книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

акселерограммы, полученные теоретически и экспери­ ментально для колебаний высотного дома в Токио. Сопо­ ставление графиков показывает, что на верхних этажах ускорения значительно превышали ускорения на нижних этажах. На рис. 75 приведены акселерограммы, записан­ ные при землетрясении Эль-Центро (Калифорния) для грунта, здания и оборудования. Как видно, максималь­ ные величины ускорений для здания и оборудования во много раз больше ускорений грунта.

Изложенные общие принципы определения соотно­ шений между колебаниями грунта и здания показыва­ ют, что при использовании карт микрорайонирования необходимо учитывать эффект взаимодействия сейсми­ ческих волн с фундаментом сооружения. Колебания от­ дельных элементов здания могут значительно отличаться от колебаний грунта в его основании. Количественное выражение соотношений колебаний грунта и здания за­ висит от жесткости здания и фундамента, от глубины его заложения, от распределения масс в объеме здания, от жесткости узловых соединений конструктивных эле­ ментов здания и, конечно, от физических и геометриче­ ских параметров слоистого основания.

7.10.Примеры

Сейсмический эффект создает под подошвой грави­ тационной плотины вертикальную силу, которая взве­ шивает сооружение и добавляется к равнодействующей противодавления. Чтобы определить эту дополнитель­ ную взвешивающую силу, рассмотрены вертикальные колебания профиля. Вертикальные и горизонтальные колебания взаимно связаны и их частоты следовало бы определять совместно; однако для первого приближе­ ния вертикальные частоты найдем независимо от гори­ зонтальных.

Закон распределения сейсмического импульса по по­ дошве плотины должен быть определен эксперименталь­ но; зависит он от многих факторов, поэтому целесооб­ разно оценить влияние закона изменения импульса на результат. Для этого взвешивающую силу вычисляют для двух крайних случаев распределения полного им­ пульса 5.

В первом случае весь импульс приложен к массе т\ (рис. 76), во втором случае — к массе т2. На графике

рис. 77. График имеет такой смысл: если, например, при расчете сооружения для эксплуатационных нагрузок ко­ эффициент запаса был принят &о=1,4, то следует поль­ зоваться сплошными линиями (3, 4) графика, по кото­ рым среднее значение еСр=0,2. Если же ko=2, то еСр = = 0,6 (пунктирные кривые /, 2).

Таким путем определяется предельный импульс в упругой стадии, которая, как это можно предвидеть, не слишком велика. При интенсивных динамических воз­ действиях возникают остаточные деформации.

Изложенный выше метод позволяет учесть и величи­ ну остаточных деформаций, которые получаются, если внешнее давление больше предельной силы трения, воз­ никающей по подошве. В этом случае сооружение будет сдвинуто, остаточное смещение определится по формуле

Численный коэффициент р берется из графика (рис. 78) в зависимости от соотношения /?/ДР,

где /{ — предельная удерживающая сила; А Р — горизонталь» ление.

Из формулы (7.51) видно, что остаточное смещение пропорционально квадрату времени действия внешней нагрузки. Это имеет существенное значение при расчете на длиннопериодные волны. Коэффициент р начинает быстро расти после того, как внешнее давление стано­ вится в 3 раза больше удерживающей силы. Если удер­ живающая сила равна нулю, т. е. трение по подошве от­ сутствует, то смещение сооружения будет бесконечно большим.

Если внешняя нагрузка меньше или равна силе тре­ ния (т.е. /?/Д Я ^ 1), то остаточных деформаций не бу­ дет и движение системы характеризуется упругими ко­ лебаниями.

7.11. Арочные плотины

Для тонкостенной арочной плотины взвешивающий эффект является второстепенным фактором. Общая устойчивость такой плотины зависит от горизонтальной составляющей сейсмической нагрузки. Как было пока­ зано в работе [18], приемлемый для практических це­ лей результат получается, если для динамического рас-

чета принимается расчетная рис. 79, а.

Вданном случае, в отличие от массивных гравита­ ционных плотин, общая прочность сооружения может быть определена при изучении высших форм колебаний

исоответствующих им частот обертонов (рис. 79,6).

Врасчетной схеме арочной плотины любая полоска, выделенная двумя вертикальными сечениями, может рассматриваться как балка переменного поперечного се­ чения, расположенная на упругом основании с перемен­ ным коэффициентом жесткости. Упругим основанием

