, изменились незначительно, поэтому делать новый расчет нецелесообразно.

Если предел текучести 2k уменьшить до 16 Р/Р0, то пластическая область будет увеличиваться в глубину основания; по длине балки пластическая область почти сохраняет свои размеры. Можно предвидеть, что на до­ лю 2 Хо придется еще меньшая доля внешней нагрузки. Но равнодействующая реактивных давлений в середи­ не пролета балки составляет всего 4% внешней нагруз­ ки, поэтому дальнейшее ее уменьшение существенно не изменит распределение реакций. Снижение предела те­ кучести основания до 2£=12 Р/Р0 приведет к тому, что пластическая область основания займет весь пролет балки; эта область будет вытягиваться.

Для расчета по упругопластической схеме в матрице жесткости контактной задачи придется изменить коэф­ фициенты жесткости при силах Х0 и Xi одинаково, так как глубина пластической области под этими силами составляет 3/4 глубины слоя. Поэтому главный коэффи­ циент матрицы жесткости при Х2 уменьшится по срав­ нению с главными коэффициентами при Хх и Х0, т. е.

Это повлечет за собой соответствующее увеличение Х2. Выполняя новый расчет по упругопластической ста­ дии, получим 2Хо=0,08 Р/Ро; Xi=0,16 Р/Р0 и Х2 = = 0,3 Р/Ро, т. е. снижение предела текучести приводит к увеличению концентрации реакций к краю балки.

Дальнейшее уменьшение параметра до 2 £=10 Р/Р0 приводит к тому, что весь участок основания в пределах пролета балки переходит в пластическую стадию и бал­ ка начинает работать как бы на основании с понижен­ ным модулем деформации. В результате этого реакции изменяются. Если при этом жесткость самой балки не меняется, то происходит дальнейшая концентрация ре­ акций к краю балки. Теперь получим: 2 Х о= 0,06 Р/Ро; Xi=0,14 Р/Ро и X2=0,33 PIPа. Для сравнения на

рис. 44 показано развитие границы пластической обла­ сти в основании при разных значениях параметра 2 k.

Эти результаты имеют практическое значение при определении предельной нагрузки на балки, так как до некоторой степени опровергают довольно распростра­ ненное мнение о том, что возникновение пластических деформаций в основании приводит к снижению кон­ центрации реакции к краю балки и к выравниванию эпюры реакций. Предельную нагрузку на балку можно определить из условия перехода в пластическую стадию обжимаемого слоя основания, так как осадки в этом случае очень интенсивно растут. Так, при Р0= 1 Мпр= =0,33 Р.0,5/+0,14 Р-0,25/+0,06 Р -0,06/=0,203 Р1.

Приравнивая этот момент тому, который был вы­ числен для высокой фундаментной балки в п. 6.3, по­ лучим

м°

0,203Рпрг = о м ;р = acn}Wm, Р = 4,10 - 2Е -.

Если бы Я„р была определена из условия выравни­ вания реакций основания, то

т. е. получили бы преувеличенное значение Р„р:

6.7. Балочные конечные элементы

Для расчета массивных сооружений, определения реакций упругого основания и их предельной несущей способности целесообразно в качестве основного конеч­ ного элемента использовать балку-консоль. В этом слу­ чае преимущества имеет способ сил. Применим балоч­ ные конечные элементы для расчета треугольного кли­ на, который обычно рассчитывают способом плоской задачи теории упругости, применяя функцию напряже­ ний. Задача в этом случае сводится к интегрированиюбигармонического уравнения при заданных граничных, условиях.

Для практических случаев переходят к конечным разностям и заменяют дифференциальное уравнение

Здесь придется учесть некоторые особенности, при­ сущие данной задаче; для этого каждый интеграл ра­ зобьем по длине балки на два интеграла. Первый ин­ теграл вычислим при постоянном сечении балки, вто­ рой — с учетом изменения жесткости балки.

В пределах участка с переменной высотой сеченияинтеграл вычисляется в численном виде путем состав-^ ления таблиц по формуле

так же вычисляем перемещение и от продольной силы.. Уточненная формула с учетом влияния переменной!

высоты сечения будет иметь вид

Учет влияния N t можно распространить на обжатие

вдоль волокон балки.

Для определения неизвестных усилий Xt составляем обычную систему канонических уравнений метода сил::

Для упрощения решения этих уравнений уместно применить группировку сил, например, разложив силы на симметричные и обратно симметричные.

После определения всех X t строим окончательные эпюры моментов и продольных сил, пользуясь, обычной' формулой метода сил:

м = М р + м л + м л +

N= Nr+ ЛА + Я Л + .•