книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

После 'этого можно перейти к вычислению переме­ щений точек клина от единичных сил, приложенных вне его контура и внутри его. Для этого можно использо­ вать общую формулу (6.10), но под Mt следует пони­ мать окончательный момент, а под Ми — момент еди­ ничного состояния, соответствующий данной внешней силе. Известно, что единичное виртуальное состояние можно взять в любой статически определимой системе.

В данном случае такой системой будет балка, заделан­ ная одним концом. Следовательно, перемножение эпюр нужно распространить только на одну полоску-балку, выделенную из клина.

Эти рассуждения показывают, что объем вычисле­ ний получается довольно большим. Поэтому в конце желательно проверить полученный результат. Хорошей проверкой будет соблюдение условий взаимности пере­ мещений, так как взаимно равные перемещения б(Л =

— 6kt могут быть вычислены двумя путями.

Для примера выбираем несложную расчетную схему, разбив профиль плотины на три полоски (рис. 46,а). Число неизвестных сил равно шести. Это решение бу­ дет приближенное, которое в дальнейшем можно уточ­ нить.

Подсчитаем коэффициенты канонических уравнений (6.12) с учетом влияния продольных сил (рис. 46,6—г):

Все коэффициенты и свободные члены увеличены

(ABEJo) Id3раз.

Свободные члены подсчитаем, прикладывая после­ довательно единичную силу во всех узловых точках.

Сила приложена в точке 7 (см. рис. 46):

После решения уравнений получим следующие зна­ чения неизвестных (см. табл. 9).

Силы Xt , полученные из решения уравнений, будем считать приложенными сосредоточенно в соответствую­ щих точках, как было указано в основной системе (см.

рис. 46,6). От этих сил подсчитаем моменты. Так, если груз приложен в точке 7, то

В точках 1—3 моменты изменяются скачкообразно, поэтому для этих точек вычисляем два значения мо­ мента.

Подсчеты показывают, что благодаря применению балочного конечного элемента решение задачи упро­ щается и получается приемлемая для‘практических це­ лей точность.

Перемещения равны (при вычислении перемещенйй

Коэффициенты, входящие в уравнение частот гори­ зонтальных колебаний профиля плотины, представляют собой горизонтальные перемещения тех точек, в кото­ рых сосредоточены массы отдельных участков профиля, от единичных сил, приложенных статически. Перемеще­ ния каждой точки плотины состоят из перемещений клина как жесткого диска, вызываемых деформирова­ нием основания и из перемещений, вызываемых дефор­ мацией клина.

Перемещения упругого основания находим, пользу­ ясь готовыми формулами. Горизонтальные перемеще­ ния подошвы плотины от горизонтальной силы, равной единице и равномерно распределенной по подошве, оп­ ределяются по формуле

где Я — высота профиля; Е0— модуль деформации полупространст­ ва; ц = 0 ,3 5 — коэффициент Пуассона.

Кроме этих перемещений следует учесть еще и го­ ризонтальные перемещения y'tk точек профиля, возни­

кающие от поворота клина. Для этого находим угол по­ ворота профиля как жесткого штампа от единичного момента по формуле

Для определения перемещений, возникающих от де­ формаций профиля, используем эпюры, показанные на

рис. 47. Для тех точек, о которых были сосредоточены силы (см. рис. 46), перемещения найдем как среднее арифметическое из ординат смежных точек эпюр, ука­ занных на рис. 47:

Полные перемещения с учетом деформации плотины и упругого полупространства

б/ft = Угор + У1к + б/ft.

8„ = 2,925 (</>/£/„), 6» = 3,564 («»/£/„), 6М = 2,800 (<№/<,).

Приведения сделаны с учетом следующих зависи­ мостей:

/0= (/Ш 12); Н = М\ Е/Е0= 20.

Эти формулы позволяют вычислить наибольшие смещения профиля с учетом деформации и основания и профиля. Например, от равнодействующей гидростата ческого давления R наибольшее смещение точки 2

622= (7,168-0,25R + 3,564-0,75Р) (d*/EJ0).

Для массивных гидротехнических сооружений наи­ большая величина ожидаемого смещения является од-: ним из критериев, определяющих предельную несущую рпрсобцостъ.

6.9. Пример расчета

Колебания гравитационных плотин [18] существен­ но зависят от горизонтальной составляющей скорости, которая сообщается профилю плотины при заполненном водохранилище через сейсмические волны. Для общей устойчивости гравитационной плотины наиболее опасно появление горизонтальных смещений, которые зависят от горизонтальной реакции, возникающей по подошве плотины. Для определения этой реакции сначала надо

импульсов, приложенных к каждой сосредоточенной массе, т. е., по существу, рассмотреть свободные коле­ бания. Динамические параметры — частоты и формы колебаний, характеризующие движение системы, вычис­ ляют обычным порядком. Так, для простого треугольно­ го профиля квадраты трех первых частот, соответству­ ющих горизонтальным колебаниям с учетом деформативности профиля плотины и податливости основания, имеют следующие значения:

При машинном счете с применением ЭВМ выгодно сначала подсчитать амплитуды горизонтальных колеба­ ний масс от единичных скоростей, приложенных после­ довательно к каждой массе. Получим:

После подстановки этих чисел получим амплитуды смещений в виде функций от скоростей,

Ах = + 0,412 у, + 0,299 v2+ 0,179 v3, А2 = + 0,063 vx— 0,073 v2+ 0,048 v9,

i43= -f- 0,021 vx— 0,002v2— 0,021t>3

(общий множитель l/©i опущен).

Горизонтальные смещения массы вычислим по фор­

Для разных моментов времени, выраженных в долях основного периода колебаний, можно подсчитать сме­ щения (результаты вычислений

приведены в табл. 10).

Для определения сдвигающей силы по подошве плотины вычис­ лим горизонтальные силы, прило­ женные к профилю плотины, ко­ торые соответствуют деформиро­

дТ,сек

ванному состоянию плотины. Тог­ да после преобразования полу­ чим такую формулу для подсчета сдвигающей силы Ro в функции

от внешних скоростей, приложенных к профилю плоти­ ны: (Яо — модуль деформации основания и Ъ — толщи­ на профиля плотины)

По этой фррмуле подсчитана R0 от единичных ско­ ростей и получены ординаты функций влияния (табл.

И )*

Величины vi, v2 и v3 определяют по спектрам дейст­ вия. Например, можно использовать спектр псевдоско­ рости, построенный в работе [18] для сильного земле­ трясения, произошедшего в июне 1966 г. в Паркфилде (США). Этот спектр показан на рис. 48. Для первого приближения можно считать, что в пределах профиля