для такой полоски являются горизонтальные арки, кото­ рые поддерживают балку. Сейсмический эффект прикла­ дывается к нижнему сечению балки. Прочность этой балки зависит от возникающих в ней изгибающих мо­ ментов и поперечных сил. На рис. 79 показаны четыре главные формы колебаний и соответствующие им часто­ ты. Из сопоставления этих форм видно, что для первой формы колебаний, которая соответствует наименьшей частоте, кривизна — небольшая, поперечное сечение пло­ тины смещается поступательно, изгиб вертикальной оси почти отсутствует. Если бы в расчетах учитывалась толь­ ко первая форма колебаний, то даже при сильном сей­ смическом воздействии напряжения в поперечных сече­ ниях профиля получились бы сравнительно небольши­ ми и неправильно отражали бы действительное напря­ женное состояние плотины. Из рассмотрения третьей и четвертой форм колебаний вытекает, что наибольший изгибающий момент возникает в верхней части профиля примерно на расстоянии одной трети высоты от верха плотины, поэтому начала разрушения плотины при .силь­ ном сейсмическом воздействии следует ожидать в ре­ зультате образования горизонтальных трещин в верх­ ней части профиля плотины. Эксперименты, проведен­ ные над моделями арочных плотин, которые подверга­ лись динамическим сейсмическим воздействиям на виб­ роплатформе, подтверждают эти соображения. Чтобы оценить сейсмостойкость арочных плотин, необходимо делать расчет с учетом высших форм колебаний. Это значит, что для арочных плотин более опасны высоко­ частотные компоненты горизонтальных сейсмических волн, которые могут вызвать резонансный эффект, со­ ответствующий высшим формам колебаний. При выбо­ ре места расположения арочной плотины следует учи-

тывать эти соображения и в соответствии с этим давать оценку инженерно-геологическим свойствам площадки.

Кроме рассмотренного случая распространения сей­ смической волны в направлении, перпендикулярном оси плотины, следует также рассмотреть действие волны, проходящей по направлению касательной к оси плоти­ ны. В этом случае любая горизонтальная, арка, выде­ ленная из тела плотины двумя горизонтальными плос­

костями, восприни­ мает соответствую­ щую ей сейсмичес­ кую нагрузку.

Под действием горизонтальной со­ ставляющей сейсми­ ческой волны про­ изойдет смещение опор горизонтальной арки. В общем слу­ чае левая и правая опоры получат раз­ ные смещения. Для расчета такое внеш­ нее воздействие мо­ жно разложить на

симметричную и обратносимметричную составляющие. Обратносимметричная составляющая, при которой обе опоры смещаются на одинаковую величину в одну сто­ рону, будет вызывать незначительные напряжения в ар­ ке. С другой стороны, вторая составляющая, которая со­ ответствует смещению опор арки в разные стороны, вы­ зывает двухзначную эпюру моментов по длине пролета арки. Наибольшие моменты будут возникать на опорах арки. В середине пролета изгибающий момент несколько меньше опорного и имеет другой знак.

Чтобы повысить сейсмостойкость плотины при тан­ генциальных воздействиях, приходится заботиться о на­ дежном сопряжении опор горизонтальных арок с бере­ говыми откосами. При этих воздействиях можно ожи­ дать появления вертикальных трещин в середине пролета плотины.

Нами рассмотрены два крайних случая, но для бо­ лее полного освещения этого вопроса необходимо также

изучить эффект действия сейсмической волны, распро­ страняющейся под разными углами к оси плотины. В этом случае сейсмическую нагрузку следует разло­ жить на две составляющие — нормальную и тангенци­ альную и сделать расчет для каждой составляющей в отдельности.

Чтобы оценить сейсмостойкость плотины, следует изучить двухосное напряженное состояние для разных участков профиля плотины.

Такое решение будет приближенным; его можно, со­ храняя метод, уточнить в дальнейшем, хотя для оцен­ ки относительной общей прочности и устойчивости арочной плотины такого расчета вполне достаточно.

7.12.Камненабросные плотины

Плотины из местных материалов имеют обычно сим­ метричный треугольный профиль. При оценке сейсмостоимости таких плотин следует различать два случая. При малых амплитудах сейсмических волн перемеще­ ния профиля не выходят за предел упругости, остаточ­ ных смещений не получается и поэтому профиль пло­ тины можно рассматривать как упругий треугольный

клин.

Для динамического расчета треугольного клина це­ лесообразно использовать дифференциальные уравнения плоской задачи теории упругости и для их решения применить конечные разности. После этого для по­ строения деформированного состояния профиля, соот­ ветствующего данному фиксированному моменту вре­ мени, необходимо решить систему линейных уравнений в конечных разностях такого вида:

где vu v2— вертикальные перемещения точек сетки; щ, и2 — горизон­ тальные перемещения точек сетки; vu ип, Щ, «п — перемещения дан-

ной точки спустя интервал ± Д /; % и ft — постоянные Ляме; р —= масса единицы площади профиля.

Для вертикальной составляющей сейсмической вол­ ны деформированное состояние профиля при разных длинах сейсмических волн имеет вид, изображенный на рис. 80. Более длинная волна 1 деформирует относитель­ но большой участок профиля. Короткая волна 2 глав­ ным образом изменяет напряженное состояние профиля вблизи подошвы. Эпюра напряжений <тх, возникающих

РИС. 81

в вертикальном сечении на оси симметрии профиля, становится двухзначной, в результате чего посредине высоты профиля появляются растягивающие напряже­ ния, которые могут вызвать образование трещин. Ана­ лиз деформированного состояния профиля показывает, что для повышения его сейсмостойкости следует укреп­ лять участок внизу наклонной грани профиля.

