книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

Подставим указанные выше значения уХа й у Хо в эту

формулу и вычислим интеграл. Если продолжитель­ ность действия силы меньше половины периода собст­ венных колебаний измененной и первоначальной систе­ мы, тогда максимальный прогиб получится после пре­ кращения действия силы в момент времени 1>%\. Начиная с момента времени ть система совершает сво­ бодные колебания.

Наибольший прогиб вычисляют по обычной форму­ ле; Пусть в пределах интервала времени то сила сохра­ няет свое значение, а система изменяет свою частоту от ©I до ©п по ступенчатому закону через интервалы вре­ мени т\, % 2 , Тя так, что каждому интервалу времени соответствует своя частота ©ь ©2»—, ©п.

Тогда в интервале времени тп прогиб и скорость бу­ дут определяться по формуле (если начало отсчета вре­ мени считать при уп-\.

4.9. Переменная внешняя сила

Рассмотрим более общий случай, когда внешняя сииа меняется вместе с изменением частоты системы со­ гласно графику, изображенному на рис. 22.

Впределах первого интервала, когда t меняется от

Одо xi, прогиб и скорость системы вычисляют по фор-* мулам:

В момент времени t —%i в системе произойдут изме­ нения, и с этого момента можно рассматривать новую

В момент времени t = т2 для прогиба и скорости новой системы получим аналогичные формулы.

Если число интервалов п, то в пределах я-го интер­

свое действие и система, предоставленная самой себе, совершает гармонические колебания с начальными ус­

ется обычной формулой и наибольший прогиб опреде­ ляется просто.

Для численной оценки t/макс ограничимся двумя сту­ пенями изменения Р и со. Это сделано на графике рис. 23, который показывает изменение прогиба системы во времени. График получен сложением движения, вызван­ ного силой Pi и затем Р2.

В результате этого прогиб, соответствующий данно­ му моменту времени, изображается на графике отрез­ ком, заключенным между соответствующими кривыми. Кривая с крестиками относится к случаю, когда при ^==т1 происходит увеличение частоты системы; кривая с точками — к случаю, когда при / = т i частота системы уменьшается. Сплошной линией показаны кривые, от­

носящиеся к системе с постоянной частотой. Из графика видно, что при увеличении частоты наибольший прогиб значительно уменьшается по сравнению с прогибами системы, имеющей постоянную массу. Уменьшение час­

тоты не влечет за собой такого резкого увеличения Уиакс, как это наблюдалось в случае, показанном на рис. 20.

4.10. Система с бесконечным числом степеней свободы

Как известно, задача о движении упругой системы с постоянной массой и жесткостью сводится к интегриро­ ванию неоднородного дифференциального уравнения.

Общее решение этого уравнения можно получить в виде бесконечного ряда, использовав разложение по главным формам колебаний.

Если возмущающая сила Р (х, у, г, t) равна нулю и движение системы зависит только от начальных усло­ вий, то решение соответствующего однородного уравне­ ния принимает вид

дый член которого будет состоять из произведения соб­ ственной функции фгна Pi(t), зависящем только от вре­ мени

эффициентами такого ряда.

Формула (4.17) позволяет изучить свободные коле­ бания системы.

Решение для вынужденных колебаний находят при помощи уравнения (4.18), из которого определяют функ­ ции pt(t), применяя тот же прием, что и для отыскания

Это есть полное решение, учитывающее как свобод­ ные, так и вынужденные колебания

Для возможности его использования необходимо до­ казать сходимость ряда (4.19). Частоты со*, входящие в формулы (4.20) и (4.21), определяются из уравнения частот, составленного применительно к граничным ус­ ловиям данной задачи.

Мы изложили ход решения дифференциального уравнения движения при условии, что масса и жесткость системы остаются постоянными. В задаче о движении системы, у которой происходит изменение массы и жест­ кости, коэффициенты уравнения движения становятся переменными, и решить его в общем виде затруднитель-

но. Будем искать приближенное решение, принимая ша­ говый ступенчатый закон изменения физических посто­ янных системы.

Для наглядного изображения изменения физичес­ ких свойств системы введем понятие обобщенная дина­ мическая характеристика системы, под которой будем понимать совокупность величин, характеризующих ди­ намические свойства системы. Обобщенная характери­ стика зависит от жесткости системы, от ее массы и от краевых условий, но она не зависит от внешних сил. Если в процессе движения данной системы эти величи­ ны остаются без изменения, то обобщенная характерис­ тика будет постоянна. В общем случае изменение одной из величин, входящих в понятие обобщенной характе­ ристики, изменяет всю характеристику. Так, если у бал­ ки одну из опор сделать упругой, то изменится спектр частот, определяющий движение, и изменятся формы главных колебаний. Если же изменить только массу балки, в одинаковой пропорции по длине пролета, то частоты изменятся, но формы колебаний остаются прежними. Тем не менее, в обоих случаях обобщенная характеристика системы будет изменяться. Непрерыв­ ное изменение обобщенной характеристики в целях уп­ рощения решения заменяется ступенчатым, т. е. для каждого интервала времени Ат, отвечающего одной сту­ пеньке, все физические постоянные системы остаются без изменения, и обобщенная характеристика имеет по­ стоянное значение.

