книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

внешняя нагрузка. Тогда изгиба плиты не будет, и мо­ менты во всех сечениях будут равны нулю, ось плиты останется прямолинейной. Отсюда вытекает, что на уп­ ругое полупространство теперь будет передаваться дав­ ление, изменяющееся по закону внешней нагрузки, опи­ сываемой формулой (8.19).

Под воздействием этого давления упругое полупро­ странство деформируется, и нижняя граница слоя по условиям контакта будет деформирована по тому же закону

(8-20)

Поскольку нагрузка, приложенная к полупростран­ ству, известна, то функцию <р(х) можно вычислить по известным формулам Жемочкина [6]. После этого не­ обходимо найти закон изменения толщины слоя, у ко­ торого верхняя поверхность осталась прямолинейной, а нижняя — деформирована по уравнению (8.20). Таким образом толщина слоя меняется по закону

где Ло — толщина слоя в середине пролета плиты; Еа и Е — модули деформации упругого полупространства и упругого слоя; ai —на­ пряжение под подошвой фундамента в данной точке i плиты; ро— коэффициент Пуассона упругого полупространства.

Из формулы (8.21) видно, что геометрические раз­ меры упругого слоя переменной толщины зависят в со­ отношениях модулей деформаций слоя и полупростран­ ства от величины напряжений в данной точке подошвы плиты. Вычисляя по формуле (8.21) толщину слоя для всех точек плиты, можно получить оптимальное реше­ ние, при котором распределение реакций под подошвой фундаментной плиты будет совпадать с внешней на­ грузкой, приложенной к плите.

Такое решение необходимо проверить; для этого придется повторить расчет плиты с учетом переменной толщины слоя, и найти те реакции, которые возникают между плитой и слоем в этих условиях. Проверка будет независимой от предыдущих подсчетов, и если все рас-

четы сделаны правильно, то реакции, вычисленные те­ перь, будут равны нагрузке в каждой точке плиты.

В более общем случае, когда внешняя нагрузка включает сосредоточенные силы, придется ограничить­ ся наилучшим приближением между функциями, опи­ сывающими внешнюю нагрузку, и реакциями основа­ ния.

Приближение оценивается по способу наименьших квадратов; для этого вычисляется интеграл вида

h

Функция f(x) характеризует заданную обобщенную на­ грузку и включает распределенную нагрузку и сосредо­ точенные силы. Функцию <р (дс), описывающую реакции слоя, разложим в ряд по собственным функциям (рис. 97).

Чтобы определить коэффициенты Л„, составим си­ стему линейных уравнений, приравнивая нулю частные производные интеграла формулы (8.22). Сначала под­ ставим <р(лг) из уравнения (8.23) и (8.19) и получим

/

J = \4 o Ifi (х) — 2Апфп(x)Pdx =

6

i

= Vo j I/i (*) - 4 A M - AA W - . . . P dx. (8.24)

0

Теперь вычислим частные производные / по пара­ метрам

После преобразований получим систему линейных уравнений для определения Ai и по формуле (8.23) вы­ числим <р(х).

Толщину слоя в отдельных точках затем вычисляют по формуле (8.21). Таким образом, в этом более слож­ ном случае также представляется возможным опреде лить наиболее выгодное изменение толщины упругой прокладки, располагаемой между фундаментной плитой силосного корпуса и естественным основанием, хотя это решение будет приближенным.

8.11. Пример расчета

Применим изложенный метод для определения опти­ мальных размеров упругой прослойки для фундамента силосного корпуса при полной загрузке его зерном.

=(,+ - | - ^ 0*049+ ) Л»'

И1+^ - ^ ° ' 213т Ь :

Ширину фундамента b можно выразить через /, .учиты­ вая, что с=1/9 и Ь=3с=1/3; подставляя в полученные формулы значение 6, найдем

= [1 +0,9151 А, = 1.915Л,;

Аз= [l + 0,915- ^ - ] а. = [1 + 0,402] Л, = 1.402Л,;

Л, = 11 + 0,158]А„=1,158Ао.