Деформированное состояние треугольного профиля от горизонтальной составляющей сейсмической волны схематически показано на рис. 81, а. Из рассмотрения этих схем ясно, что наибольшие деформации возника­ ют в верхней части профиля.

Увеличение откосов профиля (рис. 81,6) снижает амплитуду колебаний вершины и таким образом повы­ шает сейсмостойкость плотины.

При совместном действии горизонтальной и верти­ кальной составляющих сейсмической волны деформиро­ ванное состояние профиля можно получить путем нало­ жения. Чтобы повысить сейсмостойкость камненаброс­ ных плотин, следует укреплять подошву откосов с таким расчетом, чтобы они могли воспринимать значи­ тельные вертикальные перемещения без обрушения. Устройство пологих откосов повышает сейсмостойкость плотины от горизонтальной сейсмической нагрузки. Сле­

дует также повышать жесткость вершины плотины в го­ ризонтальных сечениях.

Теперь можно перейти к рассмотрению второго случая.

При сильных сейсмических воздействиях расчет плотины значительно усложняется в связи с возникно­ вением остаточных деформаций и нарушением связей между отдельными частями или элементами профиля. Для камненабросных плотин существенное значение имеет их специфическое свойство, которое было заме­ чено нами еще в 1942 г. при исследовании на малых мо­ делях эффекта прохождения ударного импульса через слой песка. Было обнаружено, что при малых значени­ ях импульса сыпучее тело ведет себя как упругое толь­ ко при вполне определенном соотношении жесткостей системы. Если соотношение жесткостей изменить до не­ которого критического значения, то возникают значи­ тельные сдвиги в толще песка, деформации сильно растут. Получается как бы потеря устойчивости систе­ мы. Если менять соотношение жесткостей в том же на­ правлении, то в дальнейшем система опять работает как упругая, но ее коэффициент жесткости становится

другим.

При изменении жесткости системы и параметра, ха­ рактеризующего внешний импульс, возникают три об­

ласти работы системы.

I область соответствует упругой стадии работы си­ стемы при малом внешнем импульсе.

IIобласть характеризуется возникновением сдвигов

всыпучей среде и появлением больших перемещений в теле плотины; для краткости ее можно назвать областью

неустойчивости.

III область отвечает сыпучей среде, в которой про­ изошло переуплотнение частиц, в результате которого она получила некоторую повышенную жесткость. Для такой системы возможно применение способа динами­ ческого расчета, изложенного в гл. 2 для системы с не­ сколькими степенями свободы, способ этот отличается тем, что связь между деформациями и напряжениями будет теперь нелинейной. Этот нелинейный закон, свя­ зывающий напряжения и деформации, необходимо по­ лучить из специально поставленных опытов.

Чтобы получить общие выводы, относящиеся к оцен­ ке устойчивости плотины, представляется возможным

заменить криволинейный закон изменения жесткости системы ломаным, состоящим из трех линейных участ­ ков [18]. Исследовать задачу теперь можно с помощью так называемых «скелетных кривых», которые соответ­ ствуют возникновению резонанса и значительному на­ растанию смещений между элементами системы.

Как известно, для линейной системы с одной сте­ пенью свободы «скелетные кривые» представляют собой прямые, параллельные оси ординат линии. На рис. 82 они показаны пункти­ ром для каждой часто­ ты. На графиках по оси абсцисс отложено от­ ношение частот, по оси ординат — отношение амплитуд. Когда в про­ цессе движения жест­ кость системы умень­ шается, «скелетная кривая» 3 искривляет­ ся сначала в левую сто­ рону, затем, после того как жесткость системы увеличивается, — в

правую сторону. При этом возникает область неустойчи­ вого движения 2 и сдвигов в каменной наброске (цифрой 1 отмечена устойчивая область).

Опираясь на график (рис. 82), представляется воз­ можным в первом приближении сделать оценку общей устойчивости плотины. Для этого необходимо опреде­ лить зависимость, которая характеризует физические свойства каменной наброски, и получить график, свя­ зывающий напряжения и деформации системы. Затем следует этот график аппроксимировать тремя линей­ ными отрезками.

С помощью этого упрощенного графика следует оп­ ределить три значения частоты, отвечающие трем раз­ ным участкам графика, и получить таким образом поло­ су, в пределах которой располагается «скелетная кри­ вая» всей системы, и соответствующую ей область неустойчивого движения. Этот этап исследования отно­ сится к изучению свойств профиля плотины. Чтобы дать ответ на вопрос, является ли плотина устойчивой при данном сейсмическом воздействии, следует изучить от­