При переходе к следующему интервалу времени про­ исходит скачкообразное изменение обобщенной харак­ теристики.

Это допущение позволяет для каждого интервала времени составить уравнение движения как для систе­ мы с постоянной характеристикой. Для каждого после­ дующего интервала начальные условия будут выраже­ ны через значения / и /' в конце предыдущего интер­ вала. В пределах п-то интервала Атп найдем значение

/п, если известны fn- 1 и f’n- ь но эти два значения будут-

выражены через fn~2, fn -2и т. д. Значит, чтобы найти fn и f'n для интервала Дтп, необходимо вычислить все

предыдущие интервалы, начиная с первого, тогда fn бу­ дет в конце вычислений выражено через f0 и f J , т. е.

через заданные начальные условия. В общем случае на

границе двух смежных интервалов f и f' будут разны­ ми, поэтому при переходе от одного интервала к друго­ му нужно составить дополнительные уравнения, учи­ тывая, что в каждой точке системы количество движе­ ния старой и новой систем должно балансироваться. Таким образом, принимая ступенчатый закон измене­ ния физических постоянных и внешней нагрузки, мы тем самым имеем возможность решать задачу до конца.

4.11. Расчет балки

Покажем порядок применения этого способа на при­ мере балки, которая находится под воздействием силы, изменяющейся по ступенчатому закону. Одновременно с изменением силы происходит также изменение жест­ кости и массы балки равномерно по длине всего про­ лета.

Если это уравнение относить к интервалу времени Дт,. в пределах которого поперечное сечение и масса балки остаются постоянными, то это будет уравнение с постоян­ ными коэффициентами. Уравнение для определения соб­ ственных функций принимает обычный вид, из которого для случая свободного опирания концов балки находим собственные функции и частоты.

Если P (t) = P n и нагрузка равномерно распределена

по пролету, то рг= 2/Л 'Рп/1- В пределах первого интервала, пока внешняя сила

сохраняет значение Pit а жесткость и масса — значения (£7)i и р.1, прогиб балки в любой момент времени t, который меньше интервала Дт, определяется по фор­ муле (4.19). Если в начальный момент система нахо­ дилась в покое и t/0= t / J = 0, в общей формуле оста­

нется только третье слагаемое. После вычисления интег­ рала получим в конце первого интервала времени Дт прогиб

Прогиб в середине пролета (при х= 1/2). Чтобы оп­ ределить скорость точек балки в конце первого интер­ вала, времени, продифференцируем формулу (4.23) по /,

Порядок определения умакс зависит от условий зада­ чи и в первую очередь от продолжительности действия внешней силы. Если в промежуток времени, в течение которого действует внешняя сила, система еще не ус­ пеет получить наибольший прогиб, то умаКс нужно бу­ дет найти как максимальный прогиб системы, совершаю­ щей свободные колебания. Прогиб после прекращения действия силы будет вычисляться по формуле для сво­ бодных колебаний. Полученные формулы относятся к случаю, когда изменение внешней силы совпадает во времени с изменением массы и жесткости системы.

Но принятая схема рассуждений остается в силе и тогда, когда такого совпадения нет. Разница будет со­ стоять только в том, что интервалы изменения массы и жесткости будут соответствовать изменению совокуп­ ности частот системы, и в эти моменты времени необ­ ходимо делать переход от одной системы к другой. Из­ менение же величины силы без изменения частоты не требует составления новых уравнений движения.

Г Л АВ А 5

ПЛАСТИНКИ И ОБОЛОЧКИ

5.1. Общие принципы расчета пластинок

Как известно, при расчете пластинок задача сводит­ ся к интегрированию бигармонического уравнения, в которое входят производные прогиба перпендикулярно­ го плоскости пластинки. При переходе к конечным эле­ ментам представляется возможным в общем виде выра­ зить прогиб w через функцию формы, имеющую матри­ цу [N] и угловые перемещения {6}е. При изучении колебаний пластинок используют треугольные и прямо­ угольные конечные элементы. Прямоугольный элемент мог бы ближе подходить к общей схеме плиты, но этот элемент имеет больше степеней свободы. Перемещения внутри элемента выражаются через перемещения узло­ вых точек. В каждом узле п перемещение имеет три компонента, а именно перемещение, перпендикулярное плоскости пластинки w в направлении оси z (рис. 24), угол поворота (0*)п вокруг оси х и (0„)п вокруг оси у.

Для каждого элемента получается двенадцать парамет­ ров, поэтому для w принимают полином вида

w = ах + а2х + щ *f а4х2-f а6хг/ -f а9уг + а,*3+ авхгу +

Постоянные аь а2, ai2 определяются из системы двенадцати уравнений:

0*i = (— dw /dyk = — a3 -f ... = 0;

0yi = (dwldx)i = + a 2-f ... = 0

В матричной форме это можно записать так:

от координат узловых точек. Вектор {а} содержит 12 неизвестных постоянных и определяется по формуле

Однако, если поместить начало координат в центре тя­

ы ,= а д , {2( а д - х м - 4В Д - 4а д + + Ш 1/ , — 4аХ1Хг1;