книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

iio ним описать огибающую, которая й позволит судить о величине напряжений и о положении опасного сечения. Для пояснения изложенного рассмотрим простейшую за­ дачу одного измерения.

Стержень постоянного поперечного сечения (рис. 14) заделан одним концом; свободный конец стержня на­ гружен продольным сосредоточенным мгновенным им­ пульсом S. В процессе дальнейших рассуждений будем

Для вычисления частоты получим выражение

Из этой формулы видно, что частота изменяется об­ ратно пропорционально длине стержня. Если через ©0 обозначить частоту, соответствующую полной длине стержня I, то частота стержня уменьшенной длины 1$

Эта формула показывает, что с увеличением длины разрушенной части стержня частота свободных колеба­ ний оставшейся части возрастает, и если бы импульс, приложенный к упругой части, не изменился, то с увели­ чением воронки возросли бы напряжения. Но в действи­ тельности с увеличением воронки все большая часть энергии импульса затрачивается на местные разрушения и на долю общих деформаций остается только часть об­ щего эффекта. Чтобы учесть это, подсчитаем кинетиче-

делением нормальной силы на площадь Поперечного сечения по формуле

оN_= E J l . = Еа---- cos —

F дх 2/3 2/3

Эта формула показывает, что при учете энергии, ко­ торая расходуется на местные разрушения, нормальные напряжения в опасном сечении уменьшаются, несмотря на то что упругие колебания совершает стержень уко­ роченной длины. Для наглядности закона изменения напряжений в заделке построим график (рис. 14). На­ чало координат поместим на вертикали, проведенной через свободный конец стержня, и ось абсцисс напра­ вим справа налево, параллельно оси стержня.. По оси абсцисс будем откладывать h, т. е. длину разрушенной части стержня, а по вертикали — сгМакс> возникающую в заделке при данной U. Каждая ордината построенного таким образом графика равна тому напряжению, кото­ рое возникает в заделке, если длина разрушенной части стержня равна абсциссе этой точки.

Этот график (см. рис. 14) характеризует изменение нормальных напряжений в данном сечении стержня в зависимости от величины разрушенной части, поэтому его будем называть «характеристической линией» для напряжений. Для каждого поперечного сечения стерж­ ня можно построить такую линию, поэтому напряжен­ ное состояние стержня будет описано семейством ха­ рактеристических линий; огибающая этого семейства даст представление о тех изменениях, которые возни­ кают в напряженном состоянии стержня при данном размере воронки. В данном случае огибающая этого се­ мейства сливается с характеристикой, построенной для сечения в заделке.

4.5.Определение частоты численным способом

Для вычисления основной частоты колебаний балки, имеющей воронку и изображенной на рис. 11, использу­ ем общую формулу (2.28)

В этот момент свойства системы изменяются, и но­ вая система будет иметь начальный прогиб y Xt и на­

чальную скорость y'Xi. В пределах второго интервала времени тг прогиб и скорость определяются по формулам:

Подставляя вместо t значение тг, найдем прогиб и ско­ рость в конце второго интервала. Так же можно перей­ ти к третьему интервалу и т. д. В конце п-го интервала времени получим:

Если наибольший прогиб будет достигнут в преде­ лах п-го интервала времени, то он будет вычисляться по формуле

Уш“с = VУп-1 + (“ ^ “ ) *

После подстановки в формулу для n-го интервала значе­ ний п-1-ro и т. д. прогиб и скорость п-го интервала бу­ дут выражены через начальную скорость

у„ = у0{2>)- »;= »o Mi R -

Выражения, стоящие в скобках, представляют со­ бой численные коэффициенты, которые могут быть как меньше, так и больше единицы.

На рис. 16 дан график изменения коэффициента т], на который следует умножить наибольший прогиб, вы­ численный для системы с постоянной массой и жест­ костью для того, чтобы получить наибольший прогиб для системы с изменившейся частотой. На графике по оси абсцисс отложено отношение двух частот. В чис­ лителе стоит частота системы, вычисленная для началь­ ного момента времени, в знаменателе— частота систе­ мы с учетом изменений. Переход же от первой частоты к последней совершается непрерывно в виде линейной функции от времени. Кривая, показанная сплошной ди-

йией, относится к случаю, когда процесс изменения свойств системы (массы и жесткости) продолжается в течение одной десятой доли периода свободных колеба­ ний. За этот отрезок времени частота системы изменяет­ ся от G>i ДО ©п-

Для сравнения на том же графике пунктиром пока­ зано изменение коэффициента TJ для случая, когда про­ исходит мгновенное изменение свойств системы, т. е. система с частотой ©i в момент времени п переходит сразу в систему, имеющую частоту ©п. Как и следовало ожидать, при отношении частот, равном единице, обе кривые пересекаются. Весьма интересно отметить, что при <Bi/d)n<l кривая, которая относится к системе, по­ степенно изменяющей свои свойства, идет выше пунк­ тирной кривой. Это указывает на то, что наибольший прогиб системы, постепенно изменяющей свои свойства, будет больше такого же прогиба системы с быстрым из­ менением этих свойств. Если же ©i/©n> l , то получа­ ется обратная картина.

На рис. 17 показано изменение прогиба с течением времени для случая, когда в результате изменения свойств системы происходит увеличение частоты. В точках, где меняется частота, кривая, показывающая изменение прогиба, опускается на графике ниже. Наи­ больший прогиб получается меньше того, который был бы у системы с постоянной частотой. Если бы в процес­ се движения происходило постепенное уменьшение час­ тоты системы, то максимальный прогиб был бы больше.

4.7. Внезапное нагружение

Пусть внешняя сила Р была внезапно приложена к

са и жесткость. После этого система двигалась, и наи­ больший прогиб был достигнут спустя значительный промежуток времени. Схематически законы изменения внешней силы и частоты колебаний системы изображены

Чтобы оценить влияние продолжительности интервалов времени т0 и на результат, ограничимся несколькими ступенями изменения частоты и подставим полученные значения в формулу (с. 58)

Уп = Уоj 2 si и—1(V -i — cos u j-h

+ ^ t cos^ - ‘{rn- 1~ T -)sin““']-

Наибольший прогиб t/макс= г)Уо. Обозначим т)— чис­ ленный коэффициент. Тогда т| будет характеризовать изменение наибольшего прогиба системы при разных •соотношениях частот и интервалов времени. Сначала рассмотрим предельный случай, когда a>i = 002 H T 0= T I , ■тогда коэффициент rj= 1 и наибольший прогиб равен лрогибу системы с постоянной массой и жесткостью, как этого и следовало ожидать. Исследуем изменение вели­ чины г]; для этого выразим частоту через период коле­ баний. Тогда получим

Пользуясь этой формулой, составим табл. 4 измене­ ния -л в функции от соотношений: ©1/(02и TI/TY

При помощи табл. 4 составлен график (рис. 19). По оси абсцисс отложено отношение частот, по оси орди-

Т а б л н ц а 4

то/т,=2

Ш,/Оа

*1/Тг

нат — значение т]. Каждая кривая относится к опреде­ ленному отношению Т1/Г1