книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

ная заделка. Перемещения линии АВ для упругой полу­ плоскости будут отличаться от тех, которые получаются для диска. Поэтому, если поставить диск обратно на упругое основание так, чтобы фиктивная заделка сов­ падала с соответствующей точкой упругого основания, то остальные точки линии АВ диска не совпадут с со­ ответствующими точками линии АВ основания. В неко­ торых точках диск врежется в упругое основание, в дру­ гих — между диском и основанием образуется зазор.

РИС. 40

Добавив уравновешенную систему напряжений, унич­ тожим полученную разницу перемещений и добъемся того, чтобы перемещения линий АВ диска и основания стали одинаковыми.

Для этого по линии разреза АВ приложим к диску и к упругому основанию дополнительную уравновешен­ ную систему нагрузок.

Разложим эти нагрузки в тригонометрические ряды:

<ту = 2 (Кпcos ах + Rnsin ах),

хху = 2 {Апcos ах + Впsin ах).

Используем принцип независимости действия сил, будем рассматривать влияние каждого члена разложе­ ния в отдельности, принимая коэффициент при нем рав­ ным единице.

Симметричные члены разложения можно рассмат­ ривать независимо, так как каждый из них представ­ ляет уравновешенную систему напряжений, что же ка­ сается обратносимметричных, содержащих синусы, то их следует учитывать попарно, по два смежных члена ряда, связывая уравнением их коэффициенты, или же учитывать реакцию фиктивной заделки.

За обобщенную единичную группу сил будем прини­ мать систему напряжений, соответствующую одному члену разложения (рис. 50).

Если каждую единичную эпюру умножим на коэф­ фициент Кп и результат сложим, получим эпюру вер­ тикальных перемещений линии АВ от групповых сил:

V = 2KnVn.

Полная эпюра перемещений линии АВ диска от ос­ новной нагрузки и от дополнительных напряжений по­ лучается наложением и определяется равенствами:

v> = op>+2’Kav<>>+Ctx + Dl,

«<‘>= « S + S V i * , + c 1» + Ds.

где х) (*> — вертикальные перемещения; к(*) — горизонтальные переме­ щения; Сь Di и D2— произвольные постоянные.

Два последних члена равенства позволяют учиты­ вать кинематические перемещения стенки как жесткого диска. Такие же формулы напишем для перемещений упругого основания:

У(Ф) = »(Ф> ~f~ ^ K nv ^ \

И(Ф) = И(Ф) + 2 ^ „ ^ Ф)-

При практических подсчетах придется ограничиться определенным числом членов ряда, поэтому абсолютно точного совпадения эпюр перемещений диска и основа­ ния получить не удастся. Мы только можем стремиться к тому, чтобы функции, выражающие перемещения, как можно ближе подходили друг к другу. Таким образом, возникает задача о приближении функции. Чтобы ре­ шить ее, применим способ наименьших квадратов, кото­ рый в общем виде приводит к вычислению минимума интеграла

ь

J = f [ф(х) — f (х)1а (X) = мин,

а

где ф(дс) и f(x) — приближаемые функции; ф(я) — интегральный вес.

Практика вычисления перемещений показывает, что наибольшие расхождения всегда получаются на концах интегрируемого участка, т. е. в точках А и В, поэтому вполне логично будет для ф(л:) принять такую функ­ цию, которая увеличивала бы свое значение в крайних

а<ф _ h k - 2 (фот+ фп+ ф£+ <Pj) + (ф0 + фг+ %+ фр)

дх2 ду2 Дха ДJ2

то получим так называемое 13-члениое уравнение:

Чтобы получить симметричную систему уравнений, следует несколько преобразовать это уравнение для тех точек сетки, которые примыкают непосредственно к контуру.

Четвертые производные функции ф запишем в виде:

аф*= _д_г_а_г_а_/аф\-|)

В этих формулах ординаты ф и ее производные на контуре, т. е. в точках / и т , известны. Подставив полу­ ченные значения производных в бигармоническое урав­ нение, после преобразования получим

Последние пять слагаемых здесь представляют со­ бой свободные члены, так как значения функции и про­ изводных относятся к определенным точкам контура. Для квадратной сетки а = 1 , поэтому полученное урав­ нение упрощается:

20 фА — 8 (фг + <рп) + 2 (cpg + Ф„ -I- фР) + фп -I- Фt + ah = 0,

где

Для вычисления ординат ограничивающих кривых поверхности напряжений и ее двух производных по ка­ сательной и по нормали к контуру плотины применим статическую интерпретацию:

|в ,Л г = С , так как <?„ = 0 .

