книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

Длину сейсмической волны выражаем в безразмер­ ной форме L* = nli2/L,

Л|, Л2— толщина слоев; L — длина сейсмической волны.

Каждому соотношению толщин слоев h\/h2 соответст­ вует кривая, которая разграничивает координатную плоскость на две области. С левой стороны этой кривой располагаются значения (3, при которых волны любой длины не вызывают биений.

Для каждого значения (3>рМ|ш есть две волны, при которых могут возникать биения, одна волна короткая, а другая длинная. Область неустойчивости для длинных волн мало зависит от соотношения толщин слоев, поэто­ му для длинных волн чаще можно наблюдать биения. Биения для коротких волн соответствуют вполне опреде­ ленному значению параметра р, поэтому их наблюдать труднее. Если толщина верхнего слоя меньше толщины нижнего, то на кривых появляются участки почти посто­ янных значений Р; это значит, что неустойчивость обна­ руживается для целой полосы длин волн. Ширина этой полосы увеличивается с уменьшением толщины верхне­ го слоя. Так, для h\/h2 = 0,l ширина полосы неустойчи­ вости соответствует изменению безразмерной длины вол­ ны от L *=20 до L*= 5. Тонкий верхний слой легко может быть приведен в состояние неустойчивости от сейсмиче­ ской волны, проходящей по подошве этого слоя.

Применим полученные формулы для оценки устой­ чивости откоса высотой Ab расположенного на скальном основании толщиной h2.

В двухслойной модели верхним слоем является от­ кос; высота этого слоя меняется, поэтому для каждого вертикального столбика, выделенного в пределах про­ филя откоса и заштрихованного на рис. 89, отношение hi/h2 будет различно. По подошве откоса будут получе­ ны полосы неустойчивости переменной ширины. Наибо­ лее узкая полоса неустойчивости находится под гребнем откоса, а наиболее широкая — у подошвы откоса.

Модуль деформации основания оказывает также зна­ чительное влияние иа размеры области неустойчивости, так как параметр |3 зависит от соотношения модулей де­ формации откоса и основания с учетом вязкцх свойств скального основания. Но при скальном основании возни­ кает заметная дисперсия сейсмических воли, в резуль­ тате которой на откос действуют волны, имеющие раз­ личные частоты и скорости распространения. Поэтому

возникновение неустойчивых колебаний будет характе­ ризоваться шириной полосы значений длин тех волн, при которых такие колебания возбуждаются.

Связь между длиной волны и значением параметра р, характеризующего свойства откоса и скального осно­ вания, была установлена ранее и позволяет определить для каждой точки подошвы основания откоса соответст­ вующую ширину полосы значений длин волн, при кото­ рых возникают биения. Откладывая эти полосы под

каждой точкой подошвы откоса, получим, что наи­ меньшая ширина полосы неустойчивости получа­ ется для гребня откоса, наибольшая ширина от­ вечает нижней точке про­ филя.

Для заданной величи­ ны полосы изменения длин волн Д/,*, соответ­ ствующей данной инже­ нерно-геологической об­ становке и балльности

землетрясения, разные по величине участки профиля откоса попадают в зону неустойчивых колебаний. Так при ДL * = 3, 5... 4, 5 получим неустойчивую область.

Рассмотрим откос, расположенный на скале и имею­ щий высоту #=278 м и длину подошвы #=612 м (объ­ емный вес материала откоса в сухом виде у= 1,54 т/м3).

Поток сейсмической энергии, передающийся из скаль­ ного основания, соответствует 9-балльной сейсмической зоне и характеризуется скоростью частиц и=16 м/с.

Расчет сделан для трех возможных поверхностей об­ рушения (/—///) (рис. 89). Для численных подсчетов объем призмы обрушения был разбит на 12 элементов; каждый элемент находится под воздействием гравитаци­ онных сил и сейсмических сил, которые зависят от массы элемента и ускорения, вычисленного по формулам (8.6). Рассматривая откос как систему с несколькими степеня­ ми свободы, для сокращения объема вычислений в чис­ ленных подсчетах были использованы две низших часто­

изошло явление потери общей устойчивости здания без разрушения каких-либо отдельных конструкций. Такая форма потери устойчивости произошла, по мнению спе­ циалистов, из-за неравномерного замачивания грунтово­ го основания и возникновения процесса разжижения. На первый взгляд кажется, что это объяснение является вполне удовлетворительным, однако более внимательное изучение условий динамического равновесия сил, при­ ложенных к такому сейсмостойкому зданию, показывает, что только одним разжижением объяснить опрокидыва­ ние нельзя.

В процессе землетрясения под фундаментом здания распространяется сейсмическая волна. Если ее скорость большая, то нагрузка, передающаяся зданию, будет при­ ложена почти мгновенно по всей длине фундамента, и влияние бегущей волны будет минимальным.

При сильных сейсмических воздействиях в основани­ ях из слабых грунтов возникают кроме упругих воли так­ же сейсмические пластические волны, распространяю­ щиеся с пониженной скоростью. Пластические волны несут с собой основную часть потока сейсмической энер­ гии и являются для сооружения наиболее опасными. В процессе распространения пластической волны возни­ кает несимметричный механизм передачи сейсмической нагрузки зданию. Здание начинает раскачиваться. Эпю­ ра реакции основания будет изменяться. Со стороны на­ бегающей волны будет происходить разгрузка фундамен­ та и ординаты эпюры реакции будут уменьшаться. С про­ тивоположного конца фундамента произойдет перегруз­ ка, т. е. увеличение ординат эпюры реакций основания.

Известно, что для мягких грунтов диаграмма, связы­ вающая напряжения и деформации, имеет за пределом упругости две разных ветви. Нагружение характеризу­ ется пластическим участком диаграммы с пониженным •модулем деформации. Разгрузка же происходит по упру­ гому закону, т. е. с большим модулем деформации. Нуле­ вая точка эпюры реакций основания меняет свое поло­ жение в процессе продвижения сейсмической волны по длине фундамента. Задача изучения колебания здания в этих условиях становится нелинейной.

Общий метод решения такой задачи был разработан автором ранее [20]; было показано, что в этом случае могут возникать неустойчивые колебания, при которых /амплитуды значительно возрастают. При раскачивании

здания происходит явление, известное под названием би­ фуркация, т. е. возникают две возможные формы потери устойчивости и соответствующие им условия равновесия. Если наклон вертикальной оси здания отсутствует и ко­ лебания происходят в вертикальном направлении, то потеря устойчивости общей системы «здание— основа­ ние» может произойти только из-за потери устойчивости основания, т. е. его разжижения.

Для определения критической нагрузки будет исполь­ зовано единственное условие равновесия — сумма проек­ ций всех сил на верти­ каль. При наклоне зда­ ния в результате его рас­ качивания должны со­ блюдаться два условия равновесия: сохраняется указанное выше и добав­ ляется второе, которое выражает равенство ну­ лю моментов всех сил.

Так как при наклоне вертикальной оси здания собственный вес его соз­ дает момент относитель­

но центра фундамента, этот момент уравновешивается перераспределением реакций основания. Таким образом возможны два значения критической силы, при которых происходит потеря устойчивости здания. Наименьшей из них будет вторая, которая получается с учетом раскачи­ вания здания. Схема рассуждений показывает, что поте­ ря общей устойчивости здания зависит не только от па­ раметров основания, но и от параметров здания, хотя обычно это не учитывается при составлении карты мик­ рорайонирования.

Приращение балльности оценивают с учетом инже­ нерно-геологических свойств основания, т. е. принимают первую форму потери устойчивости и критическая сила получается преувеличенной. Другими словами, сейсмо­ стойкое здание, запроектированное на слабых грунтах с учетом приращения балльности из-за неблагоприятного грунтового основания, все же может оказаться недоста­ точно устойчивым и будет опрокинуто при землетрясе­ нии. Таким образом приращение балльности необходимо назначать с учетом возможной общей потери устойчи­ вости здания.

Многоэтажное здание рассматривается как система со многими степенями свободы (рис. 90). Уравнение дви­ жения в матричной форме будет записано так:

[ПЦ] [fifft] Уг + W hi + [Sift] У1 + бооУо + [aj 0 =

ца затухания; Уо— вертикальная осадка центра фундамента здания;

[af] — матрица расстояний; 0— угол поворота центра фундамента здания; [А<р] — матрица смещений от вертикальной составляющей сейсмической нагрузки; [Д.т] — матрица смещении от единичного мо­ мента, возникающего от бегущей волны.

Решить уравнение (8.7) целесообразно через функции влияния которые получим, если сначала предста­ вим бегущую волну в виде единичной сосредоточенной силы Л -= 1, двигающейся под фундаментом; тогда

У1 = 2f<Pi(0fi V — к) dt\,

о

где fi (t) — акселерограмма, описывающая бегущую волну.

Определить угол наклона, который возникает в про­ цессе движения для жестких и невысоких зданий, можно по приближенной формуле (8.8) как это было показано в работе [18].

Для этого надо в формулу у* подставить

0< — угол поворота вертикальной оси здания; /0 —момент инерции масс здания; v — скорость распространения сейсмической волны; <в,-—частота свободных вращательных колебаний здания; b— ши­ рина здания.

В процессе движения угол наклона здания изменяет­ ся и достигает наибольшего значения при t= t0. Это наи­

большее значение 0 можно определить, если производ­

ную dQi/dt приравнять нулю и из полученного уравнения найти to, которое затем подставить в формулу (8.8) и по

ней вычислить 0t-.

ческими волнами; Е — модуль деформации основания; (3 — характе­ ристика восстанавливающего момента.

Формула (8.11) позволяет оценить влияние угла О наклона здания, возникающего в результате бегущей сей­ смической волны, на снижение той нагрузки, при кото­ рой произойдет потеря устойчивости здания. В данном

о Т г Т Г Т б ?

случае такой нагрузкой является собственный вес зда­ ния. На рис. 91 показано снижение Ркр в зависимости от

относительного угла 0/0о. Из графика видно, что в ре­ зультате раскачивания здания под воздействием сейсми­ ческих волн величина критической нагрузки, при которой наступает потеря устойчивости здания, снижается до 2,5.

Потеря устойчивости здания зависит от многих пара­ метров. Оценим влияние каждого из них на Ркр.

Высота здания имеет существенное значение. На рис. 92 показан график изменения коэффициента т)= =Р«р1РкР* который представляет собой отношение Ркр к P jp в зависимости от отношения высоты здания Н к

ширине его фундамента. На этом графике показаны две кривые. Одна из них соответствует малому углу рас­

качивания 9=0,001. Вторая кривая соответствует боль­ шому углу 0=0,005; эта кривая располагается ниже пер­

вой, поэтому при большом угле раскачивания 0=0,005 происходит значительное снижение Piф- Например, при Н/Ь= 6 это соответствует 7—8-этажному зданию; коэф­ фициент устойчивости этого здания снижается почти в

10раз.

Другим очень важным параметром является Е модуль

деформации грунта. С увеличением Е коэффициент т] возрастает. На рис. 93 построены графики изменения т] в зависимости от модуля. Рассмотрен конкретный случай отношения высоты здания к ширине Н/Ь= 4 — это соот­

ветствует 4—5-этажным зданиям. График построен в ло­ гарифмическом масштабе. При модуле £=10000 кг/см?

вать возможную потерю общей устойчивости здания как общей системы «здание — грунт».

8.3. Динамическая устойчивость подпорных стен

Рассмотрим жесткую подпорную стенку, расположен­ ную на двухслойном основании. Верхний песчаный слой лежит на плотном скальном основании. Наиболее слабым основанием является водонасыщенный песок, который может подвергаться разжижению.

Целесообразно более внимательно исследовать эту задачу, используя для решения метод конечных элемен­ тов. Применим схему рассуждений предыдущего пара­ графа и определим динамическую устойчивость подпор­ ной стенки, находящейся под воздействием сейсмических волн и расположенной на осадочном упругопластическом слое. При распространении сейсмической волны под фун­ даментом подпорной стенки могут быть два случая. Если скорость этой волны большая, то нагрузка прикладыва­ ется к фундаменту сразу по всей его длине, и влияние бегущей волны будет минимальным. В основаниях, сло­ женных из слабых грунтов, при сильных сейсмических воздействиях возникают кроме упругих волн еще и пла­ стические сейсмические волны, распространяющиеся с пониженной скоростью. Пластические волны несут с со­ бой основную часть потока сейсмической энергии и явля­ ются для сооружения наиболее опасными.

В процессе распространения пластической волны во­ зникает несимметричный механизм передачи сейсмиче­ ской нагрузки подпорной стенке. Стенка начинает раска­ чиваться. Эпюра реакций основания изменяется. Со сто­ роны набегающей волны будет происходить разгрузка фундамента и ординаты эпюры реакции будут умень­ шаться. С противоположного конца фундамента произой­ дет перегрузка, т. е. увеличение ординат эпюры осно­ вания.

При появлении наклона подпорной стенки в резуль­ тате раскачивания должны соблюдаться два условия рав­ новесия; сохраняется указанное выше и добавляется второе, которое выражает равенство нулю моментов всех сил. Так как при наклоне вертикальной оси подпорной стенки собственный вес стенки создает момент относи­ тельно центра фундамента, то этот момент уравновеши­ вается благодаря перераспределению реакций основания. Таким образом возможны два значения критической си­ лы, при которых происходит потеря устойчивости. Наи­ меньшей будет вторая, которая получается с учетом рас­ качивания подпорной стенки. Потеря общей устойчивости подпорной стенки зависит не только от параметров осно­ вания, но и от параметров сооружения, как это было установлено в п. 8.2. Формулы для определения крити­ ческой нагрузки сохраняются.

8.4.Использование метода конечных элементов в теории риска

МКЭ с успехом применяется для расчета на сейсмо­ стойкость с применением теории риска. Как было пока­ зано выше с помощью конечных элементов разрешаются очень трудные задачи динамики сооружений, располо­ женных на упругом основании. Это позволяет теперь определять сейсмостойкость сооружений по теории риска.

Метод сбалансированного риска применяется для расчета сейсмостойких зданий [11]. В основу метода по­ ложена идея о том, что для оценки сейсмостойкости при­ нимается статистически обоснованный неизбежный риск, которому подвергается данная конструкция. Чтобы оце­ нить степень риска, необходимо установить срок службы данного сооружения и категорию сейсмостойкости объек­ та в зависимости от значимости этого сооружения и рас­