книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

щении в направлении каждой добавленной связи, иног­ да эти функции называют функциями смещений узло­ вых точек, в которых добавлены связи. При от­ брасывании связей единичные состояния будут соответствовать единичному значению обобщенных сил, приложенных в сечениях контакта. Второй этап расче­ та состоит в решении контактной задачи и определении сил взаимодействия между конечными элементами в сечениях контакта. Для решения этой части расчета со­ ставляют системы уравнений, обеспечивающих переход от конечных элементов к непрерывной системе. Число таких уравнений существенно зависит от выбранного типа конечного элемента и от числа сечений, по кото­ рым происходит контакт, т. е. от числа конечных эле­ ментов, на которое было разделено сложное сооруже­ ние. После того, как решена контактная задача и опре­ делены взаимодействия между конечными элементами, вычисляются поля напряжений и усилий в сооружении с помощью единичных функций, найденных ранее для каждого элемента в отдельности. Учет влияния сил инерции при решении динамической задачи не меняет общего порядка расчета, так как силы инерции можно добавить к внешним объемным силам. Изложенная схе­ ма расчета показывает, что объем вычислений получа­ ется значительным и может быть выполнен на ЭВМ. Тем не менее, заменяя сооружение конечными элемен­ тами, предварительно следует проанализировать при­ менение разных типов конечных элементов, так как при неудачно выбранном элементе объем вычислений будет таким большим, что затруднит выполнение его на ЭВМ, и тогда придется сокращать число конечных элементов, а это, в свою очередь, приведет к снижению точности расчета. Следует отметить, что вопрос о сходимости процесса является весьма важным и поэтому прихо­ дится очень часто повторять несколько раз расчет, из­ меняя число конечных элементов, оценивая таким пу­ тем сходимость результатов. В динамических задачах расчет усложняется из-за необходимости определения матрицы масс, которая вводится в уравнение движения. Определяют эту матрицу аналогично тому, как это де­ лают для распределенных внутри элемента объемных сил, которые переносят в точки контактных сечений. Чаще всего для этого используется энергетический кри­

терий эквивалентности. Благодаря этому в задачах ди­ намики сходимость процесса должна быть проверена особенно внимательно.

1.3.Общие принципы составления уравнений

Для. расчета сложную конструкцию разбивают на простые элементы конечных размеров, для каждого элемента подробно изучается его напряженное состоя­ ние как от внешних сил, непосредственно приложенных

женное состояние, возникающее от смещения его вер­ шин в горизонтальном и вертикальном направлениях. Решая вспомогательную задачу, необходимо опреде­ лить перемещение любой точки внутри треугольного элемента при смещении на единицу в вертикальном и горизонтальном направлениях каждой его вершины.

Обозначим Ni(x, у) функцию, с помощью которой можно подсчитать перемещения w(x, у) любой точки внутри треугольника, если его вершина i получила пе­ ремещение бг=1 и соответственно N, и N]t, если узлы / и k имеют смещения б ,= 1 и б*= 1. Эти функции на­ зывают «функциями формы» элемента. Способы их оп­

позволяющий решить трудные задачи теории упругости и специально разработанный для широкого использова­ ния ЭВМ. Это мнение было справедливо пока использо­ вались треугольные конечные элементы применительно к решению плоской задачи теории упругости, а именно к расчету плотин, тоннелей труб и т. д. Но уже переход к расчету пластинок показал, что более целесообразно применить смешанный способ и потребовать ие только

стью использовалась идея смешанного метода теории

разработанных общих методов строительной механики. Поясним эту мысль на примере.

Рассмотрим простейшую ферму, состоящую из трех стержней и нагруженную силой Р. Усилия в стержнях этой фермы определяем, вырезая узел и проектируя си­ лы на две оси, получим два независимых уравнения, из которых и найдем усилия S iz и 523; по существу, для ре­ шения нами применен способ сил. Однако этот же рас­ чет можно сделать, применяя идею способа перемеще­ ний, как это делается в методе конечных элементов. Для этого добавим в узле 3 две связи, как это показа­ но на рис. 2, а Пунктиром и рассмотрим два состояния, указанные на рис. 2,6 и в. В первом состоянии сместим

&uv=0 и kvv=EFIh. Теперь составим два уравнения, выражающие равенство реакций нулю; в добавленных связях получим

К и «Э + k „ + Р = 0 , к ш и , + kn V , + = О,

после решения найдем

Таким образом, применяя метод перемещений, мож­ но определить усилия так же просто, как и обычным пу­ тем, вырезая узел. Обобщение изложенных выше сооб­ ражений приводит к выводу о том, что МКЭ следует рас­ сматривать как вариационно разностный метод, при ко­ тором общая потенциальная энергия минимизируется по узловым смещениям; тогда в результате минимизации функционала получаем ряд обыкновенных уравнений, равных числу неизвестных функций в узлах. Такая за­ дача была решена Курантом.

ГЛАВА 2

УРАВНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Разложение по собственным функциям

Общий метод составления дифференциальных урав­ нений динамики сооружений сводится к тому, что в дифференциальные уравнения равновесия, записанные для фиксированного момента времени, добавляются си­ лы инерции и силы демпфирования. Поэтому в урав­ нение (1.4) добавляются два слагаемых, и оно прини­ мает теперь вид

Этот путь решения будет более приемлемым для многих задач. Если подставить теперь значение {6} из уравне­ ния (2.5) в уравнение (2.1) и умножить на [Д0]т, т. е. на транспонированную матрицу от [Д0], то

Учитывая свойство ортогональности собственных функций, можно доказать, что система уравнений (2.6) будет содержать только диагональные члены, поэтому для определения zn, получаем систему обычных урав­ нений

где con — частота; 2сп— коэффициент затухания.

После решения этой системы уравнений получим zn и, подставляя их в уравнение (2.5), найдем перемещения б, а по ним и все остальные необходимые для расчета величины.

2.2. Шаговый путь решения

Если ускорение в пределах интервала времени At меняется по линейному закону, тогда в последующем интервале времени (s+Д*) ускорение вычисляется по формуле

Подставляя в эти формулы значения 6(0» получим: