книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

Сделаем численный расчет от сосредоточенной силы, приложенной в середине пролета, и при значении а =10

а- ^ т г = Ю; Р = 100/ис и р = — 100.

После решения уравнений получим 0,991

0,60 а д - 0,005

0,40

Эпюра давлений на нижнее перекрытие определяет­ ся по формуле

ai

Для изогнутой поверхности соответственно верхней н нижней плиты:

Это решение для изогнутой поверхности плиты явля­ ется приближенным, так как для расчета мы ограничи­ лись двумя членами разложения. Чтобы получить бо­ лее точное решение, нужно было бы представить функ­ цию, изображающую изогнутую поверхность плиты, в виде ряда. Тогда число линейных уравнений для опре­ деления Z будет больше, и объем вычислений увели­ чится. Такое уточнение можно сделать; результат его показывает, что второй член разложения для нижней плиты добавляет всего 1,2% к тому значению, которое получено от первого члена. Кроме того, не следует так­ же забывать, что нами не учитывается искривление края верхней плиты; это можно учесть, добавив еще не­ сколько групповых эпюр.

5.5. Расчет на импульс

Собственные функции при условии шарнирного опирания края

аb

где а и b — размеры перекрытия в плане.

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

Коэффициенты Anm и Bnm определяются из началь­

ных условий

а b

Апт = ~£г fjjW*®nmdxdy И

оо

Вэтих формулах wQи WQ— прогиб и скорость в начальный мент времени.

При t = 0 система находилась в покое, поэтому в начальный момент w0= 0, т. е. Апт обращается в нуль.

Скорости в начальный момент определим через за­ данный внешний импульс, принимая, что количество движения массы в каждой точке плиты равно внешне­ му импульсу, приложенному к этой массе:

\i2w0= s (х,у)\ w0 = — s (х,у).

После подстановки получаем

Таким образом, для прогиба в любой точке плиты сущего перекрытия окончательно получим

___4

w1=wi=I,2wnm'аЬщ ^ S^ ^ W™ dxdyS'm<*nmt

Задача вычисления коэффициентов Впт СВОДИТСЯ К разложению заданной функции s (л:, у) в двойной ряд Фурье.

Например, для равномерно распределенного импуль­ са S ( X, у) = s0получим

Впт = — — -------- (1 — COS ПЛ) (1 — COS Ш п).

л тлот Ио

Если п или т будут четными числами, то 5 nm = 0. Ес­ ли т и п нечетные, то Впт= 16s0/ (я2сйптЦ2)пт.

Наибольший прогиб для этого случая получим в сере­ дине пролета, т. е. при х= а/2 и у=Ь/2:

xsin<ann,<(— I)2 (—1) 2

Чтобы исключить силу N1 из уравнения (5.43), под­ считаем удлинение, столбика распределяющего слоя

где N — нормальная сила в сечении столбика на расстоянии z от низа.

Удлинение столбика упругого слоя равно разности прогибов плит и имеет значение

Решая это уравнение относительно N i и подставляя значение N i из уравнения (5.45) и из уравнения (5.44) в уравнение (5.43), получим два уравнения с дву­ мя неизвестными:

— 1(шг— wJUD3//t0l = 0,

[ W ^ + M { ^ } + W { ^ } +

+ l(w3 — a^i)] [Da'/h0] = 0.

Теперь эти урав-нения надо решать совместно.

Чтобы упростить решение, сначала сложим оба урав­ нения,

Рассмотрим первый специальный случай движения си­ стемы. Пусть перекрытие приведено в движение так, что обе плиты (верхняя и нижняя) получают одинаковое сме­ щение, т. е. a>2=wi=*w, тогда уравнение (5.46) будет иметь вид

Второй специальный случай будет при ш2= —wx\ уравнение движения получим, если вычтем из второго уравнения группы (5.46) первое и учтем, что

|«%| = l ® i l - » и Л1 = (14 + 91 + - ^ ) . (5.49)

Если эти величины подставим в (5.46), то получим

[(Da+ DJ] {v‘ w} + [M] {-|^-} + 4/A0[Dal {»} = 0. (5.50)

Возможен и другой путь составления уравнения дви­ жения трехслойиой плиты; для этого разложим эпюру перемещений столбика, выделенного смежными попереч­ ными сечениями на симметричную и обратносимметрич­ ную составляющую (рис. 30).