о

5- J t*’dx~N’таккакт’*=^ '

X X

Ф = j' dx ^ ay dx= М.

6 6

X

Интеграл §ovdx представляет собой площадь эпю-

о

ры нормальных напряжений, вычисленную на участке от начала координат до рассматриваемой точки. К это­ му интегралу следует еще добавить постоянную, кото­ рая равна значению производной функции напряжений, т. е. поперечной силе в начале координат. Но значения функции напряжений и ее двух производных в начале координат могут быть приняты равными нулю.

Заменим контур диска ломаной статически опреде­ лимой балкой постоянной жесткости. Значения момен­ тов, поперечных и нормальных сил в любом сечении такой балки будут вычисляться по тем лее формулам, что и функция напряжений и ее производные на кон­ туре диска.

Таким образом, задача об определении ограничива­ ющих кривых поверхности напряжений сводится к про­ стой операции построения эпюр моментов, поперечных и нормальных сил в простой статически определимой ломаной или криволинейной балке. Эта операция зна­ кома всем инженерам и допускает быструю взаимную проверку, причем, имея .небольшой навык в области по­ строения эпюр М, Q и N, можно быстро выполнить по­ строение.

Для точек сетки, расположенных на наклонных гра­ нях клина, значение функции напрялсений и ее двух производных равно нулю, поэтому при составлении уравнения для точки 1 получим свободны" член, равный нулю (рис. 51).

Чтобы использовать симметрию, за неизвестные в точках /, 3 и 6 принимаем половинные значения орди­ нат напряжений.

Для точки 1

Для вычисления свободных членов подсчитаем ор­ динаты поверхности напряжений на нижней грани кли­ на, учитывая, что

2п ау = cos —j—х

дха ’

после двукратного интегрирования, которое заменяем вычислением изгибающего момента, получим:

подставляя соответствующие значения х, найдем орди­ наты функции напряжений для точек основания клипа:

Фл = 0; % = — 0,0075 L2; <р, = — 0,0254 L3;

Ф/ = — 0,0433 L2; <pg = — 0,0508 /А Теперь подсчитаем свободные члены:

a2 = q>f = — 0,0433 L2; as = 0,0508 L2 и т. д. Решая систему уравнений, найдем:

Напряжения для всех внутренних точек вычислим, пользуясь вторыми производными функциями напряже­ ний по формуле

ф,-2ф„ + <Р,

'(Ду)*

Результаты подсчетов приведены в табл. 13.

Эпюры напряжений ох и av показаны на рис. 52. Напряжения хху вычисляют как вторые производные, но мы их определять не будем, так как для дальнейших расчетов они не потребуются.

За второе единичное состояние принимаем систему напряжений, показанную на рис. 53. Граничные усло­ вия по линии АВ будут

ау = cos 4nxlL\ хх = 0 .

Для ограничивающей кривой поверхности напряже­ ний после определения произвольных постоянных на­ ходим

<р = — — (cos ~ ~ х — l ) ;

по этой формуле вычисляем ординаты для всех точек линии АВ:

Ф = + 0.0063L2; х = — ; Ф=0;х = -7-; ф =4 -0,0126Z*.

Для вычисления ординат внутренних точек сетки получим такую систему уравнений, которая отличается от прежней только правой частью, поэтому при решении ее можно использовать результаты решений первой, что значительно сокращает вычислительную работу. Это следует учитывать при решении систем уравнений каж­ дого следующего состояния.

Для второго состояния получаем следующие значе­ ния ординат ф:

По этим ординатам вычисляем напряжения во всех точках сетки; результаты сведены в табл. 14. Эпюры напряжений показаны на рис. 53. Сравнивая их с теми, которые получены для первого состояния, приходим к выводу, что напряжения второго состояния затухают при удалении от линии сопряжения фундамента и клина.

6.12. Вычисление перемещений сооружения

Для решения контактной задачи необходимо знать перемещения отдельных точек клина. Вычислить пере­ мещения можно после того, как найдены напряжения. Обычный метод вычисления перемещений сводится к