На рис. 96 показаны геометрические размеры упру­ гой песчаной подушки переменной толщины, благодаря которой снимается концентрация реакций основания к краю фундаментной плиты. Принятые в примере физи­ ческие параметры соответствуют: упругому полупро­ странству—(плотные коренные глины, упругой про­ кладке— песок средней крупности.

Численные подсчеты показали, что песчаная подуш­ ка должна иметь наибольшую толщину около 1 м, т. е. практическое осуществление такой подушки не будет встречать серьезных затруднений. Применение песча­ ной подушки переменной толщины, снимает дополни­ тельные изгибающие моменты, которые возникают в фундаментной плите в связи с эффектом концентрации реакций. Эпюра реакций основания совпадает с эпю­ рой внешней нагрузки, поэтому фундаментная плита не изгибается и может быть армирована только по конст­ руктивным соображениям и на местный изгиб.

Конечно, нами рассмотрен наиболее простой сим­ метричный случай равномерно распределенной нагруз­ ки; кроме этой основной нагрузки следует рассмотреть несимметричные случаи одностороннего загружения и влияние ветровой нагрузки. Для каждого случая будет получена соответствующая оптимальная упругая по­ душка; из них придется выбрать усредненную, наилуч­ шим образом удовлетворяющую разным схемам загру­ жения.

1.Аргирис Д ж . Современные достижения в методах расчета, М., Стройнздат, 1968, 241 с.

2.Безухов Н. И. Динамика сооружений в задачах и примерах. М., Стройнздат, 1947. 271 с.

3.Бернштейн С. А. Динамика сооружений. М., Стройнздат, 1947.

210с.

4.Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М., Техтеоретиздат, 1956. 360 с.

5.Власов В. 3. Общая теория оболочек. М., Стройнздат, 1947.

350с.

6. Жемочкин Б. И., Синицын А. П. Практические методы расчета

балок и плит па упругом основании. М., Стройнздат, 1947. 239 с.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., «Мир», 1975. 541 с.

8. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории со­

оружений и в механике сплошных сред. М., «Недра», 1974. 238 с.

9.Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. 2-е изд. Л., Изд-во АН СССР, 1938. 541 с.

10.Маслов Н. Н. Механика грунтов. М., Стройнздат, 1968. 460 с.

11.Медведев С. В. Инженерная сейсмология. М., Госстройиздат,

1962. 284 с.

12.Рабиновичи. М., СнницынА. П., Теренин Б. М., Лужин О. В. Расчет сооружений на импульсивные воздействия. М., Стройнздат, 1970. 304 о.

13.Рахматуллин X. А. Распространение упругопластических волн

встержне. ПММ, т. IX. 1, 1945, 241 с.

14.Рассказов Л . Н. и др. Исследование плотин методом конеч­ ного элемента. — Труды ВОДГЕО, вып. 30. М., Стройнздат, 1971. И с.

15.Розин Л. А. Основы метода конечных элементов. Изд. ЛПИ.

1972. 210 с.

16. Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М., Трансжелдориздат, 1958. 310 с.

17.Снитко Н. К. Методы расчета сооружений на вибрацию и удар. М., Госстройиэдат, 1953. 197 с.

18.Синицын А. П. Практические методы расчета сооружений на сейсмические нагрузки. М., Стройиздат, 1967.144 с.

19.Синицын А. П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости. М., Стройиздат, 1974. 176 с.

20.Синицын А. П. Влияние бегущей сейсмической волны на мас­

сивные сооружения. — Труды Института Физики Земли № 17 (184),

М., АН СССР, 1961. 10 с.

21.Ухов С. Б. Расчет сооружений и оснований методом конеч­ ных элементов. М., Стройиздат, 1973. 118 с.

22.Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем. М., Стройиздат, 1966. 438 с.

23.Филоненко-Бородич М. М. Теория упругости. М., Стройиздат,

1947. 320 с.

24.Флорин В. А. Основы механики грунтов. Т. 1. М., Госстройчздат, 1959. 205 с.

25.Цытович Н. А. Механика грунтов. М., Стройиздат, 1968. 280 с.

1.2.Условия перехода к системам, состоящим

4.6.Колебания, вызванные начальной скоростью при ступен­