В общем случае, конечно, эпюра перемещений по тол­ щине упругого слоя будет иметь криволинейное очерта­ ние, но при сравнительно небольшой толщине упругого слоя эту эпюру можно принять за линейную, тогда будет выгодно вместо неизвестных wi и w2 ввести другие груп­ повые неизвестные Z\ и z2;

Для новых переменных составим два уравнения. Пер­ вое уравнение совпадает с уравнением (5.48) и имеет вид

Первое слагаемое в этом уравнении представляет со­ бой силы упругости верхней и нижней плит, второе — си­ лу инерции масс всех трех элементов, так как эти эле­ менты имеют одинаковые перемещения. Второе уравне­ ние получим, если приравняем реакцию упругого слоя полусумме сил, действующих вверх и вниз и растягиваю­ щих или сжимающих столбик этого слоя,

([DJ + [DJ) (у1?,) + И {-g*-} + “ [Dal {г,} = 0. (5.52)

Это уравнение совпадает с уравнением (5.50). В пер­ вом случае мы получили уравнение колебаний пластин­ ки. Решение этого уравнения имеет обычный вид

= Sz„w (А/1ОТcos(йпп11 + Bnmsinconm t). (5.53)

Следует отметить, что этому уравнению соответствуют свой спектр частот и соответствующие этому спектру соб­ ственные функции.

При шарнирном опирании концов обеих плит частоты вычисляются для симметричных форм по формуле

fla b / ~ Dt+Dz

b\) V Hi+:pa+p0fto

Собственные функции будут иметь обычный вид при шарнирном опирании концов обеих плит.

Для обратносимметричных форм дифференциальное уравнение (5.52) соответствует колебаниям плиты, лежа­ щей на упругом основании. Решение этого уравнения ищем так же, как и в первом случае.

Собственные функции определяются из уравнения

Полный прогиб нижней плиты получим по формуле

Проделанные преобразования имеют такой физичесчий смысл: движение столбика, выделенного из пере­ крытия, можно рассматривать как результат сложения двух форм колебаний. Каждая из этих форм колебаний соответствует вполне определенному внешнему воздей­ ствию. Например, если внешний импульс распределен по такому закону по толщине перекрытия, при котором соз­ даются одинаковые начальные условия для обеих плит, этот импульс будет вызывать формы колебаний, соответ­ ствующие только симметричной эпюре перемещений. Формы колебаний, соответствующие обратиосимметричной эпюре перемещений, будут в этом случае равны ну­

лю. Следовательно, импульс, приложенный к одной из плит, вызывает обе группы колебаний. Поэтому для ре­ шения задачи о совместном действии двух импульсов нам придется рассмотреть движение, учитывая обе формы колебаний.

В нашем случае движение системы вызвано внешним мгновенным импульсом; при этом в начальный момент прогиб обеих плит равен нулю. Значит, постоянные Апт и Ant равны нулю.

Для определения же постоянных Впт и Bih рассмот­ рим две составляющие внешнего импульса согласно схе­ ме, изображенной на рис. 31.

На рис. 31, а показана составляющая импульса, ко­ торая вызывает zb а на рис. 31, б — составляющая, кото­ рая вызывает формы колебаний, соответствующие z2. На­ чальные условия для схемы рис. 31, а при /= 0

dzx _______ $1_____

&(Hi+ Ha+HoA0) '

тогда

Начальные условия для схемы рис. 31, б запишем так:

По этим формулам можно вычислить Впт и В,а, если известен закон распределения импульса по пролету пли­ ты. Например, при равномерно распределенном и пульсе:

в . _____

(H i "Ь На "Ь Но Ао) Пт(йпт

в „ = _________ ___________ .

л*(H i + На + 1 /6-ИоАо) щ